Финансовые вычисления

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

 

Государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего профессионального образования

«Санкт-Петербургский государственный

экономический университет»

 

 

Кафедра высшей математики

 

Контрольная работа по дисциплине

 

 

 

ФИНАНСОВЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ

 

Вариант № 9

 

 

Выполнил...................................................................

(Фамилия, имя, отчество)

 

студент..........курса..........................спец....................

    (срок обучения)

группа.................№ зачет. книжки.............................

 

Подпись студента.......................................................

 

 

 

Преподаватель............................................................

(Фамилия, имя, отчество)

 

Должность...................................................................

(уч. степень, уч. звание)

 

Оценка............................Дата.....................................

 

Подпись преподавателя..............................................

 

 

 

 

Санкт-Петербург

2013

 

Задание № 1

 

Кредит в размере К0 – 3500 долларов США был выдан в момент времени t0 – 1.03.99 на срок T-3 года  под р-10 процентов годовых и должен быть погашен частями актуарным способом. Поступили следующие платежи: в момент времени t1 –29.09.99 в объеме а1 – 100 долларов США, в момент t2 – 7.01.00 в объеме а2 – 900 долларов США, в момент t3 –1.01.01 в объеме а3 – 900 долларов США

 Определить остаток долга  на конец срока. Расчеты вести  с точностью до 1 цента. Решение  представить в виде последовательности  записей

Решение

Представим в виде последовательности записей:

    1.03.99 г    

 долг:                                                                        3500 долларов США

 количество прошедших дней:                                   272 – 60 =  212 дня

 проценты:                              3500×0.1×212/365= 203,28767 долл. США

 долг с процентами:                                             3703,28767 долл. США

 поступление:                                                                     100 долл. США

Поскольку поступившая сумма меньше начисленных процентов, то она не учитывается, но присоединяется к следующему платежу. Процентный платеж вновь начисляется от даты 1.03.99

    7.01.00г

количество прошедших дней:                          7 + 365 - 60 = 312 дней

проценты:                         3500×0,1×312/365 = 299,17808 долл. США долг с процентами:                                           3799,17808 долл. США поступления:                                             100 + 900 =1000 долл. США

остаток долга:               3799,17808 – 1000 = 2799,17808 долл. США

 

     01.01.01г.

количество прошедших дней:                              366 – 7 + 1 =360 дней

проценты:             2799,17808 ×0,1×360/365 = 276,08328 долл. США

долг с процентами:2799,17808 + 276,08328 =3075,26136 долл. США

поступление                                                                    900 долл. США                                          

остаток долга           3075,26136 – 900= 2175,26136 долл. США

 

   1,03,02г.

количество прошедших дней:                                 365-1+60=424дня

проценты:             2175,26136 ×0,1×424/365 = 252,68788 долл. США

долг с процентами: 2175,26136+252,68788= 2427,94924 долл. США

 

Остаток долга 2427,94924 долл. США

 

 

Задание № 2

 

Какую номинальную стоимость должен вписать кредитор в вексель, выданный ему  на n -200дней при учетной ставке q -10 процентов годовых, если заемщик просит в долг наличными сумму в K0 -120000 ден. ед.

Решение

          К0                       120000

Кt = ---------- = ------------------------- = 126956.51

         (1 – qt)      ( 1- 0.1* 200/365)

 

t  = n/ год = 200/365

 

Ответ:  126956,51 ден. ед.

 

Задание № 3

Кредит в K0  ден. ед. был предоставлен на n лет при ежеквартальных капитализациях и был погашен суммой в ден. ед. Найти годовые сложные коммерческие и учетные процентные ставки кредита p и q и соответствующие эффективные годовые ставки pэ и  qэ.

 

K0	n	S
15000	2	25000

 

Решение

Для расчета сложных годовых процентов при годовом их начислении следует использовать формулу для определения наращенной суммы:

Но так как капитализация производиться ежеквартально, данная формула преобразуется в следующий вид:

где: m - количество капитализаций в году;

Тогда выразив отсюда ставку сложных проценты по номинальной ставке, получим:

 

Подставим исходные значения и получим:

р = ((25000/15000)^1/(4*2) - 1) * 4 = 0,264 или 26,4%

Т.е. при сложной номинальной ставке 26,4% годовых через 2 года наращенная сумма кредита составит 25000 ден. ед.

