Соотношение Крамерса – Кронига

Государственное образовательное  учреждение высшего профессионального  образования

РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ  ДРУЖБЫ НАРОДОВ

 

 

 

Факультет: Инженерный

Дисциплина: Математические методы планирования и обработки результатов измерений

 

 

 

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

 

СООТНОШЕНИЕ КРАМЕРСА-КРОНИГА

 

 

 

 

 

Студент:

Научный руководитель:

Москва

                                 2012

СОДЕРЖАНИЕ

 

Введение   3

1. Соотношение Крамерса – Кронига и правило сумм   3

2.  6

3.  12

Заключение   16

Приложения 17

Список литературы   19

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. СООТНОШЕНИЯ КРАМЕРСА – КРОНИГА И ПРАВИЛО СУММ

 

 Электромагнитное поле в веществе полностью описывается микроскопическими уравнениями Максвелла:

                                                                                                           (1)                                                                                                    (2)   

 

где индукции электрического и магнитного полей связаны с напряженностями формулами

                                                                                       (3)

 

А линейные материальные уравнения в фурье представлении имеют вид

                                                                                                                                    (4)                                                           (5)                                                                                                                                                      (6)

 

Для краткости  будем называть тензора как в координатном, так и в фурье представлении материальными тензорами. Рассмотрим их свойства. Рассмотрение начнем с обсуждения их комплексных свойств. Для краткости будем рассматривать тензор диэлектрической проницаемости. Диэлектрическая проницаемость в координатном представлении действительна, так как связывает две действительных величины. Следовательно,

                                    (7)

 

является  комплексной функцией и должна удовлетворять условию

                                                    (8)

 

Если  в тензоре диэлектрической проницаемости  выделить действительную и мнимую части

 

 

то получим  соотношения

                                (9)

 

В частности, при отсутствии пространственной дисперсии (отсутствует зависимость от волнового  вектора  ), то действительная часть должна быть четной функцией частоты, а мнимая часть нечетной. Аналогичными свойствами должны обладать тензора .

Другим  важным тензорным свойством является следующее свойство симметрии тензора  диэлектрической проницаемости, которое  следует из симметрии уравнений  движения относительно обращения времени, 

                                                                                                                                                                           (10)     

 

Это соотношение  называют принципом симметрии Онсагера. При наличии магнитного поля принцип симметрии Онзагера выражается соотношением

                                                                                                                                                          (11)

 

Важным  вопросом является  вопрос: как симметрия  кристалла сказывается на симметрии  физических свойств кристалла (в частности на виде материальных тензоров). Ключом к этому вопросу является фундаментальный принцип кристаллофизики, известный как принцип Неймана: Элементы симметрии любого физического свойства кристалла должны включать элементы симметрии кристалла. Подчеркнем, что принцип Неймана не утверждает, что симметрия структуры кристалла и симметрия его физических свойств совпадают (на самом деле симметрия физических свойств может быть шире, чем группа симметрии структуры кристалла. Например, для кристалла с кубической симметрией, тензора второго ранга, описывающие физические свойства, должны иметь вид

 

 

то есть не должен меняться при любых преобразованиях  системы координат, а не только при  преобразованиях симметрии куба.

Рассмотренные свойства симметрии могут комбинироваться  и при водить к новым свойствам и понятиям. Например рассмотрим среду, которая имеет центр симметрии (то есть преобразование является преобразованием симметрии). Это означает, что эквивалентны, то есть                                                                                                                                                                         (12)

 

что вместе с (10) дает

                                                                                                                                                                               (13)        

 

Такая среда  называется негиротропной средой. Если же в среде есть хотя бы одно направление  , не эквивалентное , то вместо (13), получим

                                                                                                                                                                                 (14)

 

Такая среда  называется гиротропной. Заметим также, что условие (13) следует из принципа симметрии Онзагера, при отсутствии пространственной дисперсии. Это означает, что гиротропными могут быть только среды с пространственной дисперсией. Все сказанное о тензоре , относится и к материальным тензорам .

