Надежность устройств автоматики и телемеханики

N_OB – число объектов, поставленных на восстановление.

Вероятность восстановления работоспособного состояния:

 

 

 

где N_B – число объектов восстановленных за время t;

N_OB – число объектов, поставленных на восстановление

Интенсивность восстановления

 

 

 

где α_B(t) – частота восстановления;

S(t) – вероятность восстановления.

 

1. 2. 3. Показатели долговечности

 

Под долговечностью понимают свойство элемента сохранять работоспособность  до наступления предельного состояния  при надлежащем техническом обслуживании и ремонте. Для не восстанавливаемых  элементов долговечность совпадает  с временем их эксплуатации до отказа. Количественные оценки долговечности - срок службы и ресурс.

Ресурсом называют наработку  объекта от начала эксплуатации или  после ремонта до наступления  предельного состояния. Различают  средний ресурс и гамма - процентный ресурс.

Средний срок службы - средняя  календарная продолжительность  службы объектов. Различают средний  срок службы до первого капитального ремонта и между капитальными ремонтами.

Средний срок службы до списания - средняя календарная продолжительность  эксплуатации до предельного состояния.

Гамма - процентный срок службы - средняя календарная продолжительность  эксплуатации, в течении которого объект не достигает предельного  состояния с заданной вероятностью процентов.

 

1. 2. 4. Показатели сохраняемости

 

Показатели сохраняемости  характеризуют свойство элемента сохранять  эксплуатационные качества во время  хранения и транспортировки. Для  этого используют средний срок сохраняемости  и интенсивность отказов при  хранении . свойство сохраняемости  можно рассматривать как специфический  случай безотказности в период хранения и транспортировки. В сельском хозяйстве  большая часть энергетического  оборудования занята в течении года от двух до шести месяцев, а остальное  время её не используют. Для такого оборудования свойство сохраняемости  имеет первостепенное значение.

 

1. 2. 5. Комплексные показатели надёжности

 

Коэффициент готовности - характеризует  готовность объекта к применению по назначению:

 

 

 

где Т_СР – средняя наработка на отказ;

Т_В – среднее время восстановления.

Коэффициент оперативной  готовности характеризует готовность объекта к функционированию с  учётом простоев по организационным  причинам.

Коэффициент технического обслуживания характеризует время нахождения объектов в работоспособном состоянии  с учётом простоя объектов на всех видах технического обслуживания и ремонта.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Элементы теории Марковских  случайных процессов

 

 

2.1. Понятие марковского случайного процесса.

 

При проектировании средств  вычислительной  техники  широкое  применение занимают марковские модели,  используемые для анализа и синтеза  вычислительных структур,  которые  можно  рассматривать как стохастические системы без последствия.

Функционирование широкого класса систем  можно  представить  как процесс   перехода   из   одного   состояния  в  другое  под воздействием каких-либо      причин.      Например,      процесс функционирования ЭВМ  характеризуется  тем,  что в каждый момент времени  обработкой информации заняты те или  иные блоки.  Процесс прохождения  обрабатываемой   информации   по  блокам  ЭВМ  можно рассматривать  как процесс перехода системы  из одного состояния в другое. В    полной   мере   это   относится   и   к   процессу функционирования ЭВМ с точки зрения надежности.  В каждый момент времени некоторые  узлы  работоспособны,  а некоторые отказали и восстанавливаются. Если     каждому     возможному     множеству работоспособных (или   отказывающих)   элементов   поставить   в соответствие множество   состояний   системы,   то   отказы    и восстановления элементов  будут  отражаться переходом объекта из одного состояния в другое.

Пусть имеется  некоторая  физическая  система S,  которая  в процессе функционирования может  принимать  различные  состояния Si. Если   состояния   системы  меняются  во  времени  случайным  образом, то процесс  смены  состояний  можно  рассматривать  как случайный  процесс, описываемый случайной  функцией X(b).

