Задачи по "Финансовой математике"

Решение задач по финансовой математике.

адача 1.1

 Инвестор приобрел ГКО сроком  обращения 6 месяцев на 120-й день  периода обращения по цене 92%. Определить доходность облигации к погашению.

Решение.

Для определения доходности облигаций к погашению воспользуемся формулой простых процентов.

100 = Рb∙(1 + Rb∙nb/365).

= 92% - цена покупки облигаций  инвестором-покупателем на вторичном  рынке;

- количество дней, оставшихся до  погашения облигаций, купленных  на вторичном рынке; nb = N – na = 182 – 120 = 62 дня.

Тогда доходность операции для покупателя определяется по формуле:

        ,        

Rb = ((100 – 92)/92)∙(365/62) = 0,512.

Доходность облигации к погашению составляет 51,2% годовых.

 

 

 

Задача 1.10

 Облигация федерального займа  с постоянным купонным доходом  была приобретена юридическим  лицом за 67 дней до своего погашения  по цене 101% (с учетом накопленного купонного дохода). Длительность последнего купонного периода составляет 94 дня. Размер купона 17% годовых. Определите сумму налогов, которую заплатит инвестор (юридическое лицо) при погашении.

Решение.

Определим цену облигации к моменту погашения по формуле простых процентов:

РК = N∙(1 + t∙R/365),

Где t – длительность купона, R – размер купона, N – номинальная цена облигации.

Тогда процентный доход составит:

NPV = PK – N = N∙ t∙R/365 = 100∙94∙0,17/365 = 4,378

Налог на процентный доход составит:

NPV∙q = 4,378∙q1, где q1 – ставка купонного налога.

Определим прибыль юридического лица:

D = PK – Pb = 104 – 101 = 3,

Где Pb – цена покупки облигации.

Тогда величина налога на прибыль:

D∙q2 = 3∙q2, где q2 – величина налога на прибыль.

 

 

 

Задача 2.6

  Инвестор приобрел опцион  на продажу с ценой исполнения 25 руб. Премия составила 3 руб. На момент исполнения опциона курс акции составил 27 руб. Определите, прибыль или убыток получил инвестор.

Решение.

  Так как инвестор приобрел  опцион пут, а к моменту исполнения рыночная цена акции повысилась S = 27 > K = 25, то никто не будет покупать право на продажу акции по цене ниже рыночной. Значит, инвестор останется в убытке и его убыток равен величине премии, за которую он приобрел опцион на продажу, т. е. 3 руб.

 

 

 

 

 

Задача 2.11

Инвестор реализует опционную стратегию стрэдл на акции компании «А» с ценой исполнения 80 руб. Премия, уплаченная при этом продавцу опциона, составила 12 руб. Рассчитайте итоги сделки для инвестора, если рыночная цена акции в момент исполнения двойного опциона составила:

а) 100 руб.;

Решение.

Так как рыночная цена акции повысилась, то эффективным будет опцион колл, доход по которому составит S – K = 100 – 80 = 20 рублей. С учетом премии, уплаченной продавцу, прибыль инвестора составит 20 – 12 = 8 рублей.

Следовательно, инвестор окажется в прибыли, величина которого составляет 8 рублей.

 

 

 

3. 1 Задача на расчет  справедливой цены опционы 

а) по Формуле Кокса-Росса-Рубинштейна рассчитать цену опциона-колл и фьючерса, а затем найти цену опциона-пут

вариант	1
N	2
r	0,1
d	-0,2
S	100
K	100
u	0,25

Решение.

Расчет стоимости опционов на основе формулы Кокса-Росса-Рубинштейна.

Опцион-колл.

В этом случае и поэтому справедливая цена опциона-колл за интервалов до даты истечения равна

.

Приведём её к стандартному виду. Пусть

.

Если , то

,

Здесь K – цена исполнения, S – рыночная цена акции, N – число периодов, = (0,1 – (-0,2))/(0,2 – (-0,2)) = 0,75

  Определи k0.

K=0: 100∙(1+0,2)0∙(1 – 0,2)2 = 64 < K

k=1: 100∙(1+0,2)1∙(1 – 0,2)1 = 96 < K

k=2: 100∙(1+0,2)2∙(1 – 0,2)0 = 144 > K

Следовательно, k0 = 2.

= (1/(1 + 0,1)2)∙0,752∙((1+0,2)2∙100 – 100) = 20, 45 руб.

Опцион-пут.

В этом случае и поэтому справедливая цена опциона-пут равна

.

