Контрольная работа по "Исследование операций"

S₄ – событие состоящее в безотказной работе четвертого элемента.

S₅ – событие состоящее в безотказной работе пятого элемента.

S₆ – событие состоящее в безотказной работе шестого элемента и тд

 

Если элементы отказывают независимо друг от друга:

,

 

где -вероятность того, что система находится в состоянии S₀

          - вероятность того, что итый элемент находится в состоянии S_i

 

Так как все элементы одинаковы, то:  

 

 

  

 

Надежность каждого элемента должна быть

 

 

Задача № 24. Задача о надежности системы с резервом.

Вычислить надёжность                     

системы, состоящей из трех (Э1, Э2                         Вход

и Э5) основных и четырёх (Э3, Э4,

Э6 и Э7) резервных элементов,

которые образуют систему

 с «горячим» резервом.

Схема надежности системы

приведена на рисунке. Надёжность каждого

элемента принять   p_i, где  i=1,2,3,4,5,6,7.                                                                    Выход

      

 

 

 

 

 

 

Подсказка.  Последовательно предельно упростите схему надёжности, объединяя группы реальных элементов в условные элементы, надёжность которых вычисляется по простым и известным правилам.

 

 

 

 

Решение:

 

подсистема S₁: последовательное соединение Э1 и Э2

надежность:

 

 

подсистема S₂: параллельное соединение Э3 и Э4

надежность:

 

 

подсистема S₃: последовательное соединение S₁ и S₂

надежность:

 

 

подсистема S₄: параллельное соединение Э6 и Э7

надежность:

 

 

подсистема S₅: последовательное соединение Э5 и S₄

надежность:

 

 

Вся система S: параллельное соединение S₃ и S₅

Надежность:

 
Задача № 25. Задача о надежности системы с мгновенными ремонтами.

Предложить задачу самостоятельно (сформулировать и дать решение).

 

Работает столяр электро-лобзиком. Полотно лобзика подвергается простейшему потоку отказов с интенсивностью . При отказе полотно лобзика мгновенно заменяется новым. У столяра в распоряжении 3 запасных полотна, находящиеся в холодном резерве. Найти надежность системы за 3 смены (24часа)

 

Решение:

 

Для простейшего потока событий  с интенсивностью формула Пуассона позволяет вычислить количество событий, попадающих на определенный интервал времени . Найти отказы – это и есть это событие.

 

Формула Пуассона: 

Надежность системы считаю как вероятность того, что кол-во отказов (событий) на отрезке от 0 до 24ч не превысит имеющиеся в запасе N элементов (полотен для эл-лобзика)

 

Нахожу  как сумму по всем индексам m от 1 до 3

 

 
Задача № 26.

В коллективе школы работают n преподавателей. Каждый из них с одной и той же вероятностью заболевает (уходит на бюллетень) в среднем на   k  дней.

Вычислить надёжность школьного педагогического  коллектива и среднее количество работающих в любой день преподавателей.

 

Решение:

 

Граф состояний системы:

 

             nλ           (n-1)λ        (n-2)λ        (n-3)λ        (n-4)λ                   λ              

             μ               2μ                3μ                4μ               5μ                    nμ

 

S₀ – все преподаватели работают.

S₁ – один преподаватель заболел, все остальные работают.

……………………………………….

S_n – все преподаватели болеют.

 

 

Надежность системы будет равна сумме всех состояний, кроме последнего:

 

 

 

Последнее состояние системы:

 

Где:                

k – среднее кол-во дней, за которые выздоравливает преподаватель

 

отсюда: 

 

 

Среднее количество работающих в любой день преподавателей :

 

,  где  - вероятность того, что отдельный преподаватель не болеет

 

 

 

Задача № 27. Задача о компьютерном классе.

Компьютерному классу для нормального  обеспечения учебного процесса необходимо N персональных компьютеров (ПК).

Основные состояния ПК:    s₁ – исправен и эксплуатитуется ;

                                        s₂ – заподозрена неисправность и ПК диагностируется;

                                              s₃ – ПК  списан на запасные комплектующие;

                                              s₄ – после осмотра ПК передан ремонтной бригаде.

 В соответствии с паспортом,  среднее время безотказной работы ПК = t_бр, обязательное (обусловленное стандартной программой диагностирования ПК) время осмотра равно t_g.

Списание ПК компенсируется периодическим приобретением новых, «жизнь» которых в компьютерном классе начинается с осмотра.

После осмотра определённая доля приобретённых ПК отправляется в ремонт, остальные – в эксплуатацию.

Составить граф состояний ПК, разметить  его и составить уравнения  динамики средних численностей.

 

Решение:

 

Граф состояний системы:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- численность исправных ПК

 

- численность диагностирующихся ПК

 

- численность списанных ПК

 

- численность ПК в ремонте

 

- доля поставляемых ПК исправными

 

- доля поставляемых ПК исправными

 

 

- пополнение ПК,

 

- интенсивность отказов ПК

- интенсивность отказов ПК  после диагностики

 

- поток вновь прибывших ПК  неисправными

 

- интенсивность поступления  ПК в ремонт

 

- интенсивность ремонта ПК

 

- поток части ПК, оказавшихся  исправными

 

- вероятность списания ПК  после работы

 

- вероятность ремонта приходящего  ПК

 

 

Общее кол-во ПК

 

, где  - начальное кол-во ПК, - поток прибывших ПК

 

 

Кол-во списываемых ПК должно быть равно числу пополненных ПК

 

 

Нахожу количество:

 

 

Составляю уравнение динамики средних  численностей руководствуясь известными формальными правилами: