Исследование модели фрактального броуновского движения

 

Подзадача 3 (прогнозирование)

Рассмотрим случай, когда  :

Задачу построения оценки по наблюдениям при будем называть задачей прогнозирования.

 

Для построения оценки воспользуемся теоремой о нормальной корреляции.

Пусть

 – оцениваемая случайная  величина,

 – вектор наблюдений.

Тогда по теореме о нормальной корреляции:

,

где

, (18)

, (19)

. (20)

Поскольку , , получаем

. (21)

Подставив в формулу (21) выражения (18), (19) и (20) и упростив получившееся выражение, получаем:

,

где

.

 

Для случая (обычное броуновское движение) в задаче интерполяции аналитически получаем:

, (22)

то есть получаем линейную оценку неизвестного значения по двум наблюдениям:

Рис. 9. Оценка по двум наблюдениям в задаче интерполяции в случае .

 

Для задач экстраполяции и прогнозирования  в случае также получаем, что с.к.-оптимальной оценкой является линейная оценка.

 

 

Проанализируем поведение с.к.-оптимальной оценки в случае .

 

Вычисление оценки для случая  
(график процесса представлен на рис. 1)

 

Интерполяция:

			Точное значение	Линейная оценка	С.к.-оптимальная оценка
70	120	75	33,02	31,24	31,69
70	120	100	36,85	35,4	36,06
70	120	110	39,82	37,07	37,42

 

Экстраполяция:

			Точное значение	Линейная оценка	С.к.-оптимальная оценка
100	120	70	30,41	34,03	26,95
100	120	80	35,03	34,97	30,65
100	120	90	35,88	35,91	34,05

 

Прогнозирование:

			Точное значение	Линейная оценка	С.к.-оптимальная оценка
70	100	110	39,82	39,0	38,75
70	100	120	38,73	41,14	40,58
70	100	130	39,47	43,29	42,35

 

 

 

Вычисление оценки для случая  
(график процесса представлен на рис. 3)

 

Интерполяция:

			Точное значение	Линейная оценка	С.к.-оптимальная оценка
70	110	80	2,382	-0,288	-0.356
70	110	90	0,047	-0,614	-0.563
70	110	100	0,257	-0,941	-0.779

 

Экстраполяция:

			Точное значение	Линейная оценка	С.к.-оптимальная оценка
100	120	70	0,039	1,295	0,016
100	120	80	2,382	0,949	0,031
100	120	90	0,047	0,603	0,062

 

Прогнозирование:

			Точное значение	Линейная оценка	С.к.-оптимальная оценка
70	100	110	-1,267	0,33	0,187
70	100	120	-0,435	0,402	0,172
70	100	130	1,701	0,475	0,163

 

 

 

 

5. Моделирование дифференциальной  системы с возмущениями в виде  ФБД и оценка состояний дифференциальной  системы на основе фильтрации  Калмана-Бьюси

 

Рассмотрим следующую дифференциальную систему:

  (23)

в которой  , , , (такая система описывает процесс Орнштейна-Уленбека). – стандартные процессы фрактального броуновского движения. , являются независимыми.

 

Для решения системы (23) перейдем от дифференциалов  к конечным разностям:

 (24)

Здесь , – фрактальный гауссовский шум.

, .

, , – независимые.

 

Рассчитаем получившуюся рекуррентную формулу (24) при следующих данных: , , , , .

 

Для получаем:

Рис. 10. Решение  разностного уравнения (24) . Синим цветом нарисован график наблюдаемого процесса , черным – оцениваемого процесса .

 

 

Для получаем:

Рис. 11. Решение разностного  уравнения (24) для . Синим цветом нарисован график наблюдаемого процесса , черным – оцениваемого процесса .

 

Задача фильтрации состоит в определении с.к.-оптимальной  оценки процесса по наблюдениям процесса . С.к.-оптимальной оценкой является условное математическое ожидание:

,

где

есть  -алгебра, порожденная значениями процесса до текущего момента времени .

Классическая  теорема Калмана-Бьюси дает уравнение, описывающее эволюцию математического  ожидания в случае, когда в системе (23) вместо фрактального броуновского движения присутствуют обычные винеровские процессы.

 

Для рассмотренного случая процесса Орнштейна-Уленбека дифференциальное уравнение для математического  ожидания имеет вид:

, (25)

где .

 

Исследуем поведение  фильтра в случае системы (23) с  возмущениями в виде ФБД.

В выражении (25) перейдем от дифференциалов к конечным разностям:

. (26)

 

Рассчитаем значения фильтра Калмана-Бьюси вместе со значениями состояния системы (24):

 

 

, :

Синим цветом нарисован график наблюдаемого процесса , черным – оцениваемого процесса , красным – оценка фильтра Калмана .

 

 

Ошибка оценки :

 

 

, :

 

Ошибка оценки :

 

, :

 

 

Ошибка оценки :

 

 

, :

 

 

Ошибка оценки :

 

 

, :

 

 

Ошибка оценки :

 

 

, :

 

Ошибка оценки :

 

Как видно из представленных графиков, в случае при уменьшении фильтр Калмана дает более точные значения. В случае же этого не происходит – фильтр Калмана не дает оценки процесса с приемлемой точностью.