Перейдем  к выводу свойства, которое является следствием принципа причинности (соотношений  Крамерса-Кронига). Значения индукции в момент времени могут зависеть от значения напряженности только в более ранние моменты времени. На самом деле принцип причинности вместе с конечностью скорости распространения взаимодействия приводит к еще более сильному утверждению (для однородных сред)

                                                              (15)

 

Рассмотрим  среду без пространственной дисперсии, то есть зависимость от координат  локальная  . Тогда уравнение (15) вместе с определением (7)  дает                                                                                                                                                          (16)

Эта формула  отличается от обычного преобразования Фурье отсутствием множителя  и интегрированием только по положительным временам. Далее для простоты будем опускать индексы (можно сказать, что рассматриваем изотропный случай) и запишем (16) в виде

                                                        (17)

 

где функция  описывает поляризуемость среды

                                                                                                                                  (18)

 

Поляризуемость, по сравнению с диэлектрической  проницаемостью, обладает тем преимуществом, что она конечна и непрерывна (это следует из физических соображений) для любых  . Тогда как содержит особый вклад .  Для функции из (17) имеем

                                                                                                                                                                   (19)        

 

Еще одно важное свойство состоит в том, что при . Действительно, значение поляризации в данный момент не должно зависеть от того, что происходило бесконечно “давно”, так как время релаксации среды конечно. Выразим перечисленные свойства через свойства фурье - образа :

(20)                                                                                                                                                             (21)                                                                                                                                                           (22)

 

Отметим также, что (21) для проводников не выполняется.   

Теперь  рассмотрим функцию  как функцию комплексной переменной  . Из свойства причинности (смотри (19)) следует, что эта функция аналитическая в верхней полуплоскости . Представим ее в виде суммы действительной и мнимой частей

 

          

    (23)            

 

Проверьте условия Коши – Римана (интегрировать можно сходящиеся интегралы, а это следствие причинности). Поэтому и аналитичность есть следствие причинности. Итак,   аналитична, и кроме того   при .   Вычислим интеграл:

 

 

 

          (24)          

 

Буквы перед  интегралом означают , что этого интеграл в смысле главного значения. А из (24) имеем

                                                                                 (25)

 

Эти соотношения  называют соотношениями Крамерса - Кронига: они связывают действительную и мнимую части поляризуемости. Запишем их в следующем виде

                                                                               (26)

 

Соотношения (25 или 26) называют соотношениями Крамерса - Кронига. Как отмечалось выше условия (21) для металлов не выполняются. Действительно, для металла диэлектрическая проницаемость вводится следующим образом

 

 

                      (27)                                                        

 

где называется обобщенной проницаемостью (имеет полюс при   ). Учитывая (27) и (26) получаем форму соотношений Крамерса – Кронига, применимую для металлов (при наличии проводимости)                     

 

Из обобщенной проницаемости выделяем особую мнимую часть  и для остатка получаем (26), а затем возвращаем особую часть.

Соотношения Крамерса - Кронига  определяют  численное  значение  одной оптической  постоянной  или функции   через полный спектр  второй оптической постоянной или функции от нуля до бесконечности. Они носят чрезвычайно общий характер и никак не связаны с составом и структурой каких-либо конкретных веществ. Поэтому соотношения Крамерса - Кронига в равной  мере  применимы к веществам любого  состава и в любых агрегатных состояниях.  Такая   степень  общности является не  только достоинством, но и причиной недостатка соотношений Крамерса - Кронига: они не дают возможности представить частотную зависимость оптических постоянных в явном виде. Действительно, частотная зависимость одной оптической  постоянной  определяется только  через «черный ящик», каковым  является  полный  спектр  второй  оптической  постоянной,  не задаваемый каким-либо конкретным уравнением.

Частота ω в соотношениях (26) (равно как и переменная интегрирования х) может меняться в пределах от -∞ до ∞. Более естественно работать только с положительными значениями частоты. Для этого необходимо связать (-ω) с ε(ω). В формуле (18) (t-t') связывает две действительные величины D(t) и Е(t), поэтому (t-t') тоже является действительной функцией. Отсюда следует, что ее Фурье-компоненты удовлетворяют соотношению (-ω) = (ω) или

((28)

Тогда формулы (26) могут быть приведены только к положительным частотам:

 (29)

 

Соотношения (26) представляют и самостоятельный интерес, и мы еще вернемся к их обсуждению. Вернемся теперь к первоначальной цели нашего обсуждения - получению оптических функций из спектров отражения. В принципе можно получить систему двух нелинейных интегральных уравнений, используя связь ε, с комплексным коэффициентом отражения . Однако решить такую систему чрезвычайно трудно. Рядом авторов был предложен метод нахождения оптических констант из дисперсионных соотношении несколько другого вида. При этом в качестве аналитической функции, не имеющей полюсов в верхней полуплоскости комплексной частоты , рассматривается логарифм комплексного коэффициента отражения по амплитуде , где φ (ω) - фазовый сдвиг электромагнитной волны после отражения от кристалла. Для функции можно записать