Рассматривая то же значение , что и для случая опциона-колл, получим

=

=  (1/(1 +  0,1)2)∙(0,252∙(100 – (1-0,2)2∙100  ) + 2∙0,75∙0,25∙(100 – (1+0,2)∙(1 – 0,2)∙100)) = 3,099       

Фьючерсные и форвардные контракты.

В отличие от опционов, фьючерсные и форвардные контракты обязательны к исполнению и в них осуществляется только покупка. Поэтому для них . Поэтому, если есть та сумма, которая выплачивается в момент получения товара от продавца, то в качестве аванса должна выплачиваться сумма , равная

.

Но

С другой стороны . Поэтому

Поэтому имеем

= 100 – 100/(1+0,1)2 = 17,35 руб.

  Проверка F0(S) = C0(S) – Р0(S) = 20,45 – 30,1 = 17,35 руб.

 

 

Задача 1.2

  ГКО сроком обращения 92 дня  приобретена инвестором на 26-й  день периода обращения с дисконтом 23% и продана на 68-й день по  цене 91%. Определить доходность операции  инвестора.

Решение.

 и  - соответственно цена первоначальной покупки (bid price) и цена продажи (ask price) облигаций инвестором-продавцом на вторичном рынке;

= 68 – 26 = 42 - количество дней, в течение  которых продавец владеет ими  с момента покупки;

= 100 – 23 = 77% - цена покупки облигаций  инвестором-покупателем на вторичном  рынке;

Тогда доходность операции для инвестора определяется по формуле:  

= ((91 – 77)/77)∙(365/ 42) = 1,58 или 158% годовых.      

 

 

 

Задача 1.11

 

 Облигация федерального займа  с переменным купоном была  приобретена юридическим лицом  по цене 103% (с учетом накопленного  купонного дохода) от номинала. Срок  последнего купонного периода  составляет 94 дня. Купонная ставка — 24% годовых. Налог на процентный доход при погашении составил 7 руб. Рассчитайте, какой будет налог на прибыль.

Решение.

Определим цену облигации к моменту погашения по формуле простых процентов:

РК = N∙(1 + t∙R/365),

Где t – длительность купона, R – размер купона, N – номинальная цена облигации.

Тогда процентный доход составит:

NPV = PK – N = N∙ t∙R/365 = 100∙94∙0,24/365 = 6,18

Тогда ставка налога на процентный доход составит:

q = 7/(6,18 +3) = 0,76 рублей с 1% процента купонного дохода.

Предположим, что ставка налога на прибыль такая же как и налога на купонный доход, тогда величина налога на прибыль:

NPV∙q = 6,18∙0,76 = 4,7 руб.

 

 

 

Задача 2.7

 Надписатель продал опцион  на продажу акции с ценой  исполнения 70 руб. Полученная им премия составила 10 руб. К моменту исполнения опциона курс акции на рынке — 55 руб. Определите, прибыль или убыток получил надписатель опциона.

Решение.

Так как надписатель продал опцион пут, а к моменту исполнения рыночная цена акции понизилась  S = 55 < K = 70, следовательно, продавец обязан купить у покупателя акции по цене 70 рублей. Тогда убыток продавца с учетом рыночной цены акции составит 70 – 55 – 10 = 5 рублей.

 

 

 

 

Задача 2.11

Инвестор реализует опционную стратегию стрэдл на акции компании «А» с ценой исполнения 80 руб. Премия, уплаченная при этом продавцу опциона, составила 12 руб. Рассчитайте итоги сделки для инвестора, если рыночная цена акции в момент исполнения двойного опциона составила:

б) 60 руб.;

Решение.

Так как рыночная цена акции понизилась, то эффективным будет опцион пут, доход по которому составит K – S = 80 – 60 = 20 рублей. С учетом премии, уплаченной продавцу, прибыль инвестора составит 20 – 12 = 8 рублей.

Следовательно, инвестор окажется в прибыле, величина которого составляет 8 рублей.

 

 

3. 2 Задача на расчет  справедливой цены опционы 

а) по Формуле Кокса-Росса-Рубинштейна рассчитать цену опциона-колл и фьючерса, а затем найти цену опциона-пут

вариант	2
N	2
r	0,1
d	-0,2
S	100
K	100
u	0,3

Решение.

Расчет стоимости опционов на основе формулы Кокса-Росса-Рубинштейна.

Опцион-колл.

В этом случае и поэтому справедливая цена опциона-колл за интервалов до даты истечения равна

.

Приведём её к стандартному виду. Пусть

.

Если , то

,

Здесь K – цена исполнения, S – рыночная цена акции, N – число периодов, = (0,1 – (-0,2))/(0,3 – (-0,2)) = 0,6

  Определи k0.

