Понятие и виды индексов

Списочная численность  работников предприятия за октябрь  такова: на 1 октября — 200 человек, 7 октября  принято 15 человек, 12 октября уволен 1 человек, 21 октября принято 10 человек  и до конца месяца приема и увольнения работников не было. Эту информацию можно представить в следующем виде:

Число работников	Число дней (период времени)
200	6 (с 1 по 6 включительно)
215	5 (с 7 по 11 включительно)
214	9 (с 12 по 20 включительно)
224	11 (с 21 по 31 включительно)

При определении среднего уровня ряда надо учесть продолжительность периодов между датами, т. е. применять формулу средней арифметической взвешенной:

В данной формуле числитель ( ) имеет экономическое содержание. В приведенном примере числитель (6665 человеко-дней) — это календарный фонд времени работников предприятия за октябрь. В знаменателе (31 день) — календарное число дней в месяце.

В тех случаях, когда  имеем моментный ряд динамики с неравными интервалами времени, а конкретные даты изменения показателя неизвестны исследователю, то сначала  надо вычислить среднюю величину ( ) для каждого интервала времени по формуле средней арифметической простой, а затем вычислить средний уровень для всего ряда динамики, взвесив исчисленные средние величины продолжительностью соответствующего интервала времени  . Формулы имеют следующий вид:

Рассмотренные выше ряды динамики состоят из абсолютных показателей, получаемых в результате статистических наблюдений. Построенные первоначально ряды динамики абсолютных показателей могут быть преобразованы в ряды производные: ряды средних величин и ряды относительных величин. Ряды относительных величин могут быть цепные (в % к предыдущему периоду) и базисные (в % к начальному периоду, принятому за базу сравнения — 100%). Расчет среднего уровня в производных рядах динамики выполняется по другим формулам.

Ряд средних величин

Сначала преобразуем  приведенный выше моментный ряд  динамики с равными интервалами  времени в ряд средних величин. Для этого вычислим среднюю списочную  численность работников предприятия  за каждый месяц, как среднюю из показателей  на начало и конец месяца( ): за январь (150+145):2=147,5; за февраль (145+162):2 = 153,5; за март (162+166):2 = 164.

Представим это в  табличной форме.

Месяцы	Среднесписочная численность работников
Январь	147,5
Февраль	153,5
Март	164,0

Средний уровень  в производных рядах средних величин рассчитывается по формуле средней арифметической простой:

Заметим, что средняя  списочная численность работников предприятия за 1 квартал, вычисленная  по формуле средней хронологической  на базе данных на 1 число каждого  месяца и по средней арифметической — по данным производного ряда — равны между собой, т.е. 155 человек. Сравнение расчетов позволяет понять, почему в формуле средней хронологической начальный и конечный уровни ряда берутся в половинном размере, а все промежуточные уровни берутся в полном размере.

Ряды средних величин, производные от моментных или интервальных рядов динамики, не следует смешивать с рядами динамики, в которых уровни выражены средней величиной. Например, средняя урожайность пшеницы по годам, средняя заработная плата и т.д.

Ряды  относительных величин

В экономической практике очень широко используют ряды относительных величин. Практически любой первоначальный ряд динамики можно преобразовать в ряд относительных величин. По сути преобразование означает замену абсолютных показателей ряда относительными величинами динамики.

Средний уровень ряда в относительных рядах динамики называется среднегодовым темпом роста. Методы его расчета и анализа рассмотрены ниже.

 

Анализ рядов динамики

Для обоснованной оценки развития явлений во времени необходимо исчислить аналитические показатели: абсолютный прирост, коэффициент роста, темп роста, темп прироста, абсолютное значение одного процента прироста.

В таблице приведен цифровой пример, а ниже даны формулы расчета  и экономическая интерпретация  показателей.

Анализ  динамики производства продукта "A" по предприятию за 1994-1998 гг.

Годы	Произведено,  тыс. т.	Абсолютные  приросты, тыс. т		Коэффициенты роста		Темпы   роста, %		Темпы прироста, %		Значение 1% при-роста, тыс. т.
		Цеп-ные	базис-ные	цеп-ные	базис-ные	цеп-ные	базис-ные	цеп-ные	базис-ные
		3	4	5	6	7	8	9	10	11
1994	200	-	-	-	1,00	-	100	-	-	-
1995	210	10	10	1,050	1,05	105,0	105	5,0	5,0	2,00
1996	218	8	18	1,038	1,09	103,8	109	3,8	9,0	2,10
1997	230	12	30	1,055	1,15	105,5	115	5,5	15,0	2,18
1998	234	4	34	1,017	1,17	101,7	117	1,7	17,0	2,30

Абсолютные  приросты (Δy) показывают, на сколько единиц изменился последующий уровень ряда по сравнению с предыдущим (гр.3. — цепные абсолютные приросты) или по сравнению с начальным уровнем (гр.4. — базисные абсолютные приросты). Формулы расчета можно записать следующим образом:

При уменьшении абсолютных значений ряда будет соответственно "уменьшение", "снижение".

