Статистический анализ продаж готовой продукции ООО ПФ «Челнинский арматурный завод»

    Соседними считают соседние во времени (при  рассмотрении временных рядов) или  по возрастанию переменной х значения e_i.  Для этих величин рассчитывают коэффициент корреляции r_eiei-1 , который называется коэффициентом корреляции первого порядка:

     ,

      где M(ei ) = M(ei-1 ) = 0

    Наиболее  известным методом определения  автокорреляции первого порядка  является критерий Дарбина – Уотсона (DW).

    Автокорреляция, или последовательная корреляция, определяется как корреляция между наблюдаемыми показателями, упорядоченными во времени (временные ряды) или в пространстве.

    Суть  метода Дарбина – Уотсона состоит  в том, что на основании  критерия  DW Дарбина – Уотсона делается вывод об автокорреляции.  На практике вместо коэффициента корреляции   re_ie_i-1 используют критерий:

    

    Предполагая, что  (при больших N соотношение справедливо), критерий DW можно привести к более простому виду.  Действительно, тогда

    Поскольку коэффициент корреляции находится  в пределах , нетрудно заметить, что:

• если  ,  то  DW = 0 (положительная автокорреляция);
• если  , то DW = 4 (отрицательная автокорреляция);
• если  ,  то  DW = 2 (автокорреляция отсутствует).

    Таким образом,  0 £ DW £ 4. Для более точного определения автокорреляции была построена таблица критических точек распределения Дарбина – Уотсона.  По ней для заданного уровня значимости a, числа наблюдений N  и количества параметров m уравнения регрессии определяются два значения:

    d₁ – нижняя граница,

    d₂ – верхняя граница. 

    Общая схема Дарбина  – Уотсона следующая:

1. По уравнению регрессии определяются остатки .
2. Рассчитывается критерий DW по формуле: .
3. По таблице критических точек Дарбина – Уотсона определяют два числа d₁ и d₂ и осуществляют выводы по правилу, по которому рассматривают нулевую гипотезу H₀ об отсутствии автокорреляции остатков. Для этого используют числовой отрезок (Рис.2.):

    Рис.2.

    

    1) 0 £ DW < d₁ – существует положительная автокорреляция (H₀ отвергается);

    2) d₁ £ DW < d₂ – вывод о наличии автокорреляции не определен;

    3) d₂ £ DW < 4-d₂ – автокорреляция отсутствует (H₀ принимается);

    4) 4-d₂ £ DW < 4-d₁ - вывод о наличии автокорреляции не определен;

    5) 4-d₁ £ DW <4 – существует отрицательная автокорреляция (H₀ отвергается).

    Например, пусть N = 20, DW, рассчитанное по формуле пункта 2, равно 2,3 (DW=2,3). Так как d₂ £ DW < 4-d₂                               (1,41 < 2.3 < 2.59), то можно считать, что автокорреляция остатков отсутствует.

1.3.5 Множественная (многофакторная регрессия)

    Изучение  связи между тремя и более  связанными между собой признаками носит название множественной (многофакторной) регрессии. При исследовании зависимостей методами множественной регрессии  задача формулируется так же, как  и при использовании парной регрессии, т.е. требуется определить аналитическое  выражение связи между результативным признаком Y и факторным признаками (x₁, x₂, …, x_k), найти функцию:

    Ŷ = f(x₁, x₂, …, x_k)

    Построение  модели множественной регрессии  включает несколько этапов:

• выбор формы связи (уравнения регрессии)
• отбор факторных признаков
• обеспечение достаточного объема совокупности для получения несмещенных оценок

    Выбор формы связи затрудняется тем, что, используя математический аппарат, теоретическая зависимость между  признаками может быть выражена большим  числом различных функций. Поскольку  уравнение регрессии строится главным  образом для объяснения и количественного  отображения взаимосвязей, оно должно хорошо отражать  сложившиеся между  исследуемыми факторами фактические  связи.

    Практика  построения многофакторных моделей  взаимосвязей показывает, что все  реально существующие зависимости  между социально-экономическими явлениями  можно описать, используя пять типов  моделей:

1. линейная
2. степенная
3. показательная
4. параболическая
5. гиперболическая

    Основное  значение имеют линейные модели в  силу простоты и логичности их экономической  интерпретации.

    Важным  этапом построения уже выбранного уравнения  множественной регрессии является отбор и последующее включение  факторных признаков.

    Наиболее  приемлемым способом отбора факторных  признаков является шаговая регрессия (шаговый регрессионный анализ). Сущность метода шаговой регрессии  заключается в последовательном включении факторов в уравнение  регрессии и последующей проверке их значимости. Факторы поочередно вводятся в уравнение так называемым “прямым  методом”. При проверке значимости введенного фактора определяется, насколько уменьшается сумма  квадратов остатков и увеличивается  величина множественного коэффициента корреляции (R). Одновременно используется и обратный метод, т.е. исключение факторов, ставших незначимыми на основе t-критерия Стьюдента. Фактор является незначимым, если его включение в уравнение регрессии только изменяет значение коэффициентов регрессии, не уменьшая суммы квадратов остатков и не увеличивая их значения. Если при включении в модель соответствующего факторного признака величина множественного коэффициента корреляции увеличивается, а коэффициент регрессии не изменяется (или меняется несущественно), то данный признак существенен и его включение в уравнение регрессии необходимо.

