Математика и философия в Древней Греции

У Демокрита все математические объекты (тела, плоскости, линии, точки) выступают в определенных материальных образах. Идеальные плоскости, линии, точки в его учении отсутствуют. Основной процедурой математического  атомизма является разложение геометрических тел на тончайшие листики (плоскости) , плоскостей - на тончайшие нитки (линии) , линий - на мельчайшие зернышки (атомы) . Каждый атом имеет малую, но ненулевую величину и далее неделим. Теперь длина линии определяется как сумма содержащихся в ней неделимых частиц. Аналогично решается вопрос о взаимосвязи линий на плоскости и плоскостей в теле. Число атомов в конечном объеме пространства не бесконечно, хотя и настолько велико, что недоступно чувствам. Итак, главным отличием учения Демокрита от рассмотренных ранее является отрицание им бесконечной делимости. Таким образом, он решает проблему правомерности теоретических построений математики, не сводя их к чувственно воспринимаемым образам, как это делал Протагор. Так, на рассуждения Протагора о касании окружности и прямой Демокрит мог бы ответить, что чувства, являющиеся отправным критерием Протагора, показывают ему, что чем точнее чертеж, тем меньше участок касания; в действительности же этот участок настолько мал, что не поддается чувственному анализу, а относится к области истинного познания.

Руководствуясь положениями  математического атомизма, Демокрит проводит ряд конкретных математических исследований и достигает выдающихся результатов (например, теория математической перспективы и проекции).

Выдающимся достижением  Демокрита в математике явилась  также его идея о построении теоретической  математики как системы. В зародышевой  форме она представляет собой  идею аксиоматического построения математики, которая затем была развита в  методологическом плане Платоном и получила логически развернутое положение у Аристотеля.

 

 

2.5 Платоновский идеализм.

 

Сочинения Платона (427-347 гг. до н.э.) - уникальное явление в  отношении выделения философской  концепции. Выделить в творчестве Платона  какой-либо аспект и систематически изложить его довольно сложно, так как приходится реконструировать мысли Платона из отдельных высказываний, которые настолько динамичны, что в процессе эволюции мысли порой превращаются в свою противоположность.

Платон неоднократно высказывал свое отношение к математике и она всегда оценивалась им очень высоко.

Влияние математики обнаруживается в онтологии Платона. Проблема строения материальной действительности у Платона  получила такую трактовку: мир вещей, воспринимаемый посредством чувств, не есть мир истинно существующего; вещи непрерывно возникают и погибают. Истинным бытием обладает мир идей, которые бестелесны, нечувственны и выступают по отношению к вещам как их причины и образы, по которым эти вещи создаются. Далее, помимо чувственных предметов и идей он устанавливает математические истины, которые от чувственных предметов отличаются тем, что вечны и неподвижны, а от идей тем, что некоторые математические истины сходна друг с другом, идея же всякий раз только одна. У Платона в качестве материи началами являются большое и малое, а в качестве сущности - единое, ибо идеи (они же числа) получаются из большого и малого через приобщение их к единству.

Посредством математических отношений Платон пытался охарактеризовать и некоторые явления общественной жизни, примером чего может служить трактовка социального отношения "равенство". Можно заключить, что Платон существенно опирался на математику при разработке основных разделов своей философии: в концепции "познание припоминание", учении о сущности материального бытия, об устройстве космоса, в трактовке социальных явлений и т.д. Математика сыграла значительную роль в конструктивном оформлении его философской системы.