Показатели абсолютного  прироста свидетельствуют о том, что, например, в 1998 г. производство продукта "А" увеличилось по сравнению  с 1997 г. на 4 тыс. т, а по сравнению с 1994 г. — на 34 тыс. т.; по остальным годам см. табл. 11.5 гр. 3 и 4.

Коэффициент роста показывает, во сколько раз изменился уровень ряда по сравнению с предыдущим (гр.5 — цепные коэффициенты роста или снижения) или по сравнению с начальным уровнем (гр.6 — базисные коэффициенты роста или снижения). Формулы расчета можно записать следующим образом:

Темпы роста показывают, сколько процентов составляет последующий уровень ряда по сравнению с предыдущим (гр.7 — цепные темпы роста) или по сравнению с начальным уровнем (гр.8 — базисные темпы роста). Формулы расчета можно записать следующим образом:

Так, например, в 1997 г. объем  производства продукта "А" по сравнению  с 1996 г. составил 105,5 % (

Темпы прироста показывают, на сколько процентов увеличился уровень отчетного периода по сравнению с предыдущим (гр.9- цепные темпы прироста) или по сравнению с начальным уровнем (гр.10- базисные темпы прироста ). Формулы расчета можно записать следующим образом:

Т_пр = Т_р - 100% или Т_пр= абсолютный прирост / уровень предшествующего периода * 100%

Так, например, в 1996 г. по сравнению с 1995 г. продукта "А" произведено больше на 3,8 % (103,8 %- 100%) или (8:210)х100%, а по сравнению с 1994 г. — на 9% (109% — 100%).

Если абсолютные уровни в ряду уменьшаются, то темп будет  меньше 100% и соответственно будет темп снижения (темп прироста со знаком минус).

Абсолютное  значение 1% прироста (гр. 11) показывает, сколько единиц надо произвести в данном периоде, чтобы уровень предыдущего периода возрос на 1 %. В нашем примере, в 1995 г. надо было произвести 2,0 тыс. т., а в 1998 г. — 2,3 тыс. т., т.е. значительно больше.

Определить величину абсолютного значения 1% прироста можно  двумя способами:

• уровень предшествующего периода разделить на 100;
• цепные абсолютные приросты разделить на соответствующие цепные темпы прироста.

Абсолютное значение 1% прироста =

В динамике, особенно за длительный период, важен совместный анализ темпов прироста с содержанием  каждого процента прироста или снижения.

Заметим, что рассмотренная  методика анализа рядов динамики применима как для рядов динамики, уровни которых выражены абсолютными  величинами (т, тыс. руб., число работников и т.д.), так и для рядов динамики, уровни которых выражены относительными показателями (% брака, % зольности угля и др.) или средними величинами (средняя урожайность в ц/га, средняя заработная плата и т.п.).

Наряду с рассмотренными аналитическими показателями, исчисляемыми за каждый год в сравнении с  предшествующим или начальным уровнем, при анализе рядов динамики необходимо исчислить средние за период аналитические показатели: средний уровень ряда, средний годовой абсолютный прирост (уменьшение) и средний годовой темп роста и темп прироста.

Методы расчета среднего уровня ряда динамики были рассмотрены выше. В рассматриваемом нами интервальном ряду динамики средний уровень ряда исчисляется по формуле средней арифметической простой:

Среднегодовой объем  производства продукта за 1994- 1998 гг. составил 218,4 тыс. т.

Среднегодовой абсолютный прирост исчисляется также по формуле средней арифметической простой:

Ежегодные абсолютные приросты изменялись по годам от 4 до 12 тыс.т (см.гр.3), а среднегодовой прирост производства за период 1995 — 1998 гг. составил 8,5 тыс. т.

Методы расчета среднего темпа роста и среднего темпа  прироста требуют более подробного рассмотрения. Рассмотрим их на примере  приведенных в таблице годовых  показателей уровня ряда.

