Модель Блэка - Шоулза

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

1. МОДЕЛЬ  БЛЭКА-ШОУЛЗА 2

1.1. Дельта  и модель Блэка-Шоулза 6

1.2. Другие  коэффициенты греческой таблицы  и модель Блэка-Шоулза. 7

2. ПРАКТИЧЕСКОЕ  ЗАДАНИЕ 9

3. ТЕСТОВЫЕ  ЗАДАНИЯ 14

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 21

 

 

1. МОДЕЛЬ БЛЭКА-ШОУЛЗА

 

 

В октябре 1997 года профессорам  Роберту Мертону (Гарвардский университет) Майрону Шоулзу (Стенфордский университет) была присуждена Нобелевская премия по экономике за их труд в области оценки опционов, впервые опубликованный в 1973 г. Шоулз работал совместно с Фишером Блэком, умершим в 1995 и их совместный результат известен под названием модели Блэка-Шоулза. Мертон сделал значительный вклад в модель и ее расширения и был награжден Нобелевской премией наравне с Шоулзом. (Нобелевский Фонд вручает премии только живым ученым).

Формула Блэка-Шоулза оценивает "справедливую стоимость" опциона. Учитывая прошедшую историю акции (актива) и вычисляя вероятность будущей цены опциона, можно вычислить текущее "справедливое" значение цены на опцион. Модель очень полезна при принятии инвестиционных решений, но не гарантирует прибыль на опционных торгах. Заметим, что модель вычисляет "справедливую" рыночную стоимость, которая может как совпадать, так и не совпадать с текущим значением цены [1].

Концептуально модель Блэка-Шоулза - это формула, которая может быть объяснена следующим образом:

Цена опциона "кол" = [Ожидаемая будущая цена за акцию] - [ожидаемая стоимость исполнения опциона]

Блэк и Шоулз добавляют следующее в это уравнение [2]:

- поправка на вероятность разброса будущей цены акции

- поправка на чистое значение стоимости исполнения

- поправка на вероятность того, что цена исполнения может быть выше, чем цена базисного актива

- поправка на тот факт, что часть любого полученного платежа может быть получена по безрисковой ставке.

 

 

Математически формула выглядит так:

С = S N(d1) - Ke- rt N(d2)

 

C - теоретическая цена  опциона "кол" (которую также  называют премией)

S - текущая цена акции 

t - время до экспирации (конца действия) опциона (в годах) 

K - страйк опциона

r - безрисковая процентная ставка

e - основание натурального логарифма (2.71828)

d1 =[ ln (S/K) + (r + σ2/2)*t] / [σ * sqr (t)]

d2 = d1 - σ * sqr (t)

σ - сигма, среднее квадратичное отклонение курса акции (корень из суммы  квадратов отклонений)

ln - натуральный логарифм

sqr (t) - корень квадратный от t

Основные результаты формулы:

Опцион всегда стоит больше, чем разница между текущей  ценой и ценой исполнения. Опцион "колл" со страйком $95 на акцию в $100 всегда будет стоить больше $5. Эта разница существует потому, что будущее подлежащее значение (значение подлежащего актива) может быть как больше, так и меньше $100. Если подлежащий актив вырастет до $105, премия за "колл" поднимется выше $10. Стоимость, которая платится сверх разницы между страйком и подлежащим активом - это цена вероятности более высокой    цены [3].

Модель Блэка-Шоулза вычисляет возможное будущее значение цены подлежащего актива и помогает определить справедливую стоимость опциона. Назначая вероятности будущим значениям цены подлежащего актива модель позволяет включить эти вероятности в цену.

Настоящей проблемой, конечно, является то, что никто не знает  будущего значения цены актива. Модель предполагает, что будущая цены на акции подчиняются логнормальному распределению вероятности. Сигма (волатильность) для этой кривой, которая определяет ее высоту и разброс, вычисляется на основе исторических данных. Волатильность представляет собой меру изменчивости цены опциона. Чем большую волатильность имеет данная акция, тем больше вероятность того, что в момент экспирации цена будет сильно отличаться от сегодняшней [4]. Для того, чтобы компенсировать это, продавец должен получить больше за опцион на такую акцию, а покупатель - больше заплатить за возможность.

Таким образом, это означает, что для получения прогнозного значения будущей цены акции используются исторические данные. В этом отношении модель Блэка-Шоулза сталкивается с теми же проблемами, которые имеет технический анализ: прошлое не всегда определяет будущее. Модель Блэка-Шоулза используется прежде всего для трех целей [2]:

поиск недооцененных опционов, чтобы их продать или переоцененных, чтобы их купить;

хеджирование портфеля с  целью понижения риска (при низкой волатильности);

оценка рыночных предпосылок  будущей волатильности акции.

В самом общем случае трейдеры используют модель Блэка-Шоулза в реальном времени для сравнения текущих значений цен на опционы с теоретическими. Когда теоретическое значение отличается текущего рыночного значения, трейдеры пользуются возможностью арбитража на их разнице в том случае, когда эта разница больше, чем стоимость заключения сделки. Одно из предположений теории, лежащей в основе модели - отсутствие возможности арбитража. Фактически модель используется некоторыми людьми с целью нахождения и, следовательно, вытеснения ситуаций арбитража с рынка. В этом есть иронический момент, - это предположение действует.

Другим распространенным способом использования модели является вычисление позиций хеджирования для  портфеля акций. Поскольку флуктуации цен на опционы происходят в соответствии с ценой акции, можно продать опционы, чтобы уравновесить возможные потери подлежащей акции. Модель Блэка-Шоулза помогает определить, сколько опционов необходимо продать, чтобы достигнуть желаемой волатильности портфеля.