K=0: 100∙(1+0,3)0∙(1 – 0,2)2 = 64 < K

k=1: 100∙(1+0,3)1∙(1 – 0,2)1 = 104 > K

k=2: 100∙(1+0,3)2∙(1 – 0,2)0 = 169 > K

Следовательно, k0 = 2.

= (1/(1 + 0,1)2)∙(0,752∙(2∙0,6∙0,4((1+0,3)1∙(1 – 0,2)1∙100 – 100)) + 0,62∙(100∙(1+0,3)2∙(1 – 0,2)0 – 100)) = 22,12 руб.

Опцион-пут.

В этом случае и поэтому справедливая цена опциона-пут равна

.

Рассматривая то же значение , что и для случая опциона-колл, получим

=

=  (1/(1 +  0,1)2)∙(0,42∙(100 – (1-0,2)2∙100)) = 4,77 руб.       

Фьючерсные и форвардные контракты.

В отличие от опционов, фьючерсные и форвардные контракты обязательны к исполнению и в них осуществляется только покупка. Поэтому для них . Поэтому, если есть та сумма, которая выплачивается в момент получения товара от продавца, то в качестве аванса должна выплачиваться сумма , равная

.

Но

С другой стороны . Поэтому

Поэтому имеем

= 100 – 100/(1+0,1)2 = 17,35 руб.

  Проверка F0(S) = C0(S) – Р0(S) = 22,12 – 4,77 = 17,35 руб.

 

Задача 1.5.

ГКО со сроком обращения один год продается на аукционе по цепе 72%. По какой цене необходимо приобрести на аукционе ГКО со сроком обращения 3 месяца с тем, чтобы обе облигации имели бы одинаковую годовую доходность? Расчет доходности вести по формуле сложного процента.

Решение.

Определим доходность ГКО со сроком обращения 1 год:

R1 = 100 – P1 = 100 – 72 = 28%,

Здесь Р1 – цена покупки ГКО со сроком обращения 1 год.

Определим цену покупки ГКО со сроком обращения 3 месяца, воспользовавшись формулой сложных процентов:

(1 + (1 – Р2))4 = 1 + R1→P2 = -(1+R1)1/4 + 2

P2 = 2 – (1 + 0,28)1/4 = 0,936

Следовательно, цена ГКО со сроком погашения 3 месяца должна составлять 93,6%.

 

 

Задача 1.14.

Облигация федерального займа с переменным купоном была приобретена юридическим лицом за 77 дней до своего погашения по цене 103% (с учетом накопленного купонного дохода) от номинала. Доходность облигации к погашению в этот момент составляла 36% годовых. Определите размер последнего купона по облигации (в годовых процентах), если длительность последнего купонного периода составляет 94 дня. Налогообложение не учитывать.

Решение.

Определим цену облигации в момент погашения:

P0’ = 100 + 36∙(77/365) = 107,6%

С учетом цены покупки получим:

P0 = 107,6 + 3 = 110,6 %.

Определим доходность последнего купона в годовых процентах:

R0 = (110,6 – 100)∙(365/94) = 41,2 %.

 

 

Задача 2.10.

 

Продавец реализует опцион колл на акцию компании «В» с ценой исполнения 30 руб. Цена за опцион (премия), полученная продавцом, составляет 4 руб. На момент исполнения опциона курс акции составил 32 руб. Определите, прибыль или убыток получил покупатель опциона.

Решение.

Так как рыночная цена на момент исполнения выше цены опциона S>K, то прибыль опциона составит 32 – 30 = 2 руб., с учетом прими заплаченной продавцу, доход покупателя составит 2 – 4 = -2 руб. Следовательно, покупатель окажется в убытке, что бы оказаться в точке безубыточности, рыночная цена акции должна составлять 34 руб.

 

 

Задача 2.12

 Продавец реализует опцион  стрэдл с ценой исполнения 60 руб. Премия, полученная им, составила 10 руб. Определить результаты стрэдла для продавца, если рыночная цена на момент исполнения составила:

в) 60 руб.

Решение.

Так как рыночная цена акции на момент исполнения оказалась равна стоимости опциона, то продавец оказался в прибыли, которая равна величине полученной им премии, т. е. 10 руб.

 

 

3. 25 Задача на расчет справедливой цены опционы

а) по Формуле Кокса-Росса-Рубинштейна рассчитать цену опциона-пут и фьючерса, а затем найти цену опциона-колл

вариант	25
N	2
r	0,1
d	-0,2
S	100
K	100
u	0,25

Решение.

Расчет стоимости опционов на основе формулы Кокса-Росса-Рубинштейна.