Эффективная ставка сложных процентов рассчитывается по формуле

%

Подставим исходные значения и получим:

ре = ((1 + 0,264/(100*4))4 - 1) * 100 = 0,264  или 26,4%

 

Ставки дисконтирования при капитализации чаще, чем раз в год, следует рассчитывать по формуле:

Выразив отсюда ставку дисконтирования, получим:

Подставим исходные значения и получим:

q = (1 - (15000/25000)1/(4*2)) * 4 = 0,247 или 24,7%

Т.е. при сложной учетной ставке в 24,7% текущая стоимость дисконтирования составит 15000 ден. ед.

Реальная эффективность связана с эффективной годовой учетной ставкой, равной относительному дисконту за год:

Подставим исходные значения и получим:

qе = (1 - (1 - 0,247/(100*4))^4) * 100 = 0,247 или 24,7%

 

 

Задание  № 4

  Постоянная рента (аннуитет) имеет параметры: Т=0.5 (лет) – период ренты, t=5 (лет) – длительность контракта, р=18 – простая годовая декурсивная процентная ставка,  a = 1000 ден. ед. – сумма платежа. Найти накопленную сумму по схемам  пренумерандо и постнумерандо.

 

Решение

Сначала найдем количество платежей: n = t/T=5/0.5=10

1. Для постоянной ренты пренумерандо величина начисленных процентов для каждого периода ∆t = T в случае простых процентов определяется формулой: It = K . p/100 .Dt

 Учитывая, что все платежи равны между собой, количество платежей  равно n-10 , период ренты равен T-0.5, и проводя суммирование по формуле арифметической прогрессии, получим сумму процентов:

     

I= 1000*18 *0.5*10*(10+1)/200 = 4950ден. ед.

     

 и накопленную сумму:

                 

К10 = 10*1000+4950= 14950

Накопленная сумма по схеме пренумерандо равна 14950ден.ед.

2. Для постоянной ренты постнумерандо, в силу того, что количество  интервалов времени, за которые начисляются проценты, на единицу меньше, чем в ренте пренумерандо, накопленная сумма процентов будет равна:

,

I= 1000*18*0,5*10*(10-1)/200 = 4050

а накопленный капитал:        

 

К10=1000*10+4050= 14050

Накопленная сумма по схеме постнумерандо равна 14050ден.ед.

 

 Задание № 5

 

Кредит в размере К-100тыс ден. ед., выдан на n-3 лет под декурсивную процентную ставку р -25 % годовых и погашается  m-4 раза в году. Определить величину каждого платежа аk  при а) равных выплатах долга по простой ставке р; б) равных платежах по сложной ставке р при капитализациях, совпадающих с моментами платежей. Составить в виде таблиц графики погашения долга, содержащие сведения о датах (номерах) платежей, о величинах платежей, включая процентные, и остатках долга.

а) равных выплатах долга по простой ставке р

Решение

Найдем общее число платежей составит N = mn

 N = mn =3*4=12

Выплата долга в каждый платеж составит 100/12= 8,333тыс. ед

         Заемщик пользуется суммой К = 100 тыс. ед. в течение первого квартала , т. е. t = 0,25 лет.

Пользуемся формулой It = K . p/100 .Dt ,

Где Dt – продолжительность периода (в годах), за который рассчитываются проценты.

Процентный  платеж за это время составит

I1 = К . p/100 . t1 = 100 . 0,25 . 0,25 = 6,25  тыс. ед.,

  Полный первый платеж составит а1 = 14,583тыс. ед.

Затем заемщик пользуется оставшейся суммой 91,667 тыс. ед. в течение второго квартала.

 Процентный платеж за это время равен:

I2 = 91,667 .0,25 . 0,25 = 5,729 тыс. ед.

Второй полный платеж равен а2 = 14,062 тыс. ед.

Затем заемщик пользуется оставшейся суммой 83,334 тыс. ед. в течение следующего квартала.