Еще одним способом использования  модели является вычисление рыночных предпосылок для сигмы (волатильности). Если вы предполагаете, что опционы оценены рынком правильно, из формулы можно выразить значение "рыночной оценки верхней и нижней границ будущей цены акции". Когда эти значения образуют достаточно узкие кривые распределения, это значит, что каждый предполагает, что цены с большой вероятностью будут близки к теоретическому значению будущей цены. Более простыми словами, чем выше премия за "колл", тем больше различаются ожидания рыночной цены. Если вы считаете, что опцион переоценен, модель Блэка-Шоулза может быть использована для нахождения количественных вероятностей, встроенных в рыночные ожидания [3].

В модели имеются слабые для практического использования  места. Прежде всего, модель использует логнормальное распределение для  будущей цены акции. Пока это считается  правильным в момент использования  формулы, модель дисконтирует цены с низкими вероятностями. Но более низкая будущая цена в сочетании с более низкой вероятностью все же может оказаться действительной будущей ценой. Когда это случается, модель не сможет вам значительно помочь, если вы имеете такой опцион на руках.

Хотя трейдеры могут пользоваться одним и тем же алгоритмом, в  формулу могут вводиться разные данные. Вычисление сигмы производится на основе предыдущих рыночных данных. Но данные можно использовать начиная с любого момента. Принято вычислять сигму на основе исторических данных за один год, но использование данных за более длинные или более короткие промежутки времени приведет к различию в результатах [4].

Таким образом, формула Блэка-Шоулза - это не философский камень для трейдеров опционами, но она показывает себя как ценный инструмент как для оценки опционов, так и для оценки рыночных ожиданий.

 

1.1. Дельта и модель Блэка-Шоулза

 

Побочным продуктом модели Блэка-Шоулза является вычисление числа дельта: мера, на сколько сдвинется цена опциона, при небольшом изменении цены базового актива. Например, опцион с дельтой 0.5 вырастет на пол цента, при росте на 1 цент базового актива.

Ярко выраженный "опцион не в деньгах" имеет дельту близкую  к нулю. Дельта ярко выраженного "опциона в деньгах" близка к 1.

Формула для вычисления дельты Европейского опциона колл на бездивидентную акцию будет следующей:

 

«Грек»	Опционы call	Опционы put
дельта

 

Кол дельта является позитивной, пут дельта - негативной, отображая  тот факт, что цена опциона пут  и цена базового актива являются противоположно зависимыми. Пут дельту можно вычислить как колл дельта -1.

Дельту часто называют Нормой хеджирования: Если у вас есть портфель n коротких опционов (т.е. у вас есть n проданных колл опционов) тогда n умноженная на дельту дают количество акций, которые необходимы, чтобы создать без рисковую позицию - стоимость такого портфеля будет оставаться стабильном, как при небольшом росте цены акций, так и при небольшом падении их цены. В таком "дельта нейтральном" портфеле рост цены акций будет компенсировать убыток вызванный ростом стоимости проданных колл опционов, и наоборот.

Заметим, что так как  дельта меняется вместе с ценой акций  и временем оставшимся до экспирации, количество акций необходимых для хеджированного портфеля постоянно изменяется. На сколько быстро изменяется дельта, определяет гамма (см. "коэффициенты греческой таблицы" ниже).

 

1.2. Другие коэффициенты греческой таблицы и модель Блэка-Шоулза.

 

В дополнение дельте существуют некоторые другие коэффициенты греческой  таблицы. Их используют для построения опционных стратегий.

Гамма используется для меры, на сколько быстро изменяется дельта, в зависимости от изменения цены базового актива (т.е. это своеобразная дельта дельты).

Вега: мера изменения цены опциона, в зависимости от изменения  на один процентный пункт волатильности. Как и дельта и гамма, вега используется для операций хеджирования.

Тэта: мера изменения цены опциона, в зависимости от изменения  на один день времени до экспирации.

Ро: мера изменения цены опциона, в зависимости от изменения на один процентный пункт без рисковой процентной ставки.

 

 

 

 

 

 

 

 

«Грек»	Опционы call	Опционы put
гамма
вега
тета
ро

 

Примечательно, что формулы  гамма и вега одинаковы для опционов пут и колл, что является логическим выводом теории паритета опционов пут и колл

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. ПРАКТИЧЕСКОЕ  ЗАДАНИЕ

 

1 вариант

 

Задача 1

 

 

Предприятие планирует приобрести оборудование стоимостью 6 млн.руб., срок эксплуатации 5 лет. Прогнозируемая выручка от реализации продукции, произведенной на этой линии, по годам составит 6800, 7200, 8400, 8000 и 7500 тыс.руб. Текущие затраты в первый год эксплуатации составят 2800 тыс.руб., ожидается, что в последующие годы текущие затраты будут возрастать на 5% ежегодно. Цена капитала предприятия сложилась на уровне 10%.

Оцените данное капиталовложение по критерию доходности и окупаемости?

Решение:

 

Показатель	Года
	0	1	2	3	4	5
Инв.вложения (СF0)(тыс. руб.)	6000	0	0	0	0	0
Выручка (тыс. руб.)	0	6800	7200	8400	8000	7500
Текущие затраты	0	2800	2940	3087	2241	3403
Сальдо,чистый ден. Поток (NCF)	-6000	4000	4260	5313	4759	4097
Коэффциент дисконтирования	1	0,909	0,826	0,751	0,683	0,621
Дисконтированный       ден. поток (CF)	-6000	3636	3519	3990	3250	2544

 

1). Индекс прибыльности инвестиций показывает отношение отдачи капитала к размеру вложенного капитала, показатель PI показывает относительную прибыльность проекта или дисконтируемую стоимость денежных поступлений от проекта в расчете на единицу вложений.