Контрольная работа по "Финансовой математике"

Модель Хольта-Уинтерса

 

2. Проверка точности модели

Условие точности выполняется, если относительная погрешность  в среднем не превышает 5%. Суммарное  значение  относительных погрешностей (см. гр.8 табл.4) составляет 21.64, что дает среднюю величину 21.64/16=1.34%.

Следовательно,  условие  точности выполнено.

3. Проверка условия адекватности

Проверка  случайности уровней. Проверку случайности уровней остаточной компоненты проводим на основе критерия поворотных точек. (табл.5).

Общее число поворотных точек в  нашем примере равно p=11

Рассчитаем значение q:

Если количество поворотных точек p больше q, то условие случайности уровней выполнено. В данном случае p=11, q=6, значит условие случайности уровней ряда остатков выполнено.

                                                                                        Таблица5

Промежуточные расчеты  для оценки адекватности модели

Квартал, t	Отклон, E(t)	Точка поворота	E(t)2	[E(t)-E(t-1)]2	E(t)·E(t-1)
1	2	3	4	5	6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16	-0,15 -0,23 -0,74 1,06 0,25 0,29 1,00 1,76 0,47 0,81 -0,57 -0,16 2,31 -0,20 0,31 -0,70	- 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 -	0,02 0,05 0,55 1,12 0,06 0,08 1,00 3,10 0,22 0,66 0,32 0,02 5,34 0,04 1,00 0,49	- 0,006 0,260 3,240 0,656 0,002 0,504 7,618 4,973 0,116 1,904 0,168 6,101 6,300 0,260 1,020	0,03 0,17 -0,78 0,26 0,07 0,29 -1,76 -0,83 0,38 -0,46 0,09 -0,37 -0,46 -0,06 -0,22
Сумма	1,99	10	13,17	33,127	-3,64

 

Проверка  независимости уровней ряда остатков.

а) по d-критерию Дарбина-Уотсона

В данном случае имеет место отрицательная автокорреляция. В таком случае величину d уточняем, вычитая полученное значение из 4.

Уточненное значение d  сравниваем с табличными значениями d₁ и d₂, в данном случае d₁=1,1 и d₂=1,37.

Так как d₂<1.48<2, то уровни ряда остатков являются независимыми.

 

 

б) по первому коэффициенту автокорреляции

Если модуль рассчитанного  значения первого коэффициента автокорреляции меньше критического значения   r(1)  < r _табл , то уровни ряда остатков независимы. В нашей задаче │r(1)│=0,28 < r_таб =0,32 – уровни независимы.

 

Проверка  соответствия ряда остатков нормальному  распределению определяем по RS–критерию. Рассчитаем значение RS:

RS=(E_max – E_min)/S,

где Еmах - максимальное значение уровней ряда остатков E(t); 

      Emin - минимальное значение уровней ряда остатков E(t).

      S - среднее квадратическое отклонение.

     Еmах =2,31, Emin = -1,76,    Еmах - Emin = 2,31 - (-0,74) = 3,05;

              RS= 3,05/0,94=3,25

Полученное значения сравниваем с табличными значениями. Т.к.      3,00 < 3,25 < 4,21, полученное значение RS попало в заданный интервал. Значит, уровни ряда остатков подчиняются нормальному распределению.

Таким образом, все условия  адекватности и точности выполнены.        Следовательно, можно говорить об удовлетворительном качестве модели и возможности проведения прогноза показателя Yp(t) на четыре квартала вперед.

 

4. Построение  точечного прогноза 

Составим прогноз на 4 квартала вперед (т.е. на один год, с t=17 по t=20).Зная значения а(16) и b(16) (табл.4), определим прогнозные значения по формуле:

Y_p(t+k)=[a(t)+k·b(t)]·F(t+k+L),

Для t=17 имеем:

Y_p(17)=Y_p(16+1)=[a(16)+b(16)]· F(16+1-4)= (61,00+0,96)·0,8830=54,71

Аналогично находим  Y_p(18), Y_p(19), Y_p(20):

Y_p(18)=Y_p(16+2)=( 61,00+0,96·2)·1,0831=68,15

Y_p(19)=( 61,00+0,96·3)·1,2770=81,57

Y_p(20)=( 61,00+0,96·4)·0,7737=50,17

 

5. Отражение на графике  фактических, расчетных и прогнозных  данных

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание № 2.

 

Даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания принять равным пяти дням. Рассчитать:

- экспоненциальную скользящую  среднюю;

- момент;

- скорость изменения  цен;

- индекс относительной  силы;

- %R, %K, %D.

