Контрольная работа по "Финансовой математике"

Федеральное агентство  по образованию

Всероссийский заочный  финансово-экономический институт

 

 

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ  РАБОТА

 

ПО ДИСЦИПЛИНЕ «Финансовая математика»

9 вариант

 

 

 

 

 

                     Исполнитель:

                      Специальность: ФиК    

                      № зачетной книжки:                                                                                                                                                                                                                     

         Преподаватель: Белолипцев И. И.

 

 

 

 

 

 

Уфа

2010

 

 

Задание №1

Ниже приведены поквартальные  данные о кредитах от коммерческого  банка на жилищное строительство (в  условных единицах) за 4 года (всего 16 кварталов).                                                                                           

                                                                                                    Таблица1 

квартал	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
Кредит от коммерческого  банка на жилищное строительство	41	52	62	40	44	56	68	41	47	60	71	44	52	64	77	47

                                                                                                                            

Требуется:

1. Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания α₁=0,3;α₂=0,6; α₃=0,3.
2. Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.
3. Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

   - случайности остаточной компоненты по критерию пиков;

          - независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения d₁=1,10 и d₂=1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r₁=0,32;

           - нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

4. Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.
5. Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.

 

 

 

 

 

 

Решение:

1. Мультипликативная модель Хольта-Уинтерса имеет следующий вид:

Y_p(t+k)=[a(t)+k·b(t)]·F(t+k+L),

где k − период упреждения;

 − расчетное значение экономического показателя для –го периода;

 и  − коэффициенты модели;

− значение коэффициента сезонности того периода, для которого рассчитывается экономический показатель;

L− период сезонности (для квартальных данных L=4).

Коэффициенты модели a(t), b(t)  и F(t) рассчитываются по формулам:

a(t)=α₁·Y(t)/F(t–L)+(1–α₁)·[a(t–1)+b(t–1)];

                               b(t)=α₃[a(t)-a(t-1)]+(1- α₃)·b(t-1);

                             F(t)= α₂·Y(t)/a(t)+(1- α₂)·F(t-L).

Для расчета a(1) и b(1) необходимо оценить значения этих коэффициентов для предыдущего периода времени (т.е. для t=1–1=0). Для оценки начальных значений a(0) и b(0) применим линейную модель к первым 8 значениям Y(t) из табл.1. Линейная модель имеет вид:

                                                                                                                                   

Методом наименьших квадратов  определим коэффициенты линейного  уравнения a(0) и b(0) по формулам:

                    

                       a(0) = Y_ср – b(0)*t_ср ;

                      ;        

 

 

 

Таблица 2

Промежуточные расчеты  для вычисления коэффициентов

				(Y(t)-Yср)(t-tcp)
1	41	-9,5	-3,5	33,25	12,25	47,75
2	52	1,5	-2,5	-3,75	6,25	48,54
3	62	11,5	-1,5	-17,25	2,25	49,32
4	40	-10,5	-0,5	5,25	0,25	50,11
5	44	-6,5	0,5	-3,25	0,25	50,89
6	56	5,5	1,5	8,25	2,25	51,68
7	68	17,5	2,5	43,75	6,25	52,46
8	41	-9,5	3,5	-33,25	12,25	53,25
Сумма	404			33	42

 

Применяя линейную модель к первым 8 значениям ряда из таблицы1 (т.е. к данным за первые 2 года), находим значения:

    a(0)=46,96;   b(0)=0,78.

Уравнение с учетом полученных коэффициентов имеет вид:

Y_p(t)=46.96+0.78t

Из этого уравнения  находим расчетные значения Y_p(t) и сопоставляем их с фактическими значениями (табл.3).

                                                                                                                        Таблица 3

Сопоставление фактических данных Y(t) и рассчитанных по линейной модели значений Y_p(t)

	1	2	3	4	5	6	7	8
	41	52	62	40	44	56	68	41
	47,75	48,54	49,32	50,11	50,89	51,68	52,46	53,25

 

 

 

 

 

Оценим приближенные значения коэффициентов  сезонности I-IV кварталов F(-3), F(-2), F(-1) и F(0) для года, предшествующего первому году, по которому имеются данные в таблице1. Эти значения необходимы для расчета коэффициентов сезонности первого года F(1),F(2),F(3),F(4) и других параметров модели Хольта-Уинтерса.