Согласно Платону, математические науки (арифметика, геометрия, астрономия и гармония) дарованы человеку богами, которые "произвели число, дали идею времени и возбудили потребность исследования вселенной". Изначальное назначение математики в том, чтобы "очищался и оживлялся тот орган души человека, расстроенный и ослепленный иными делами", который "важнее, чем тысяча глаз, потому что им одним созерцается истина". "Только никто не пользуется ею (математикой) правильно, как наукою, влекущей непременно к сущему". "Неправильность" математики Платон видел, прежде всего, в ее применимости для решения конкретных практических задач. Нельзя сказать, чтобы он вообще отрицал практическую применимость математики. Платон отрицательно отзывался о тех попытках использования механических методов для решения математических задач, которые имели место в науке того времени. Его неудовлетворенность вызывало также принятое современниками понимание природы математических объектов. Рассматривая идеи своей науки как отражение реальных связей действительности, математики в своих исследованиях наряду с абстрактными логическими рассуждениями широко использовали чувственные образы, геометрические построения. Платон всячески старается убедить, что объекты математики существуют обособленно от реального мира, поэтому при их исследовании неправомерно прибегать к чувственной оценке.

Таким образом, в исторически  сложившейся системе математических знаний Платон выделяет только умозрительную, дедуктивно построенную компоненту и закрепляет за ней право называться математикой. История математики мистифицируется, теоретические разделы резко противопоставляются вычислительному аппарату, до предела сужается область приложения. В таком искаженном виде некоторые реальные стороны математического познания и послужили одним из оснований для построения системы объективного идеализма Платона. Ведь сама по себе математика к идеализму вообще не ведет, и в целях построения идеалистических систем ее приходится существенно деформировать.

Вопрос о влиянии, оказанном  Платоном на развитие математики, довольно труден. Длительное время господствовало убеждение, что вклад Платона в математику был значителен. Однако более глубокий анализ привел к изменению этой оценки. Идеалистическая философия Платона в целом сыграла отрицательную роль в развитии математики. Однако не следует забывать о сложном характере этого воздействия.

Платону принадлежит  разработка некоторых важных методологических проблем математического познания: аксиоматическое построение математики, исследование отношений между математическими  методами и диалектикой, анализ основных форм математического знания. Так, процесс доказательства необходимо связывает набор доказанных положений в систему, в основе которой лежат некоторые недоказуемые положения

Критика, которой подвергались методология и мировоззренческая  система Платона со стороны математиков, при всей своей важности не затрагивала сами основы идеалистической концепции. Для замены разработанной Платоном методологии математики более продуктивной системой нужно было подвергнуть критическому разбору его учение об идеях, основные разделы его философии и как следствие этого - его воззрение на математику. Эта миссия выпала на долю ученика Платона - Аристотеля.

 

2.6 Система философии математики  Аристотеля.

 

Основные вопросы философии, логики, психологии, естествознания, техники, политики, этики и эстетики, поставленные в науке Древней Греции, получили у Аристотеля полное и всестороннее освещение. В математике он, по-видимому, не проводил конкретных исследований, однако важнейшие стороны математического познания были подвергнуты им глубокому философскому анализу, послужившему методологической основой деятельности многих поколений математиков.

Ко времени Аристотеля теоретическая математика прошла значительный путь и достигла высокого уровня развития. Продолжая традицию философского анализа математического познания, Аристотель поставил вопрос о необходимости упорядочивания самого знания о способах усвоения науки, о целенаправленной разработке искусства ведения познавательной деятельности, включающего два основных раздела: "образованность" и "научное знание дела". Среди известных сочинений Аристотеля нет специально посвященных изложению методологических проблем математики. Но по отдельным высказываниям, по использованию математического материала в качестве иллюстраций общих методологических положений можно составить представление о том, каков был его идеал построения системы математических знаний.

Исходным этапом познавательной деятельности, согласно Аристотелю, является обучение, которое "основано на (некотором) уже ранее имеющемся знании ". Основным принципом, определяющим всю структуру "научного знания дела", является принцип сведения всего к началам и воспроизведения всего из начал. Универсальным процессом производства знаний из начал, согласно Аристотелю, выступает доказательство. Аристотель дифференцированно подходил к объекту, предмету и средствам доказательства.

