Статистический анализ продаж готовой продукции ООО ПФ «Челнинский арматурный завод»

    

    где a₀, a₁, …, a_n - параметры полиномов;

                            t - условное обозначение времени.

    В статистической практике параметры  полиномов невысокой степени  иногда имеют конкретную интерпретацию  характеристик динамического ряда. Так, параметр a₀ трактуется как характеристика средних условий ряда динамики, параметры a₁, a₂, a₃ - изменение ускорения.

    В статистике выработано правило выбора степени полинома модели развития, основанное на определении величин  конечных разностей уровней динамических рядов. Согласно этому правилу, полином  первой степени (прямая) применяется  как модель такого ряда динамики, у  которого первые разности (абсолютные приросты) постоянны, полиномы второй степени - для отражения ряда динамики с постоянными вторыми разностями (ускорениями), полиномы третьей степени - с постоянными третьими разностями и т.д.

    Для полиноминальных моделей характерно отсутствие прямой связи между абсолютными  приростами и приростами уровней  рядов динамики.

    Предполагаемой  функцией, отражающей процесс роста  явления, может быть и экспонента у_t = a₀a₁^t  или у_t = a₀ (a₁)^b1t+b2t. Экспоненты характеризуют прирост, зависящий от величины основания функции.

    Отдельные уравнения выражают различные типы динамики. Монотонное возрастание или  убывание процесса характеризуют функции: 1) линейная; 2) параболическая; 3) степенная; 4) экспоненциальная простая (показательная) и производная от нее логарифмическая линейная; 5) сложная экспоненциальная и  производная от нее логарифмическая парабола; 6) гиперболическая (главным образом убывающих процессов); 7) комбинация их видов.

    Для моделирования динамических рядов, проявляющих быстрое развитие в начале ряда и затухающее его развитие к концу, т. е. тех которые характеризуются стремлением к некоторой предельной величине, применяются логистические функции.

    Логистическую функцию часто записывают в следующем  виде:

    

    где С - основание натурального логарифма.

    Логистическая кривая симметрична относительно точки  перегиба и при t = - ∞ стремится к нулю, а при t = + ∞ стремится к некоторой постоянной величине, к которой кривая асимптотически приближается. Если найти вторую производную от y_t по t и приравнять ее к нулю, то для логистической кривой, выражаемой через местоположение точки перегиба кривой, t = lg a₁: a₀;

    У_t, = n : 2.

    Для выбора уравнения можно воспользоваться  формулой стандартной ошибки

    

    n – число наблюдений

    р – число параметров уравнения  

    Автокорреляция

          В значительной части  рядов динамики экономических процессов между уровнями, особенно близко расположенными, существует взаимосвязь. Ее удобно представить в виде корреляционной зависимости между рядами y₁, y₂, …, y_n и этим же рядом, сдвинутым относительно первоначального положения на h моментов времени y_1+h, y_2+h, …, y_n+h Временное смещение L называется сдвигом, а само явление взаимосвязи - автокорреляцией.

    Автокорреляционная  зависимость особенно существенна  между последующими и предшествующими  уровнями ряда динамики. Поскольку классические методы математической статистики применимы лишь в случае независимости отдельных членов ряда между собой, то при анализе нескольких взаимосвязанных рядов динамики важно установить наличие и степень их автокорреляции.

    Различаются два вида автокорреляции:

    1) автокорреляция в наблюдениях за одной или более переменными;

    2) автокорреляция ошибок или автокорреляция в отклонениях от тренда.

    Наличие последней приводит к искажению  величин средних квадратических ошибок коэффициентов регрессии, что  затрудняет построение доверительных  интервалов для коэффициентов регрессии, а также проверку их значимости.

    Автокорреляцию  измеряют при помощи нециклического коэффициента автокорреляции, который  может рассчитываться не только между соседними уровнями, т. е. сдвинутыми на один период, но и между сдвинутыми на любое число единиц времени (L). Этот сдвиг, именуемый временным лагом, определяет и порядок коэффициентов автокорреляции: первого порядка (при L = 1), второго порядка (при L = 2) и т.д. Однако наибольший интерес для исследования представляет вычисление нециклического коэффициента (первого порядка), так как наиболее сильные искажения результатов анализа возникают при корреляции между исходными уровнями ряда (у_t1) и теми же уровнями, сдвинутыми на одну единицу времени, т. е. у_t-1 (или у_t+1).

    Тогда формулу коэффициента автокорреляции можно записать следующим образом:

    

    где σ_y1, σ_yt+1 - среднее квадратическое отклонение рядов у_t и у_t+1 соответственно.

    Если  значение последнего уровня (у_n) ряда мало отличается от первого (у₁), то сдвинутый ряд не укорачивается, его можно условно дополнить, принимая у_n = у₁. Тогда у_t = у_t+1, и σ_y1 = σ_yt+1  , поскольку рассчитываются они для одного и того же ряда. При такой замене, формула коэффициента автокорреляции примет вид:

    

    Если  ряд динамики состоит из уровней, среднее значение которых равно  нулю (у = 0), то выражение значительно  упрощается: 

    

    Для суждения о наличии или отсутствии автокорреляции в исследуемом ряду фактическое значение коэффициентов  автокорреляции сопоставляется с табличным (критическим) для 5%-ного или 1%-ного уровня значимости (вероятности допустить ошибку при принятии нулевой гипотезы о независимости уровней ряда).

