Методы сглаживания временных рядов в изучении динамики производственных показателей (на примере объема выпуска продукции)

Значительно более совершенным  приемом изучения общей тенденции  в рядах динамики является аналитическое выравнивание. При изучении общей тенденции методом аналитического выравнивания исходят из того, что изменения уровней ряда динамики могут быть с той или иной степенью точности приближения выражены усредненно с помощью определенных математических функций.

Путем теоретического анализа  выявляется характер развития явления  и на этой основе выбирается то или  иное математическое выражение типа изменения явления: по прямой, по параболе второго порядка, показательной (логарифмической) кривой и т.п.

Динамика рядов экономических  показателей в общем случае складывается из четырех компонентов:

1) тенденции, характеризующей  долговременную основную закономерность  развития исследуемого явления;

2) периодичного компонента, связанного с влиянием сезонности развития изучаемого явления;

3) циклического компонента, характеризующего циклические колебания,  свойственные любому воспроизводству;

4) случайного компонента  как результата влияния множества  случайных факторов.

Тенденция - некоторое  общее направление развития. Тенденцию ряда динамики представляют в виде гладкой кривой (траектории), которая аналитически выражается некоторой функцией времени, называемой трендом. Тренд характеризует основную закономерность движения во времени, свободную в основном (но не полностью) от случайных воздействий.

В зависимости от вида функции различают следующие  основные формы тренда.

Линейная форма тренда:

y_e = at + b  (1)

где у - уровни, освобожденные  от колебаний, выровненные по прямой; b - начальный уровень тренда в  момент или период, принятый за начало отсчета времени; а - среднегодовой абсолютный прирост (среднее изменение за единицу времени t; константа тренда).

Линейный тренд хорошо отражает тенденцию изменений при  действии множества разнообразных  факторов, изменяющихся различным образом по разным закономерностям.

Равнодействующая этих факторов при взаимном погашении  особенностей отдельных факторов (ускорение, замедление, нелинейность) часто выражается в примерно постоянной абсолютной скорости изменения, т.е. в прямолинейном тренде.

Параболическая форма  тренда:

у = а + bt + ct²    (2)

где с - квадратический параметр, равный 1/2 ускорения; константа параболического  тренда.

Параболический тренд  выражает ускоренное или замедленное  изменение уровней ряда с постоянным ускорением. Такой характер развития можно ожидать при наличии важных факторов прогрессивного (регрессивного) развития.

Экспоненциальная форма  тренда:

   (3)

где k - темп изменения  в разах; e - константа тренда.

Если k > 1, экспоненциальный тренд выражает тенденцию ускоренного и все более ускоряющегося возрастания уровней. При росте по экспоненте абсолютный прирост пропорционален достигнутому уровню. Так росло население Земли в эпоху «демографического взрыва» в XX столетии.

При k< 1 экспоненциальный тренд означает тенденцию постоянно все более замедляющегося роста уровней динамического ряда.

Логарифмическая форма  тренда:

y = а + b log(t)   (4)

Логарифмический тренд  пригоден для отображения тенденции  замедляющегося роста уровней при  отсутствии предельного возможного значения.

Для определения параметров уравнения тренда применяют метод  наименьших квадратов (МНК). Применение МНК для определения параметров линейного тренда ye = at + b дает систему  двух линейных уравнений, решение которой  выбирается таким образом, чтобы Σ t = 0.

В рядах с нечетным числом членов это выполняется при  условии, что для центрального члена  ряда t = 0 и вправо t — +1, +2, +3..., а влево: -1, -2, -3.

 

1.3. Использование метода сглаживания  временных рядов в изучении  динамики выпуска продукции

 

Из группы методов скользящего  среднего самым простым является метод простого скользящего среднего по n-узлам. В этом методе среднее  фиксированного числа n-последних наблюдений используется для оценки следующего значения уровня ряда.

Значение прогноза, полученного методом простого скользящего среднего, всегда меньше фактического значения - если исходные данные монотонно возрастают, и наоборот больше фактического значения - если исходные данные монотонно убывают. Поэтому с помощью простого скользящего среднего нельзя получить точных прогнозов. Этот метод лучше всего подходит для данных с небольшими случайными отклонениями от некоторого постоянного или медленно меняющегося значения.

Метод простого скользящего  среднего имеет два недостатка:

- возникает в результате того, что при вычислении прогнозируемого значения самое последнее наблюдение имеет такой же вес (значимость), как и предыдущее, т.е. присвоение равного веса, противоречит интуитивному представлению о том, что во многих случаях последние данные могут больше сказать о том, что произойдет в ближайшем будущем, чем предыдущие.

- необходимо хранить  большой объем информации.

Метод взвешенного скользящего  среднего в основе которого лежит  идея, что более поздние данные важнее более старых:

Ỹ_t= α₀Υ_t+ α₁Υ_t+1 +α₂Υ_t+2  (5)

(1/6, 2/6, 3/6) или (2/10, 3/10, 5/10) Во всех случаях α убывают,  а их сумма равна 1.

Метод скользящей средней  основан на свойстве средней погашать случайные отклонения от общей закономерности.