 Процентный платеж за это время равен:

I3 = 83,334 .0,25 . 0,25 = 5,208 тыс. ед.

Третий полный платеж равен а3 = 13,541 тыс. ед.

Затем заемщик пользуется оставшейся суммой 75,001 тыс. ед. в течение следующего квартала.

 Процентный платеж за это время равен:

I4 = 75,001 .0,25 . 0,25 = 4,688 тыс. ед.

Полный платеж равен а4 = 13,021 тыс. ед.

Затем заемщик пользуется оставшейся суммой 66,668 тыс. ед. в течение следующего квартала.

 Процентный платеж за это время равен:

I5 = 66,668 .0,25 . 0,25 = 4,167 тыс. ед.

Полный платеж равен а5 = 12,500 тыс. ед.

Затем заемщик пользуется оставшейся суммой 58,335 тыс. ед. в течение следующего квартала.

 Процентный платеж за это время равен:

I6 = 58,335 .0,25 . 0,25 = 3,646 тыс. ед.

Полный платеж равен а6 = 11,979 тыс. ед.

Затем заемщик пользуется оставшейся суммой 50,002 тыс. ед. в течение следующего квартала.

 Процентный платеж за это время равен:

I7 = 50,002 .0,25 . 0,25 = 3,125 тыс. ед.

Полный платеж равен а7 = 11,458 тыс. ед.

Затем заемщик пользуется оставшейся суммой 41,669 тыс. ед. в течение следующего квартала.

 Процентный платеж за это время равен:

I8 = 41,669 .0,25 . 0,25 = 2,604 тыс. ед.

Полный платеж равен а8 = 10,937 тыс. ед.

Затем заемщик пользуется оставшейся суммой 33,336 тыс. ед. в течение следующего квартала.

 Процентный платеж за это время равен:

I9 = 33,336 .0,25 . 0,25 = 2,084 тыс. ед.

Полный платеж равен а9 = 10,417 тыс. ед.

Затем заемщик пользуется оставшейся суммой 25,003 тыс. ед. в течение следующего квартала.

 Процентный платеж за это время равен:

I10 = 25,003 .0,25 . 0,25 = 1,563 тыс. ед.

Полный платеж равен а10 = 9,896 тыс. ед.

Затем заемщик пользуется оставшейся суммой 16,670 тыс. ед. в течение следующего квартала.

 Процентный платеж за это время равен:

I11 = 16,670 .0,25 . 0,25 = 1,042 тыс. ед.

Полный платеж равен а11 = 9,375 тыс. ед.

Затем заемщик пользуется оставшейся суммой 8,337 тыс. ед. в течение последнего квартала.

 Процентный платеж за это время равен:

I12 = 8,337 .0,25 . 0,25 = 0,521 тыс. ед.

Полный платеж равен а12 = 8,858 тыс. ед.

 

           По сути, был применен актуарный метод.

Важно отметить, что при равных выплатах долга при простой процентной ставке процентные платежи составляют убывающую арифметическую прогрессию с разностью

 

d =− bр/100∙T ,

 

где b = K/N – величина равной выплаты долга; N – число платежей; р – годовая ставка; Т – период между платежами (лет).

 

Составим таблицу платежей. Суммы в тыс. ед.

 

Таблица 1

Номер или дата платежа	Остаток долга при платеже	Выплата долга	Процентный платеж	Платеж	Остаток долга после платежа
1	100	8,333	6,25	14,583	91,667
2	91,667	8,333	5,729	14,062	83,344
3	83,344	8,333	5,208	13,541	75,001
4	75,001	8,333	4,688	13,021	66,668
5	66,668	8,333	4,167	12,500	58,335
6	58,335	8,333	3,646	11,979	50,002
7	50,002	8,333	3,125	11,458	41,669
8	41,669	8,333	2,604	10,937	33,336
9	33,336	8,333	2,084	10,417	25,003
10	25,003	8,333	1,563	9,896	16,670
11	16,670	8,333	1,042	9,375	8337
12	8,337	8,337	0,521	8,858	0
Итого	-	100	40,627	140,626	-