Средний годовой темп роста и средний годовой темп прироста

Прежде всего отметим, что приведенные в таблице  темпы роста ( гр.7 и 8) являются рядами динамики относительных величин  — производными от интервального  ряда динамики (гр.2). Ежегодные темпы  роста (гр.7) изменяются по годам ( 105%; 103,8%; 105,5%; 101,7%). Как вычислить среднюю величину из ежегодных темпов роста ? Эта величина называется среднегодовым темпом роста.

Среднегодовой темп роста  исчисляется в следующей последовательности:

1. сначала по формуле средней геометрической исчисляют среднегодовой коэффициент роста (снижения) — 
2. на базе среднегодового коэффициента определяют среднегодовой темп роста ( ) путем умножения коэффициента на 100%:

Среднегодовой темп прироста (  определяется путем вычитания из темпа роста 100%.

Среднегодовой коэффициент  роста ( снижения ) по формулам средней  геометрической может быть исчислен двумя способами:

1) на базе абсолютных  показателей ряда динамики по  формуле:

• n — число уровней;
• n — 1 — число лет в период;

2) на базе ежегодных  коэффициентов роста по формуле

• m — число коэффициентов.

Результаты расчета  по формулам равны, так как в обеих  формулах показатель степени — число  лет в периоде, в течение которого происходило изменение. А подкоренное  выражение — это коэффициент роста показателя за весь период времени (см. табл. 11.5, гр.6, по строке за 1998 г.).

Среднегодовой темп роста  равен

Среднегодовой темп прироста определяется путем вычитания из среднегодового темпа роста 100%. В  нашем примере среднегодовой  темп прироста равен

Следовательно, за период 1995 — 1998 гг. объем производства продукта "А" в среднем за год возрастал  на 4,0%. Ежегодные темпы прироста колебались от 1,7% в 1998 г. до 5,5% в 1997 г. (за каждый год темпы прироста см. в табл. 11.5, гр. 9).

Среднегодовой темп роста (прироста) позволяет сравнивать динамику развития взаимосвязанных явлений  за длительный период времени (например, среднегодовые темпы роста численности работающих по отраслям экономики, объема производства продукции и др.), сравнивать динамику какого-либо явления по разным странам, исследовать динамику какого-либо явления по периодам исторического развития страны.

Анализ сезонных колебаний

Изучение сезонных колебаний  проводится с целью выявления  закономерно повторяющихся различий в уровне рядов динамики в зависимости  от времени года. Так, например, реализация сахара населению в летний период значительно возрастает в связи  с консервированием фруктов и ягод. Потребность в рабочей силе в сельскохозяйственном производстве различна в зависимости от времени года. Задача статистики состоит в том, чтобы измерить сезонные различия в уровне показателей, а чтобы выявленные сезонные различия были закономерными (а не случайными) необходимо строить анализ на базе данных за несколько лет, по крайней мере не менее чем за три года. В табл. 11.6 приведены исходные данные и методика анализа сезонных колебаний методом простой средней арифметической.

Средняя величина за каждый месяц исчисляется по формуле средней арифметической простой. Например, за январь 2202 = (2106 +2252 +2249):3.

Индекс сезонности ( табл. 11.5 гр.7.) исчисляется путем деления средних величин за каждый месяц на общую среднюю месячную величину, принятую за 100%. Средняя месячная за весь период может быть исчислена путем деления общего расхода горючего за три года на 36 месяцев (1188082 т : 36 = 3280 т) или путем деления на 12 суммы средних месячных, т.е. суммарного итога по гр. 6 (2022 + 2157 + 2464 и т.д. + 2870) : 12.

Таблица 11.6 Сезонные колебания потребления  горючего в сельскохозяйственных предприятиях района за 3 года

Месяцы	Расход горючего, тонн			Сумма за 3 года, т (2+3+4)	Средняя месячная за 3 года, т	Индекс сезонности, %
	1 год	2 год	3 год
1	2	3	4	5	6	7
Январь	2106	2252	2249	6607	2202	67,1
Февраль	2120	2208	2142	6470	2157	65,7
Март	2300	2580	2512	7392	2464	75,1
Апрель	3056	3300	3412	9768	3256	99,2
Май	3380	3440	3469	10289	3430	104,6
Июнь	4044	4210	4210	12464	4155	126,6
Июль	4280	4184	4296	12760	4253	130,0
Август	4088	4046	4020	12154	4051	123,5
Сентябрь	3604	3622	3631	10857	3619	110,3
Октябрь	3818	3636	3583	11037	3679	112,1
Ноябрь	3120	3218	3336	9674	3224	98,3
Декабрь	2778	2802	3030	8610	2870	87,5
Итого	38694	39498	39890	118082	3280	100,0