Обработка данных натурных наблюдений методами математической статистики

 

 

 

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	23,29	23,72	23,74	24,31	24,69	24,81	25,17	25,33	25,37	25,76
№	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
	26,04	26,11	26,21	26,29	26,29	26,31	26,43	26,67	26,78	26,94
№	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
	27,22	27,66	27,75	29,37	29,48	29,86	30,56	30,86	31,57	34,24

 

 

Dx=7,27;         Dy=6,27

Критерий Фишера:

Область допустимых значений определяется в зависимости от уровня значимости и числа степеней свободы ;   mx=29, my=29. По таблице F-распределения (Приложение 2) определяем критическое значение критерия Фишера.

Fрас<Fкр     1,159<1,64

 

Вывод: Ряды однородны, т.е. их можно объединять.

 

Вывод: Полученное расчётное значение критерия Фишера меньше критического. Исходя из этого, можно сделать вывод, что оно находится  в области допустимых значений, и нулевая гипотеза подтверждается, а это значит, что сравниваемые выборки однородны (принадлежат одной генеральной совокупности), и их можно объединить в одну.

Данное предположение проверим непараметрическим критерием однородности Вилкоксона. Для этого необходимо провести следующие действия:

 

 

 

 

 

1. Величины обеих выборок располагаются в порядке возрастания.

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	17,31(х)	19,18(х)	19,68(х)	19,76(х)	19,95(х)	20,63(х)	20,71(х)	20,78(х)	21,01(х)	21,15(х)
№	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
	21,15(х)	21,18(х)	21,21(х)	21,31(х)	21,81(х)	22,05(х)	22,73(х)	22,83(х)	23,29(у)	23,33(х)
№	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
	23,65(х)	23,69(х)	23,69(х)	23,72(у)	23,74(у)	24,31(у)	24,66(х)	24,69(у)	24,81(у)	25,17(у)
№	31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
	25,33(у)	25,37(у)	25,53(х)	25,76(у)	25,79(х)	26,04(у)	26,11(у)	26,21(у)	26,29(у)	26,31(у)
№	41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
	26,36(х)	26,43(у)	26,67(у)	26,78(у)	26,82(х)	26,94(у)	27,05(х)	27,22(у)	27,66(у)	27,75(у)
№	51	52	53	54	55	56	57	58	59	60
	29,37(у)	29,48(у)	29,48(у)	29,48(у)	29,86(у)	30,46(х)	30,56(у)	30,86(у)	31,57(у)	34,24(у)

 

∑U=0+0+0+0+0+0+0+0+0+0+0+0+0+0+0+0+1у+1у+1у+1у+4у+9у+10у+16у+19у+20у+26у=108у

 

2. По формулам (14,15) определяем расчётное и критическое значение критерия Вилкоксона:

      0,475

По таблицам нормированной и центрированной кривой нормального распределения

(Приложение 1) определяем аргумент  по значению функции  (Za= 1,96).

 

 

Вывод: Расчётное значение критерия Вилкоксона оказалось больше критического. Нулевая гипотеза не подтверждается, это значит, что сравниваемые выборки неоднородны.

 

    5.2 Критерий согласия

Использование критериев согласия преследует цель поиска закона распределения генеральной совокупности, которой принадлежит данная анализируемая выборка. Расчёты проводятся для исходной совокупности (X) при N=30. Цель расчётов заключается в следующем: с помощью критерия согласия Пирсона проверить принадлежность эмпирического материала нормальной кривой распределения (кривая Гаусса).

Как и при проверке однородности выдвигается нулевая гипотеза, но в данном случае она утверждает  согласие значений выборки со значениями нормальной кривой распределения, т.е. при увеличении данных натурных наблюдений до бесконечности, распределение случайных чисел отвечает выбранному закону распределения.  Расчёт по критерию Пирсона основан на определении теоретической частоты в эмпирических интервалах, и если эмпирическая частота и теоретическая отличаются незначительно, то принимается нулевая гипотеза при выбранном уровне значимости и числе степеней свободы. Расчётная формула статистического критерия Пирсона имеет следующий вид:

                                                             (17)

 

где К – количество интервалов

      ni – эмпирическая частота

      nt – теоретическая частота

 

Для того, чтобы использовать аналитические законы распределения, необходимо знать область возможных значений случайных величин (для нормально распределённой случайной величины область возможных значений определяется интервалом (-∞;+∞)). Расчёты сводим в таблицу 4.

 

Таблица 4

Определение выборочного значения 

на согласие эмпирического

распределения с нормальным законом распределения.

№
0	-∞ ; 17,31	0	-∞	-1,92	-0,5	-0,47	0,04	0,9	-0,9	0,9
1	17,31; 19,5	2	-1,92	-1,1	-0,47	-0,36	0,11	3,3	-1,3	0,51
2	19,5 ; 21,69	13	-1,1	-0,29	-0,36	-0,26	0,10	3	10	33,33
3	21,69 ; 23,88	7	-0,29	0,51	-0,26	0,2	0,46	13,8	-6,8	3,35
4	23,88 ; 26,07	4	0,51	1,33	0,2	0,41	0,21	6,3	-2,3	0,83
5	26,07 ; 28,26	3	1,33	2,14	0,41	0,48	0,07	2,1	0,9	0,38
6	28,26 ; 30,46	2	2,14	2,95	0,41	0,5	0,02	0,6	0,4	0,27
7	30,46 ; +∞	0	2,95	+∞	0	0	0	0	0	0
∑							1	30	0	39,19

 

Условные обозначения

- границы интервалов;

- эмпирическая частота;

- нормированная и центрированная случайная величина:

                                                                        (18)

- значение функции нормального  закона распределения на границах  интервалов определяется по таблица;

- теоретическая вероятность попадания  случайной величины в заданный  интервал,

= - ;

 N – объём выборки, N = 30;

- теоретическая частота.

 

Критическое значение критерия Пирсона определяется по таблицам или по формуле:

                                                           (19)

где m – число степеней свободы, m = К-1;

      Z2a – коэффициент, определяемый по формуле:

;          ;        Z2a = 1,65

Учитывая это, критическое значение критерия Пирсона равно:

Критическое значение критерия Пирсона можно определить по таблицам x2 – распределения в Приложении 3 методических указаний.

Если расчётное значение не превышает критического на выбранном уровне значимости, нелевая гипотеза принимается, что подтверждает принадлежность исследуемой выборки нормальному закону распределения.

Вывод: < . Критическое значение меньше расчетного, не согласуется с прямой Гаусса, необходимо выбрать другой закон и проверять пока он не подойдет.

 

 

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

Условие не соблюдается: критическое значение распределения Пирсона меньше расчётного (39,19>10,81), значит, нулевая гипотеза не применяется, эмпирическое распределение не согласуется с кривой Гаусса, нельзя применять все свойства этой кривой и использовать при прогнозировании; выборка принадлежит нормальному закону распределения.

Мы построили вариационный ряд, сгруппировали данные, графически изобразили ряды, проверили статистические гипотезы. Результаты расчётов могут быть использованы в дальнейших исследованиях, в частности, для математического моделирование трансформации загрязняющего вещества в водой и воздушной средах.