    Если  же при включении в модель факторного признака коэффициенты регрессии меняют не только величину, но и знаки, а  множественный коэффициент корреляции не возрастает, то данный признак признается нецелесообразным для включения в модели связи.

    Качество  уравнения регрессии зависит  от степени достоверности и надежности исходных данных и объема совокупности. Исследователь должен стремиться к  увеличению числа наблюдений, так  как большой объем наблюдений является одной из предпосылок построения адекватных статистических моделей.

    Аналитическая форма выражения связи результативного  признака и ряда факторных называется многофакторным (множественным) уравнением регрессии, или моделью связи.

    Уравнение линейной множественной регрессии имеет вид:

    Ŷ = a₀ + a₁ x₁ + a₂ x₂ +… + a_k x_k 

    где Ŷ – теоретические значения результативного  признака, полученные в результате подстановки соответствующих значений факторных признаков в уравнение  регрессии;

    x₁, x₂, …, x_k - факторные признаки;

    a₀, a₁, …, a_k – параметры модели (коэффициенты регрессии)

    Параметры могут быть определены графическим  методом, методом наименьших квадратов  и т. д.

1.3.6 Оценка параметров уравнения линейной регрессии⁵

    Проверка  адекватности моделей, построенных  на основе уравнений регрессии, начинается с проверки значимости каждого коэффициента регрессии.

    Значимость  коэффициентов регрессии осуществляется с помощью t- критерия Стьюдента

    

     С_kk – элемент обратной матрицы ((Χ^TΧ)^-1) 

    где S²_ост – остаточная дисперсия, характеризующая степень рассеяния фактических значений Y относительно расчетных значений Ŷ.

    Параметр  модели признается статистически значимым, если

    ta_k> t_кр (α; n=n-k-1)

    где  α – уровень значимости критерия проверки гипотезы о равенстве нулю параметров, измеряющих связь, т.е. статистическая существенность связи утверждается при отклонении нулевой гипотезы об отсутствии связи;

    n=n-k-1 – число степеней свободы, которое характеризует число свободно варьирующих элементов совокупности.

1.3.7 Множественная нелинейная регрессия. Метод Брандона⁶

    1. Основная идея метода Брандона. Сложная множественная корреляционная зависимость:

    Ŷ = f(x₁, x₂, …, x_k)

    представляется  в виде некоторых парных корреляционных зависимостей:

      Ŷ = y_ср*Ŷ₀*Ŷ₁*Ŷ₂*…* Ŷ_n-1

    Ŷ₀ – зависимая переменная в уравнении парной регрессии, построенной для случайных величин y_0i и x_i1.

    Ŷ_0i = f(x_i1), i= 1,N

    

                          

    Ŷ_k – зависимость переменных в уравнении парной регрессии построенных для случайных величин y_ki и x_ik+1.

    Ŷ_k = f(x_k+1)

    2. Алгоритм метода Брондона

    - Вычисляется среднее значение Y:

    

    - Каждое i-ое наблюдение преобразуется к виду:

    

    - Для пары переменных y_0i и x_i1 также как для парной регрессии выбирается вид зависимостей с максимальным уровнем спецификации по критерию Дарбина-Уотсона и по величине корреляционного отношения η, для линейной зависимости берется коэффициент корреляции r:   

    Ŷ₀ = f(x₁)

    - Вычисляются значения Ŷ_0i

    y_0i

    Y_1i =

    Ŷ_k

    - Для пары переменных y_1i и x_i2 выбирается вид зависимостей с максимальным уровнем спецификации:

      Ŷ₁ = f₂(x₂)

    Процесс определения Ŷ_k  , k= 0, n-1 продолжается до исчерпания всех n факторов.

    Ŷ_n = f_n(x_n)

    Таким образом, общую формулу множественной  нелинейной регрессии можно записать в следующем виде:

               _{n-1               n-1}       

    Ŷ = y_срП Ŷ_k = y_срП f_k+1(x_k+1) 

               ^{k=0              k=0}

    После построения уравнения множественной  регрессии (линейной и нелинейной) проводят спецификацию множественной регрессии.

    Спецификация  проводится для того, чтобы из двух зависимостей наилучшим образом  выбрать ту зависимость, которая  отражает адекватно зависимость  между величинами x_i и y существующими реально. Спецификация множественной регрессии включает:

1. Определение тесноты связи.
2. Определение значимости коэффициентов уравнения регрессии.

    Для проверки значимости коэффициентов  используют t-критерий Стьюдента. В зависимости от выбранной формы уравнения регрессии для коэффициентов уравнения находят значение t_расч и сравнивают его с табличным значением критерия Стьюдента t_кр.