 

6. Экономическая  часть

 

Введение

 

В современном  мире информационные технологии играют большую  
(а иногда и решающую) роль в успешности бизнеса. Информационные технологии позволяют автоматизировать производственные процессы, управлять в реальном времени сложными динамическими системами и организовывать почти мгновенный обмен информацией, как между людьми, так и между различными информационными системами.

 

Интернет в  современном мире является одним  из самых мощных коммуникационных инструментов (уступая пока только телефону). Именно поэтому в настоящее время  коммерческие структуры обращают все больше внимания на использование «Всемирной Паутины» как эффективного канала коммуникации с потребителями.

 

Веб-сайты являются виртуальными представительствами  компаний в Интернете. Для многих компаний веб-сайт является реальным маркетинговым или PR- инструментом, без которого их бизнес был бы неэффективным или вообще не смог бы существовать. Веб-сайт позволяет доносить до потенциальных потребителей товаров или услуг компании нужную информацию именно тогда, когда эта информация нужна, и с минимальными затратами.

 

Чем больше развиваются  информационные технологии (в частности  Интернет-технологии) и чем больше проникают эти технологии в жизнь  обычных людей, тем более комплексные  задачи ставятся перед веб-сайтами  компаний, тем сложнее с точки зрения производства становятся веб-сайты. Современный веб-сайт – это высоко технологичный продукт, в котором сочетаются сложные программные решения и креативные дизайнерские идеи. Если в начале 90-х годов разработка сайта могла осуществляться от начала и до конца всего лишь одним человеком, то сейчас производство обычного сайта – это сложный процесс, в который могут быть вовлечены более 10-15 разработчиков.

 

В данной работе я рассмотрю пример разработки сайта  для компании «ИксСтрахование» –  одного из крупнейших страховщиков в России на данный момент.

 

 

Задача

Разработать корпоративный  сайт для компании «ИксСтрахование».

 

Сайт должен решать следующие задачи:

• Информирование потенциальных и существующих клиентов компании (как физических, так и юридических лиц) о страховых услугах, которые оказывает «ИксСтрахование»;
• Предоставление удобных сервисов по расчету стоимости страховых полисов для посетителей сайта;
• Построение коммуникации с представителями СМИ и бизнес-аналитиками;
• Поддержка рекламной активности компании в Интернете.

 

 

 

 

Сетевой график

В рамках разработки сайта выполняются следующие  работы:

№	Название  работы	Исполнитель
Проектная аналитика
1	Сбор требований к разрабатываемому сайту у Заказчика	Аналитик
2	Разработка  технического задания	Технический писатель
3	Разработка  прототипов страниц	Технический писатель
4	Разработка  технической спецификации программных  модулей	Аналитик
Дизайн
5	Разработка  дизайн-концепции	Арт-директор
6	Разработка  дизайн-шаблонов	Дизайнер
Программирование
7	Разработка программных модулей	Программист
8	Сборка сайта	Программист
Верстка
9	Верстка дизайн-шаблонов	Верстальщик
Публикация
10	Тестирование  сайта на соответствие ТЗ и ТС	Тестировщик
11	Наполнение  сайта информацией	Контент-менеджер
12	Размещение  сайта на рабочем сервере	Программист
13	Разработка  руководства использования системы  администрирования сайта	Технический писатель

 

 

С учетом перечисленных  работ, сетевой график выглядит следующим  образом:

 

Где определены следующие события (отмечены кружками):

1. Поступление запроса на разработку сайта.
2. Окончание сбора требований к разработке сайта у Заказчика.
3. Согласование технического задания с Заказчиком.
4. Начало разработки дизайн-концепции сайта.
5. Окончание разработки прототипов страниц сайта.
6. Согласование дизайн-концепции с Заказчиком.
7. Окончание разработки технической спецификации.
8. Окончание разработки дизайн-шаблонов страниц сайта.
9. Начало разработки программных модулей.
10. Начало верстки дизайн-шаблонов сайта.
11. Окончание верстки дизайн-шаблонов.
12. Окончание разработки программных модулей, начало сборки сайта.
13. Завершение сборки сайта.
14. Завершение тестирования и отладки сайта.
15. Завершение наполнения сайта информацией.
16. Размещение сайта на рабочем сервере.
17. Начало разработки руководство использования системы администрирования сайта.
18. Сдача сайта в эксплуатацию Заказчика, открытие сайта в Интернете.

 

Трудоемкость  и длительность работ

 

В таблице ниже представлены исполнители для каждой из работ, количество исполнителей и  общая длительность работы в днях.

 

№	Название  работы	Исполнитель	Количество	Длительность (дней)
1	Сбор требований   к разрабатываемому сайту   у Заказчика	Аналитик	1	1
2	Разработка  технического задания	Технический писатель	1	6
3	Разработка  прототипов страниц	Технический писатель	1	3
4	Разработка  технической спецификации программных модулей	Аналитик	1	8
5	Разработка  дизайн-концепции	Арт-директор	1	5
6	Разработка  дизайн-шаблонов	Дизайнер	3	18
7	Разработка  программных модулей	Программист	2	24
8	Сборка сайта	Программист	1	3
9	Верстка дизайн-шаблонов	Верстальщик	1	10
10	Тестирование  сайта   на соответствие ТЗ и ТС	Тестировщик	1	6
11	Наполнение  сайта информацией	Контент-менеджер	1	8
12	Размещение  сайта на рабочем сервере	Программист	1	1
13	Разработка  руководства использования системы  администрирования сайта	Технический писатель	1	3