    Наиболее  распространенным примером выявления  наличия автокорреляции в отклонениях  от тренда или от регрессионной модели является использование критерия Дарбина - Уотсона, который рассчитывается по формуле

    

    При условии, что отклонения уровней  от тенденции (так называемые остатки) случайны, значения D, лежащие в интервале от 0 до – 4, всегда будут находиться ближе к 2. Если автокорреляция положительная, то D < 2; отрицательная – 2 ≤ D ≤ 4. Следовательно, оценки, получаемые по критерию, являются не точечными, а интервальными. Их значения для трех уровней значимости (α = 0,01, α = 0,025 и α = 0,05) с учетом числа наблюдений даны в специальных таблицах. 

    Оценивание  временных рядов  с авторегрессией

    Авторегрессионная модель

    Для произвольного временного ряда далеко не всегда удается подобрать адекватную модель вида Y_t = f(t) + ε_t, для которой величины ошибок ε_t будут удовлетворять условиям теоремы Гаусса-Маркова необходимой для проведения регрессионного анализа в частности требуется, чтоб величины ошибок ε_t не были коррелированны друг с другом.

    В тех случаях, когда эти условия  не выполняются, т.е. ошибки коррелированны, одним из способов избавиться от этого  является использование моделей  другого вида. В данном случае модели учитывающей влияние предыдущих уровней изучаемого фактора, которые  называются авторегрессионными моделями.

    Авторегрессионная модель p-го порядка имеет вид:

    Y_t = b₀ + b₁ y_t-1 + b₂ y_t-2 + … + b_p y_t-p + ε_t

    где b₀, b₁, … , b_p – константы, получаемые с помощью регрессионного анализа

    И за счет того, что эта модель принимает  во внимание предыдущие значения или  значения предыдущего момента времени, остаточный член ε_t перестает проявлять автокоррелированность.

    Если  рассматриваются влияния в момент времени t только предшествующие уровни, то получают Марковский случайный процесс (авторегрессионную модель I-го порядка): 

    Y_t = b₀ + b₁ y_t-1 + ε_t

    Частный случай, в котором автокорреляция подчиняется авторегрессионной  схеме I-го порядка:

    u_t = ρu_t-1 + ε_t

    Это означает, что величина случайного члена этого ряда в любом наблюдении равна его значению в предшествующем наблюдении u_t-1 умноженному на константу ρ плюс случайный остаток ε_t.

    Данная  схема оказывается авторегрессионной  поскольку член такого ряда и определяется значениями этой же самой величины с запаздыванием равным единицы.

    Предполагается, что значение ε в каждом наблюдении не зависит от его значений во всех других наблюдениях.

    Если  ρ> 0, то автокорреляция положительная

• ρ< 0, то автокорреляция отрицательная
• ρ= 0, то автокорреляция пропадает и удовлетворяется соответствующее условие теоремы Гаусса-Маркова.

    Вид функции тренда можно считать  выбранным удачно, если отклонение от него измеренных данных будут независимыми, т.е. необходимо выполнение условия  регрессионного анализа.

    Если  оказывается, что остатки e_t коррелированны между собой,  то метод наименьших квадратов не может быть применен в этом случае вообще. Оценки параметров этой модели будут содержать грубые ошибки.

    В случае выявления автокорреляции необходимо вернуться к выбору функции регрессии  и пересмотреть набор включаемых в нее переменных и возможного включения в нее предыдущего  значения уровня ряда.

    Наиболее  простым и достаточно надежным критерием  определения автокорреляции остатков ряда является критерий Дарбина-Уотсона.   

    Экстраполяция тренда⁹

    Важное  место в системе методов прогнозирования  занимают статистические методы. Применение прогнозирования предполагает, что закономерность развития, действующая в прошлом (внутри ряда динамики), сохранится и в прогнозируемом будущем, т. е. прогноз основан на экстраполяции. Экстраполяция, проводимая в будущее, называется перспективной и в прошлое ретроспективной. Обычно, говоря об экстраполяции рядов динамики, подразумевают чаще всего перспективную экстраполяцию.

    Применение  экстраполяции в прогнозировании  базируется на следующих предпосылках:

    • развитие исследуемого явления в целом следует описывать плавной кривой;

    • общая тенденция развития явления в прошлом и настоящем не должна претерпевать серьезных изменений в будущем.

    Экстраполяцию в общем виде можно представить  формулой

    

    где Ŷ_i+T - прогнозируемый уровень;

              у_i - текущий уровень прогнозируемого ряда;

              Т - период упреждения;

              a_i - параметр уравнения тренда.    

    Наиболее  распространенным методом прогнозирования считают аналитическое выражение тренда. При этом для выхода за границы исследуемого периода достаточно продолжить значения независимой переменной времени (t).

    При таком подходе к прогнозированию  предполагается, что размер уровня, характеризующего явление, формируется  под воздействием множества факторов, причем не представляется возможным  выделить отдельно их влияние. В связи  с этим ход развития связывается  не с какими-либо конкретными факторами, а с течением времени, т. е. у = f(t).

    Экстраполяция дает возможность получить точечное значение прогноза. Точное совпадение фактических данных и прогностических точечных оценок, полученных путем экстраполяции кривых, характеризующих тенденцию, имеет малую вероятность. Возникновение таких отклонений объясняется следующими причинами.

    1. Выбранная для прогнозирования кривая не является единственно возможной для описания тенденции. Можно подобрать такую кривую, которая дает более точные результаты.

    2. Построение прогноза осуществляется на основании ограниченного числа исходных данных. Кроме того, каждый исходный уровень обладает еще случайной компонентой. Поэтому и кривая, по которой осуществляется экстраполяция, будет содержать случайную компоненту.

    3. Тенденция характеризует лишь движение среднего уровня ряда динамики, поэтому отдельные наблюдения от него отклоняются. Если такие отклонения наблюдались в прошлом, то они будут наблюдаться и в будущем.

    Любой статистический прогноз носит приближенный характер. Поэтому целесообразно определение доверительных интервалов прогноза.