Расчет скользящей средней  осуществляется по средней арифметической простой из заданного числа уровней ряда, с отбрасыванием, при вычислении каждой новой средней, предыдущего уровня и присоединением следующего. Сглаживание методом простой скользящей средней заключается в том, что вычисляется средний уровень из 3, 5, 7 и т.д. уровней.

В результате, расчет средней, как бы, скользит от начала ряда динамики к его концу.

При нечетном шаге каждая вычисленная скользящая средняя  соответствует реальному интервалу (моменту) времени, находящемуся в середине шага (интервала), а число сглаженных уровней, меньше первоначального числа уровней на величину шага скользящей средней, уменьшенного на единицу.

Например, формула для  расчета 5-месячной скользящей средней  будет выглядеть следующим образом:

 (6)

Если шаг скользящей средней выражен четным числом, то полученные скользящие средние центрируют. Операция центрирования заключается в повторном скольжении с шагом, равным двум. Число уровней сглаженного ряда будет меньше на величину шага скользящей средней.

  (7)

Определение интервала сглаживания (числа входящих в него уровней) зависит:

- если необходимо сгладить  беспорядочные колебания, то интервал  сглаживания берут большим (до 5-7 уровней);

- если же есть необходимость  сохранить периодически повторяющиеся  колебания, то интервал сглаживания уменьшают до 3 уровней.

Пример сглаживания ряда методом  трехмесячной скользящей средней представлен  в приложении 1.

В приложении 2 представлен пример сглаживания ряда методом четырехмесячной  скользящей средней.

 

2. Расчетная часть

Задание 1

 

Имеются следующие выборочные данные за отчётный период по предприятиям одной из финансово-промышленных групп (выборка 10%-ная, механическая), млн. руб.:

№ п/п	Среднегодовая стоимость  основных производственных фондов	Объем выпуска продукции	№ п/п	Среднегодовая стоимость основных производственных фондов	Объем выпуска продукции
1	73,82	451,80	16	81,93	489,58
2	56,69	375,05	17	50,81	345,79
3	67,71	386,54	18	93,21	586,90
4	52,70	360,72	19	100,20	591,31
5	79,20	476,45	20	40,00	290,00
6	77,14	463,34	21	76,75	456,64
7	89,64	531,01	22	76,23	455,61
8	71,84	449,22	23	83,24	509,35
9	69,42	410,21	24	91,28	558,44
10	62,41	380,44	25	89,30	531,27
11	103,82	635,22	26	102,43	620,95
12	116,00	681,30	27	101,80	601,22
13	110,54	656,00	28	90,67	545,03
14	69,61	439,75	29	140,00	690,00
15	48,81	308,10	30	92,80	572,42

 

По исходным данным:

1. Постройте статистический ряд  распределения предприятий по  признаку - среднегодовая стоимость  основных производственных фондов, образовав пять групп с равными  интервалами. 

2. Графическим  методом и путём расчётов определите  значения моды и медианы полученного ряда распределения.

3. Рассчитайте характеристики  интервального ряда распределения:  среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

Сделайте выводы по результатам выполнения пунктов 1, 2, 3 задания.

Вычислите среднюю арифметическую по исходным данным, сравните её с аналогичным  показателем, рассчитанным в п. 3 для  интервального ряда распределения. Объясните причину их расхождения.

 

Решение

Величина равного интервала  по среднегодовой стоимости основных производственных фондов:

 млн. руб.

где х_max и x_min максимальное и минимальное значение признака, n - число групп.

Таблица 1

Распределение предприятий по среднегодовой  стоимости основных

производственных  фондов

Группы предприятий по среднегодовой стоимости основных производственных фондов (ОПФ), млн. руб.	№ п/п	Среднегодовая стоимость основных производственных фондов, млн. руб.	Выпуск продукции, млн. руб.
А	1	2	3
40 - 60	20	40,00	290,00
	15	48,81	308,10
	17	50,81	345,79
	4	52,70	360,72
	2	56,69	375,05
60 - 80	10	62,41	380,44
	3	67,71	386,54
	9	69,42	410,21
	14	69,61	439,75
	8	71,84	449,22
	1	73,82	451,80
	22	76,23	455,61
	21	76,75	456,64

 

Окончание таблицы 1

А	1	2	3
	6	77,14	463,34
	5	79,20	476,45
80 - 100	16	81,93	489,58
	23	83,24	509,35
	25	89,30	531,27
	7	89,64	531,01
	28	90,67	545,03
	24	91,28	558,44
	30	92,80	572,42
	18	93,21	586,90
100 - 120	19	100,20	591,31
	27	101,80	601,22
	26	102,43	620,95
	11	103,82	635,22
	13	110,54	656,00
	12	116,00	681,30
120 - 140	29	140,00	690,00
Итого	30	2460,00	14849,66

 

Построим ряд распределения  предприятий по среднесписочной  численности работников (табл. 2).

Таблица 2

Ряд распределение предприятий по среднегодовой стоимости основных

производственных фондов

№ группы	Группы предприятий по среднегодовой стоимости ОПФ, млн. руб.	Число предприятий f	В % к итогу	Сумма накопленных частот
I	40 - 60	5	16,67	5
II	60 - 80	10	33,33	15
III	80 - 100	8	26,67	23
IV	100 - 120	6	20,00	29
V	120 - 140	1	3,33	30
	Итого	30	100,00	-