       F(-3) 0,8620;

      F(-2) 1,0781;

       F(-1) 1,2774;

       F(0) 0,7847.

   Оценив значения a(0), b(0), а также F(-3), F(-2), F(-1), F(0), можно перейти к построению адаптивной мультипликативной модели Хольта-Уинтерса.

        Рассчитаем значения Y_p(t), a(t), b(t) и F(t) для t=1.

 Y_p(0+1)= Y_p(1)=[a(0)+1·b(0)]·F(0+1-4)=41,15

Полагая, что t=1, находим:

 a(1)=α₁·Y(1)/F(-3)+(1–α₁)·[a(0)+b(0)]=47,69

 b(1)=α₃[a(1)-a(0)]+(1- α₃)·b(0)=0,76

F(1)=α₂·Y(1)/a(1)+(1- α₂)·F(-3)=0,8606

 

Аналогично рассчитаем для t=2, k=1:

Y_p(2)= [a(1)+1·b(1)]·F(1+1-4)=52,23

a(2)=α₁·Y(2)/F(-2)+(1–α₁)·[a(1)+b(1)]=48,38

b(2)=α₃[a(2)-a(1)]+(1- α₃)·b(1)=0,74

F(2)=α₂·Y(2)/a(2)+(1- α₂)·F(-2)=1,0761

 

 

 

 

 

Для t=3, k=1:

Y_p(3)= [a(2)+1·b(2)]·F(-1)=62,74

a(3)=α₁·Y(3)/F(-1)+(1–α₁)·[a(2)+b(2)]=48,94

b(3)=α₃[a(3)-a(2)]+(1- α₃)·b(2)=0,69

F(3)=α₂·Y(3)/a(3)+(1- α₂)·F(-1)=1,2711

 

Для t=4, k=1:

Y_p(4)=[a(3)+1·b(2)]·F(0)=38,94

a(4)=α₁·Y(4)/F(0)+(1–α₁)·[a(3)+b(3)]=50,03

b(4)=α₃[a(4)-a(3)]+(1- α₃)·b(3)=0,81

F(4)=α₂·Y(4)/a(4)+(1- α₂)·F(0)=0,7936

 

Для t=5, k=1:

Y_p(5)=[a(4)+1·b(4)]·F(1)=43,75

a(5)=α₁·Y(5)/F(1)+(1–α₁)·[a(4)+b(4)]=50,93

b(5)=α₃[a(5)-a(4)]+(1- α₃)·b(4)=0,84

F(5)=α₂·Y(5)/a(5)+(1- α₂)·F(1)=0,8626

 

Для t=6, k=1:

Y_p(6)= [a(5)+1·b(5)]·F(2)=55,71

a(6)=α₁·Y(6)/F(2)+(1–α₁)·[a(5)+b(5)]=51,85

b(6)=α₃[a(6)-a(5)]+(1- α₃)·b(5)=0,86

F(6)=α₂·Y(6)/a(6)+(1- α₂)·F(2)=1,0785

 

Для t=7, k=1:

Y_p(7)=[a(6)+1·b(6)]·F(3)=67,00

a(7)=α₁·Y(7)/F(3)+(1–α₁)·[a(6)+b(6)]=52,95

b(7)=α₃[a(7)-a(6)]+(1- α₃)·b(6)=0,93

F(7)=α₂·Y(7)/a(7)+(1- α₂)·F(3)=1,2790

 

Для t=8, k=1:

Y_p(8)=[a(7)+1·b(7)]·F(4)=42,76

a(8)=α₁·Y(8)/F(4)+(1–α₁)·[a(7)+b(7)]=53,21

b(8)=α₃[a(8)-a(7)]+(1- α₃)·b(7)=0,73

F(8)=α₂·Y(8)/a(8)+(1- α₂)·F(4)=0,7798

 

Для t=9, k=1:

Y_p(9)=[a(8)+1·b(8)]·F(5)=46,53

a(9)=α₁·Y(9)/F(5)+(1–α₁)·[a(8)+b(8)]=54,10

b(9)=α₃[a(9)-a(8)]+(1- α₃)·b(8)=0,78

F(9)=α₂·Y(9)/a(9)+(1- α₂)·F(5)=0,8663

 

 

 