Полное множество состояний  Si  исследуемой  системы  может  быть либо конечным (i = 1, n), либо бесконечно большим.

Большинство реальных   систем   имебт  дискретное  конечное пространство состояний.   Последовательность   состояний   такой системы Si (i = 1, n) и сам процесс  переходов  из  состояния  в  состояние называется   цепью.   Ниже  будут  рассмотрены  только случайные цепи.

В зависимости   от  времени  пребывания  системы  в  каждом состоянии различают  процессы с дискретным  временем.  Системы  с непрерывным временем предполагают, что переход системы из одного состояния в другое может осуществляться в любой момент  времени, т. е.  время  пребывания системы в каждом состоянии представляет непрерывную случайную величину.

Для систем с дискретным временем время пребывания системы  в каждом состоянии фиксированное, а моменты переходов t1, t2, ..., t_k размещаются на  временной оси через равные  промежутки  и называются "шагами" или "этапами".  Время нахождения  системы в некотором состоянии представляет дискретную случайную величину.

Таким образом, случайный  процесс с непрерывными состояниями  и непрерывным  временем функционирования описывается непрерывной случайной  функцией  времени.  Непрерывные  и   дискретные   цепи описываются  дискретными случайными функциями  времени.

При исследовании непрерывных  и дискретных  случайных  цепей  обычно пользуются  графическим  представлением  функционирования системы. Граф состояний системы  представляет собой  совокупность вершин, изображающих   возможные   состояния   системы   Si,   и совокупность ветвей,  изображающих возможные переходы системы из одного состояния в другое.

 

2.2. Дискретные цепи Маркова

 

Пусть имеется некоторая  система S,  которая в процессе функционирования может принимать различные состояния S_i, i=1..n. Если состояния системы меняются случайным  образом,  то  последовательность состояний системы образует случайный процесс.

Случайный процесс, протекающий  в системе S, называется марковским,  если для любого момента времени t₀ вероятность любого состояния системы при t>t₀ зависит только от ее состояния при t=t₀  и не зависит от того,  как и когда система пришла в это состояние.  Если число состояний S_i,  которые система может принимать,  конечно,  то такие системы  описывает марковский случайный процесс с дискретными состояниями, или марковская цепь.

Если переходы системы  из одного состояния в другое  возможны  в строго определенные,  заранее фиксированные моменты времени tj,  то такую систему описывает марковский случайный процесс  с  дискретным временем.  Марковский случайный процесс с диcкретными состояниями и дискретным временем называют дискретной марковской цепью.

Обычно марковскую цепь изображают в виде графа, вершины которого соответствуют возможным состояниям системы S_i,  а дуги – возможным переходам системы из состояния S_i -> S_j.  Каждой дуге соответствует переходная вероятность P_ij(k)=P[S_j(k)/S_i(k-1)] - это условная вероятность перехода системы на К-ом шаге в состояние S_j при условии,  что на предыдущем (К-1)-ом этапе система находилась в состоянии S_i.

Марковская цепь называется однородной,  если переходные вероятности не зависят от номера шага.  Если переходные вероятности меняются от шага к шагу, марковская цепь называется неоднородной.

Полным описанием однородной марковской цепи служит матрица  переходных вероятностей

 

              | P₁₁  P₁₂ .... P_1j .... P_1n|

              | P₂₁  P₂₂ .... P_2j .... P_2n|   n              ____

  |P_ij| =     | ..........................|            ∑ (P_ij)=1;  i=1, n

            | | P_i1  P_i2 .... P_ij .... P_in|     j=1

            | | ..........................|

            i | P_n1  P_n2 .... P_nj .... P_nn|

 

Для неоднородной  марковской  цепи требуется К матриц,  где К число шагов.Определим для  однородной марковской цепи вероятности всех состояний системы на каждом шаге по заданной матрице переходных  вероятностей |P_ij|, причем известно начальное состояние системы.