Расчеты проводить для  всех дней, для которых эти расчеты  можно выполнить на основании  имеющихся данных.

 

дни	Макс.	Мин.	Закр.
1	650	618	645
2	680	630	632
3	657	627	657
4	687	650	654
5	690	660	689
6	739	685	725
7	725	695	715
8	780	723	780
9	858	814	845
10	872	840	871

 

 

Решение:

Таблица1

Расчет MA,EMA,ROC,MOM и RSI

Цены	Цена закрытия	МА	ЕМА	МОМ	ROC	Повышение цены	Понижение цены	Сумма повышений	Сумма понижений	RSI
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	645 632 657 654 689 725 715 780 845 871	655,40 671,40 688,40 712,60 750,80 787,20	655,40 678,37 690,46 720,01 761,26 797,47	80 83 123 191 182	112,40 113,13 118,72 129,20 126,42	25   35 36   65 65 26	13   3     10	96 96 136 201 192	16 13 13 10 10	86 88 91 95 95

 

1. Экспоненциальная  скользящая средняя.

а) Найдем простую  скользящую среднюю  (МА) по формуле:

 

;

    где C_t – цена закрытия t-го дня.

М₅= =655,40

М₆= =671,40

М₇= =688,00

М₈= =712,60

М₉= =750,80

М₁₀= =787,20

 

 

б) Найдем   экспоненциальную скользящую среднюю (ЕМА) по формуле:              

                                EMA_t=k·C_t+(1-k)·EMA_t-1,

где k=2/(n+1);

C_t – цена закрытия t-го дня.

ЕМА₆=0,33·725+0,67·655,40=678,37

ЕМА₇=0,33·715+0,67·678,37=690,46

ЕМА₈=0,33·780+0,67·690,46=720,01

ЕМА₉=0,33·845+0,67·720,01=761,26

ЕМА₁₀=0,33·871+0,67·761,26=797,47

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Найдем   момент (MOM) по формуле:              

MOM_t=C_t – C_t-n

MOM₆=725-645=80

MOM₇=715-632=83

MOM₈=780-657=123

MOM₉=845-654=191

MOM₁₀=871-689=182

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Найдем скорость изменения цен  по формуле:

ROC₆=725/645·100%=112,40%

ROC₇=715/632·100%=113,13%

ROC₈=780/657·100%=118,72%

ROC₉=845/654·100%=129,20%

ROC₁₀=871/689·100%=126,42%

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Найдем индекс относительной силы (RSI) по формуле:

,

 

где AU – сумма приростов конечных цен за n последних дней;

              AD – сумма убыли конечных цен за n последних дней.

RSI₆=100-100/ (1+96/16) =86

RSI₇=100-100/ (1+96/13) =88

RSI₈=100-100/ (1+136/13) =91

RSI₉=100-100/ (1+201/10) =95

RSI₁₀=100-100/(1+192/10)=95

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Найдем стохастические линии по формулам:

%K_t=100*(C_t – L₅)/(H₅ – L₅),

%K- значение индекса текущего дня t,

C_t - цена закрытия текущего дня t;

 

 L₅ и H₅ - минимальная и максимальная цены за п предшествующих дней, включая текущий.

 

%R_t=100*(H₅ – C_t)/(H₅ – L₅),

%R_t − значение индекса текущего дня t;

      C_t − цена закрытия текущего дня t;

L₅ и H₅ − минимальная и максимальные цены за п предшествующих, включая текущий.

                                   ;

%D_t − значение индекса текущего дня t;

       C_t − цена закрытия текущего дня t;

L₅ и H₅ − минимальная и максимальные цены за п предшествующих, включая текущий.

Все расчеты приведены  в таблице 2

                                                           Таблица 2

Порядок расчета  индексов стохастических линий

Дни      t	Макс. цена за день Ht	Мин. цена за день Lt	Цена закры тия Ct	Макс. цена за 5дней H5	Мин. цена за 5дней L5	Ct-L5	H5-Ct	H5-L5	%Kt	%Rt	Сумма за 3 дня	Сумма за 3 дня	%Dt
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	650 680 657 687 690 739 725 780 858 872	618 630 627 650 660 685 695 723 814 840	645 632 657 654 689 725 715 780 845 871	690 739 739 780 858 872	618 627 627 650 660 685	71 98 88 130 185 186	1 14 24 0 13 1	72 112 112 130 198 187	98,61 87,50 78,57 100,0 93,43 99,46	1,39 12,50 21,43 0 6,56 0,53	257 316 403 501	296 354 440 515	86,82 89,26 91,59 97,28