Статистический анализ данных уровня безработицы за 1994 – 2011гг. в России

 

 

 

 

 

3. Статистический анализ
1. Выдвижение гипотезы

Гипотезы о распределениях заключаются в том, что выдвигается  предположение о том, что распределение  в генеральной совокупности подчиняется  какому-то определенному закону. Проверка гипотезы состоит в том, чтобы  на основании сравнения фактических (эмпирических) частот с предполагаемыми (теоретическими) частотами сделать  вывод о соответствии фактического распределения гипотетическому  распределению.

Рис.3

Гистограмма частот с наложенным графиком нормального распределения.

Так как гистограмма частот подходит под график плотности нормального  распределения, мат.ожидание, медиана  и мода приблизительно равны, эксцесс  и асимметрия равны нулю, то выдвинем гипотезу о нормальном распределении.

Плотность нормального распределения  записывается в виде:

Гипотеза Ho будет выглядеть следующим образом:

                                                                   

Произведем оценивание параметров μ и σ² методом моментов и методом максимального правдоподобия.

2. Точечное оценивание параметров

Проведем точечное оценивание параметров двумя способами: методом  моментов и методом максимального  правдоподобия.

Метод моментов:

Метод моментов заключается в приравнивании  определённого количества выборочных моментов к соответствующим теоретическим  моментам исследуемой случайной  величины, причём последние, очевидно, являются функциями от неизвестных  параметров .

Начальный и центральный  момент k-ого порядка.

Начальным моментом 1-го порядка  случайной величины x называется математическое ожидание .

Центральным моментом 2-го порядка  случайной величины x называется величина , определяемая формулой .

Выборочные моменты имеют вид:                                 

_{Приравнивая теоретические моменты к выборочным,}

            

 получаем:

Нормальное распределение  имеет 2 параметра: μ или ( )  — среднее значение (математическое ожидание) случайной величины и указывает координату максимума кривой плотности распределения, а σ² — дисперсия.. Т.к. согласно формуле плотности нормального распределения:

Параметр μ равен начальному моменту 1-го порядка (μ = μ ₁[x]), а параметр σ² равен центральному моменту 2-го порядка (σ² = μ₂[x]), то их можно найти, оценив соответствующие характеристики выборки. Таким образом, параметр μ будет равен характеристике g₃, а параметр σ² будет равен характеристике g₆. Отсюда следует, что μ *=8,61, а σ²*=3,62.

Метод максимального  правдоподобия:

Основу метода составляет функция правдоподобия, выражающая плотность вероятности (вероятность) совместного появления результатов  выборки x₁,x₂,…,x_n:

В качестве «наиболее правдоподобного» значения параметра берут значение, максимизирующее вероятность получить при n опытах данную выборку Х=(Х₁,…,Х_n).

Оценкой максимального правдоподобия  неизвестного параметра q называют значение q, при котором достигает максимума (как функция от q при фиксированных Х₁,…,Х_n):

Согласно методу максимального  правдоподобия в качестве оценки неизвестного параметра θ принимается  такое значение , которое максимизирует функцию L.

Нахождение оценки упрощается, если максимизировать не саму функцию L, а ln(L), поскольку максимум обеих функций достигается при одном и том же значении θ. Поэтому для отыскания оценок параметров надо решить систему уравнений правдоподобия, получаемых приравниванием частных производных нулю по параметрам, а затем отобрать то решение, которое обращает функцию ln(L) в максимум.

Плотность вероятности нормально  распределенной случайной величины

Тогда функция правдоподобия  имеет вид:

.

Логарифмируя, получим:

Для нахождения параметров μ и σ² необходимо продифференцировать уравнение по μ и σ² и приравнять нулю частные производные, т.е. решить систему уравнений правдоподобия:

отсюда оценки максимального  правдоподобия равны:

 

Отсюда следует, μ *=8,61, а σ²*=3,62

 

3. Интервальное оценивание параметров

Построим доверительные  интервалы для параметров распределения. Доверительным называют интервал, который  покрывает неизвестный параметр с заданной надёжностью.

Доверительные интервалы примут вид:

 и  .

Сначала найдем доверительный  интервал для параметра μ, он будет  равен

, где  .