Пусть в начальный момент t0 система находится в  состоянии  S_i. Тогда P_i(0)=1, P_j(0)=0, j=1,2,..,n, j=/=i. Найдем вероятности состояний   после   1-го   шага  P1(1)=P_i1,  P2(1)=Pi2,  ...,  P_j(1)=P_ij, ...,P_n(1)=P_in.  Найдем вероятность состояний после 2-го шага, рассматривая следующий набор гипотез:

    - после 1-го  шага система была в состоянии  S1;

    - после 1-го  шага система была в состоянии  S2;

     .............................................

    - после 1-го  шага система была в состоянии  S_n.

Вероятности гипотез известны и равны вероятностям состояний  системы после 1-го шага.

Тогда по формуле полной вероятности:

 

       P1(2)=P1(1)*P11+P2(1)*P21+...+Pn(1)*Pn1

 

       P2(2)=P1(1)*P12+P2(1)*P22+...+Pn(1)*Pn2

       .......................................

                 n                                  ___

       Pi(2)= ∑ [Pj(1)*Pji]             i=1,n

               j=1

 

Аналогично после 3-го шага вероятности определяются выражением

                   n                                 ___

       Pi(3) = ∑ [Pj(2)*Pji]            i=1,n

                 j=1

После К-го шага

                  n                                   ___

       Pi(k)= ∑ [Pj(k-1)*Pji            i=1,n

                j=1

 

Аналогично для неоднородной марковской цепи

                  n

       Pi(k)= ∑ [Pj(k-1)*Pji(k)]        (2)

                j=1

 

Все многообразие  марковских цепей подразделяется на эргодические и  разложимые.

Разложимые марковские цепи содержат невозвратные состояния, называемые поглощающими.  Из поглощающего состояния нельзя перейти ни в какое другое.  На графе поглощающему состоянию соответствует вершина,  из которой не выходит ни одна дуга.  В установившемся режиме поглощающему состоянию соответствует вероятность, равная 1.

Эргодические марковские цепи описываются сильно связанным  графом.  Это означает,  что в такой системе возможен переход из любого состояния Si в любое состояние Sj (i,j=1..n) за конечное число шагов.

Для эргодических цепей при  достаточно большом времени  функционирования (t  стремится к бесконечности) наступает стационарный режим, при котором вероятности Pi состояний  системы  не  зависят  от времени и  не зависят от распределения вероятностей в начальный момент времени, т.е. Pi=const.

Каждая компонента  Pi  вектора  таких стационарных вероятностей характеризует среднюю долю времени,  в течение которого система находится в рассматриваемом состоянии Si за время наблюдения, измеряемое К шагами.

Для определения стационарных вероятностей Pi нахождения системы в состоянии Si (i=1..n) нужно составить систему n линейных однородных алгебраических уравнений с n неизвестными:

 

 

             n

       Pi= ∑ (Pj*Pji)     i=1..n  

            j=1

 

Причем, искомые вероятности  должны удовлетворять условию:

 

    n

     ∑ (Pi) = 1

    j=1                              

                                                n

или, что равносильно   Pi=1- ∑ Pj      

                                              j=1

 

Систему линейных алгебраических уравнений (3) удобно составлять непосредственно по размеченному графу состояний.  При этом в  левой части уравнения записывается вероятность состояния, соответствующего рассматриваемой вершине графа, а в правой части - сумма произведений.  Число  слагаемых соответствует числу дуг графа,  входящих в рассматриваемое состояние. Каждое слагаемое представляет произведение вероятности того состояния,  из которого выходит дуга графа, на переходную вероятность,  которой помечена соответствующая дуга графа.

 

2.3. Непрерывные марковские цепи

 

Непрерывные марковские  цепи   описывают   функционирование систем, принимающих  в  процессе работы конечное число состояний

Si (i = 1,  n)  и  осуществляющих  переходы из одного состояния  в другое (Si --> Sj, i, j = 1, n) случайным образом в произвольный момент времени t.  Иначе говоря, время пребывания  системы  в любом  состоянии представляет непрерывную случайную величину.