Аристотель считал предметом  математики "количественную определенность и непрерывность". В его трактовке "количеством называется то, что  может быть разделено на составные части, каждая из которых является чем-то одним, данным налицо. То или другое количество есть множество, если его можно счесть, это величина, если его можно измерить". Множеством при этом называется то, "что в возможности (потенциально) делится на части не непрерывные, величиною - то, что делится на части непрерывные". Прежде чем дать определение непрерывности, Аристотель рассматривает понятие бесконечного, так как "оно относится к категории количества" и проявляется, прежде всего, в непрерывном.

Аристотель определяет непрерывность и прерывность. Так, "непрерывное есть само по себе нечто смежное. Смежное есть то, что, следуя за другим, касается его". Число как типично прерывное (дискретное) образование формируется соединением дискретных, далее неделимых элементов - единиц. Геометрическим аналогом единицы является точка; при этом соединение точек не может образовать линию, так как "точкам, из которых было бы составлено непрерывное, необходимо или быть непрерывными, или касаться друг друга". Но непрерывными они не будут: "ведь края точек не образуют чего-нибудь единого, так как у неделимого нет ни края, ни другой части".

Выделение непрерывного и прерывного как разных родов  бытия послужило основой для  размежевания в логико-гносеологической области, для резкого отмежевания арифметики от геометрии.

В вопросе о появлении  у людей способности познания начал Аристотель не соглашается  с точкой зрения Платона о врожденности таких способностей, но и не допускает  возможности приобретения их; здесь  он предлагает следующее решение: "необходимо обладать некоторой возможностью, однако не такой, которая превосходила бы эти способности в отношении точности". Но такая возможность, очевидно, присуща всем живым существам; в самом деле, они обладают прирожденной способностью разбираться, которая называется чувственным восприятием. Формирование начал идет “от предшествующего и более известного для нас”.

Выбор начал у Аристотеля выступает определяющим моментом построения доказывающей науки; именно начала характеризуют  науку как данную, выделяют ее из ряда других наук. "То, что доказывается", можно трактовать очень широко. С одной стороны, это элементарный доказывающий силлогизм и его заключения. Из этих элементарных процессов строится здание доказывающей науки в виде отдельно взятой теории. Из них же создается и наука как система теорий. Однако не всякий набор доказательств образует теорию. Для этого он должен удовлетворять определенным требованиям, охватывающим как содержание доказываемых предложений, так и связи между ними. В пределах же научной теории необходимо имеет место ряд вспомогательных определений, которые не являются первичными, но служат для раскрытия предмета теории.

Хотя вопросы методологии  математического познания и не были изложены Аристотелем в какой-то отдельной работе, но по содержанию в совокупности они образуют полную систему. В основе философии математики Аристотеля лежит понимание математических знаний как отражения объективного мира. Эта установка сыграла важную роль в борьбе Аристотеля с платоновым идеализмом; ведь "если в явлениях чувственного мира не находится вовсе математическое, то каким образом возможно, что к ним прилагаются его свойства? " - писал он. Разумеется, материализм Аристотеля был непоследовательным, в целом его воззрения в большей степени соответствовали потребностям математического познания, сем взгляды Платона. В свою очередь математика была для Аристотеля одним из источников формирования ряда разделов его философской системы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение.

 

Таким образом, уже в  исходном пункте своего развития теоретическая математика находится под активным воздействием острой борьбы двух основных типов мировоззрения - материалистического по своей основе мировоззрения милетской школы и религиозно-идеалистического мировоззрения Пифагора и его ближайших последователей. В разных мировоззренческих системах существенно иными оказываются: понимание природы математического знания, выбор объектов исследований, отношение к прикладным задачам, то есть личные важнейшие стороны математической деятельности.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список используемой литературы:

1. Белл Э. Т., «Творцы математики. Предшественники современной математики». – М, 1979 

2. Ван дер Варден Б.Л., “Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции”. – М, 2010

3. Юшкевич А.П., “История математики с древнейших времен до начала XIX столетия”. - М, 1970