 

Для t=10, k=1:

Y_p(10)=[a(9)+1·b(9)]·F(6)=59,19

a(10)=α₁·Y(10)/F(6)+(1–α₁)·[a(9)+b(9)]=55,11

b(10)=α₃[a(10)-a(9)]+(1- α₃)·b(9)=0,85

F(10)=α₂·Y(10)/a(10)+(1- α₂)·F(6)=1,0846

 

Для t=11, k=1:

Y_p(11)=[a(10)+1·b(10)]·F(7)=71,57

a(11)=α₁·Y(11)/F(7)+(1–α₁)·[a(10)+b(10)]=55,82

b(11)=α₃[a(11)-a(10)]+(1- α₃)·b(10)=0,81

F(11)=α₂·Y(11)/a(11)+(1- α₂)·F(7)=1,2748

 

Для t=12, k=1:

Y_p(12)=[a(11)+1·b(11)]·F(8)=44,16

a(12)=α₁·Y(12)/F(8)+(1–α₁)·[a(11)+b(11)]=56,57

b(12)=α₃[a(12)-a(11)]+(1- α₃)·b(11)=0,79

F(12)=α₂·Y(12)/a(12)+(1- α₂)·F(8)=0,7786

 

Для t=13, k=1:

Y_p(13)=[a(12)+1·b(12)]·F(9)=49,69

a(13)=α₁·Y(13)/F(9)+(1–α₁)·[a(12)+b(12)]=58,16

b(13)=α₃[a(13)-a(12)]+(1- α₃)·b(12)=1,03

F(13)=α₂·Y(13)/a(13)+(1- α₂)·F(9)=0,8830

 

Для t=14, k=1:

Y_p(14)=[a(13)+1·b(13)]·F(10)=64,20

a(14)=α₁·Y(14)/F(10)+(1–α₁)·[a(13)+b(13)]=59,14

b(14)=α₃[a(14)-a(13)]+(1- α₃)·b(13)=1,02

F(14)=α₂·Y(14)/a(14)+(1- α₂)·F(10)=1,0831

 

Для t=15, k=1:

Y_p(15)=[a(14)+1·b(14)]·F(11)=76,69

a(15)=α₁·Y(15)/F(11)+(1–α₁)·[a(14)+b(14)]=60,23

b(15)=α₃[a(15)-a(14)]+(1- α₃)·b(14)=1,04

F(15)=α₂·Y(15)/a(15)+(1- α₂)·F(11)=1,2770

 

Для t=16, k=1:

Y_p(16)=[a(15)+1·b(15)]·F(12)=47,70

a(16)=α₁·Y(16)/F(12)+(1–α₁)·[a(15)+b(15)]=61,00

b(16)=α₃[a(16)-a(15)]+(1- α₃)·b(15)=0,96

F(16)=α₂·Y(16)/a(16)+(1- α₂)·F(12)=0,7737

                                                                                                                

 

 

 

                                                                                                                 Таблица 4

t	Y(t)	a(t)	b(t)	F(t)	Yp(t)	Абс.погр. Е(t)	Отн.погр. в %
1	2	3	4	5	6	7	8
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16	41 52 62 40 44 56 68 41 47 60 71 44 52 64 77 47	46,96 47,69 48,38 48,94 50,03 50,93 51,85 52,95 53,21 54,10 55,11 55,82 56,57 58,16 59,14 60,23 61,00	0,78 0,76 0,74 0,69 0,81 0,84 0,86 0,93 0,73 0,78 0,85 0,81 0,79 1,03 1,02 1,04 0,96	0,7847 0,8606 1,0761 1,2711 0,7936 0,8626 1,0785 1,2790 0,7798 0,8663 1,0846 1,2748 0,7786 0,8830 1,0831 1,2770 0,7737	41,15 52,23 62,74 38,94 43,75 55,71 67,00 42,76 46,53 59,19 71,57 44,16 49,69 64,20 76,69 47,70	-0,15 -0,23 -0,74 1,06 0,25 0,29 1,00 -1,76 0,47 0,81 -0,57 -0,16 2,31 -0,2 0,31 -0,7	0,36 0,44 1,19 2,65 0,57 0,52 1,47 4,29 1,00 1,35 0,80 0,36 4,44 0,31 0,40 1,49