_{С помощью  функции СТЬЮДРАСПОБР пакета Microsoft Excel определим δγ с уровнем надежности γ = 0,95 и n – 1 степенями свободы. Получим значение, равное: δγ = 1,971059073.}

 Теперь определим доверительный  интервал для параметра μ данного  распределения: 

,

.

Т.е. интервал [8,35; 8,86] покрывает истинное значение математического ожидания с уровнем значимости 0,05.

Теперь определим доверительный  интервал для параметра σ², он будет равен , для нашего случая, при g=0,95, определим δ¹_γ  и d²_g с помощью функции ХИ2ОБР пакета Microsoft Excel: δ¹_γ = 213,0383688, а d²_g = 215,6342853. Тогда доверительный интервал для s² будет:

,

.

Т.е. интервал [3.609; 3.653] покрывает истинное значение дисперсии с уровнем значимости 0,05.

4. Проверка гипотезы

_{Для проверки статистических гипотез  о законе распределения  используются специальные  критерии согласия.}

_{Критерий  Колмогорова}

Практическое использование  критерия согласия Колмогорова осуществляется следующим образом.

Пусть – гипотетическая (непрерывная и полностью определенная) функция распределения. По результатам наблюдений строится эмпирическая функция распределения и находится величина

.

Затем задается уровень значимости и по таблицам распределения находится такое , что . Тогда, если найденная величина такова, что , то расхождение между и признается обусловленным случайностью наблюденных значений и гипотеза считается согласующейся с экспериментом (с определенным коэффициентом доверия). В противном случае гипотеза отвергается (с соответствующими сомнениями).

 

	5,4÷ 6,4	6,4÷ 7,4	7,4÷ 8,4	8,4÷ 9,4	9,4÷ 10,4	10,4÷ 11,4	11,4÷ 12,4	12,4÷ 14,6
ni	23	41	54	36	24	16	15	7
(ui-1 +ui)/2	5,9	6,9	7,9	8,9	9,9	10,9	11,9	13,5
	-2,71	-1,71	-0,71	0,29	1,29	2,29	3,26	4,89
(((ui-1 +ui)/2)-g3)²	7,34	2,92	0,5	0,08	1,66	5,24	10,62	23,91
	-1.7÷ -1.2	-1.2÷ -0.6	-0.6÷ -0.1	-0.1 ÷0,4	0,4÷ 0,9	0,9÷ 1,5	1,5÷ 2.0	1,9÷ 3.0
G	0.106	0.29	0.54	0.71	0.82	0.89	0.96	1
F	0,123	0,26435	0,4562	0,6591	0,8264	0,9278	0,9766	0,9939
|G-F|	0.017	0.025	0.083	0.05	0.006	0.04	0.02	0.006

 

Dn

g₃₌8,61

g₆₌3,62

G=ni^нак/n

F=0.5+0.5*((ui+1-g3)/√g6) (функция Лапласа)

_{Критическое значение критерия Колмогорова  равно λ0,05=1,36}

Так как λ<λ_0.05 , то гипотеза H₀ о нормальном законе распределения принимается с уровнем значимости 0,05.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

В ходе работы были достигнуты поставленные цели, т.е. решены основные задачи математической статистики: проверка гипотезы о типе распределения, точечные и интервальные оценки параметров распределения.

Выдвинутая на основании  графика гипотеза о нормальном распределении  была подтверждена с соответствующим  уровнем значимости. Для проверки гипотезы был использован критерий Колмогорова.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы

1. Хамитов Г.П., Т.И. Ведерникова: ВЕРОЯТНОСТИ. – Иркутск: БГУЭП, 2003. – 189 с.;
2. Хамитов Г.П., Т.И. Ведерникова: Статистический анализ данных: Методические указания по выполнению комплексной курсовой работы. –Иркутск: БГУЭП, 2003.-10с.;
3. Прикладная статистика и основы эконометрики. Учебник для вузов. / Айвазян С.А., Мхитарян В.С. – М.: ЮНИТИ, 1998. – 1022 с.
4. Н.Ш.Кремер: Теория вероятностей и математическая статистика. Учебник для вузов. М.:ЮНИТИ-ДАНА, 2001. – 543с.
5. Интернет-ресурсы: http://ru.wikipedia.org

                                              http://sophist.hse.ru/