Формулы в рынке ценных бумаг

Существует несколько  моделей, используемых для формирования портфелей ценных бумаг. Если доходность обыкновенной акции за данный период связана с индексом РТС, то с ростом рыночного индекса, вероятно, будет  расти и цена акции, а с его  падением цена акции будет падать. Эту взаимосвязь отражает рыночная модель (market model)

где: r_i – доходность ценной бумаги; r_j -доходность на рыночный индекс j за этот же период; a_ij – коэффициент смещения;   – коэффициент наклона;   – случайная погрешность. 

 

Как следует из данного  уравнения, чем выше доходность на рыночный индекс, тем выше будет доходность ценной бумаги, а    =0.

Разность между действительным и ожидаемым значениями объясняется  случайной погрешностью. Поэтому   = 0 только в ряде маловероятных случаев.

Коэффициент наклона в  рыночной модели называют бета-коэффициентом. Он показывает отношение ценной бумаги к ее доходности.

где –   ковариация между доходностью акции i и доходностью акции рыночного индекса;    –дисперсия доходности индекса или риск ценной бумаги.

Ценные бумаги, имеющие  бета-коэффициент больше 1, т. е. обладающие большей изменчивостью, чем рыночный индекс, называют агрессивными, а ценные бумаги с коэффициентом меньше 1 - оборонительными.

Общий риск ценной бумаги и  общий риск портфеля ценных бумаг  измеряют с помощью дисперсии.

Общий риск ценной бумаги (у²_j) будет

где  – дисперсия доходности рыночного индекса;

– рыночный риск i ценной бумаги;

 – собственный риск i ценной бумаги, мерой которого является дисперсия случайной погрешности ( ).

Зная о весе каждой дисконтированной ценной бумаги в портфеле и рыночном индексе, а также о долях инвестирования в каждую бумагу, доходность портфеля можно рассчитать по формуле:

где Х_i = 1,2,3…,N.

Подставив значение г в  указанное уравнение, получим:

где

Общий риск портфеля, измеряемый дисперсией его доходности ( ), можно определить по формуле:

где

Если же случайные отклонения доходности ценных бумаг являются некоррелируемыми, т. е. не связанными между собой, то получим:

Следовательно, общий риск портфеля состоит из общего риска  отдельных ценных бумаг, включающего  собственный риск ( ), которого, по утверждению Г. Марковица, нельзя избежать, и рыночный риск ( ).

Собственный (несистематический) риск портфеля связан с тем, что некоторые  из находящихся в портфеле ценных бумаг могут как возрасти, так  и упасть в цене. Следовательно, практически  в любом портфеле будут ценные бумаги, которые могут одинаково  влиять на его доходность.

Весомый вклад в определение  максимальных портфелей ценных бумаг  внесли Джеймс Тобин и Уильям Шарп. Они развили подход Марковица в ситуации, когда в экономике существует безрисковый актив с некоторой доходностью. Под безрисковым понимается актив, доходность от которого является определенной. Поскольку неопределенность конечной стоимости безрискового актива отсутствует, следовательно, стандартное отклонение для него равно нулю.

Если безрисковый актив  имеет заранее известную доходность, то ценные бумаги, входящие в актив, должны обеспечивать инвестору фиксированный  доход. В этой связи вряд ли корпоративные  ценные бумаги могут принести инвестору  фиксированный доход.

В России до недавнего времени  только один тип ценных бумаг можно  было отнести к безрисковым - это  облигации Федерального сберегательного  займа.

Инвестирование в безрисковый  актив иногда называют безрисковым  кредитованием.

Дж. Тобин показал, что, если  р = (р_i ..., р_п) - некоторый портфель (р - для i-го актива в портфеле), a f -безрисковый актив, то все портфели вида   лежат на рыночной прямой, проходящей через точки 0_i r_f, и у_p r_р. Среди всех таких прямых нужно выбрать самую крутую (более крутая дает большую доходность при заданном риске р), которая проходит через точку (0, r_p ) и точку касания 0* к эффективной границе.

Новую эффективную границу, полученную с учетом безрискового актива называют рыночной линией (CML, Capital Market Line), а точку 0* - рыночным портфелем (market portfolio).

Уильям Шарп показал, что  рыночный портфель можно вычислить  из условия равенства спроса и  предложения финансовых активов, рассматривая рынок как совокупность всех инвесторов и всех ценных бумаг (активов). В этом случае доля р акций типа i в портфеле 0* просто равна доле всех акций типа i на рынке. Поэтому 0* и называют рыночным портфелем.

Множество оптимальных (по Марковицу - Тобину) портфелей ведет себя достаточно стабильно и меняется скачкообразно, только в моменты резких скачков  котировок некоторых ценных бумаг. В эти моменты следует пересмотреть структуру портфеля.

Алгоритм Марковица - Тобина дает решение задачи составления оптимального портфеля. Однако, когда исследуют очень большое количество акций, он нереализуем из-за сложности вычислений (нужно обращать матрицу огромного размера).

Эдвин Элтон, Мартин Грубер и Манфред Падберг предложили свой алгоритм вычисления портфеля 0* в  предположении, что набор рассматриваемых  активов можно описать моделью  с одним индексом.

В моделях с  одним индексом рассматривается рыночный индекс I, характеризующий поведение фондового рынка в целом. За границей очень популярен индекс Доу-Джонса, на нашем фондовом рынке - индекс РТС. Для рассматриваемого (базового) индекса I вводят естественное понятие доходности:

где PV₀ – значение индекса в начале исследуемого периода;

С_i – значение индекса в конце рассматриваемого периода. 

 

В рамках модели с одним  индексом предполагается, что доходности рассматриваемых активов представляются в виде:

b_i – коэффициент наклона, вычисляемый по формуле:

а_i – коэффициент смещения, определяемый по формуле:

В основе этих алгоритмов лежит  предположение, что каждый инвестор стремится увеличить доходность своего портфеля без увеличения возможного риска. Для этого инвестор составляетарбитражный портфель, используя модель с одним индексом.

Арбитраж - получение безрисковой прибыли путем использования разных цен на ценные бумаги. Инвесторы стремятся получить доходы при каждой возможности: продавая бумаги по высокой цене и одновременно приобретая такие же ценные бумаги по относительно низкой цене. Для реализации арбитражного подхода, как правило, применяют факторный анализ курса ценных бумаг. При этом предполагают, что можно увеличить доходность портфеля без увеличения риска. Однако ряд систематических факторов, влияющих на риск и доходность ценной бумаги, препятствует широкому применению модели APT на практике.

Арбитражным называют любой портфель А = (А₁, А₂,... A_n). Для составления портфеля А не требуется дополнительных ресурсов, арбитражный портфель не чувствителен к базовому фактору и ожидается положительная доходность портфеля А.

Арбитражный портфель формируется  так, чтобы риск был намного меньше риска текущего портфеля. Желательно, чтобы этот риск был близок к 0. Стратегию  формирования арбитражного портфеля используют при расчете оптимального портфеля ценных бумаг на российском фондовом рынке.

Формирование  портфеля государственных облигаций осуществляется путем покупки облигаций на аукционах, при первичном размещении или на вторичных торгах. Для покупки облигаций инвестор составляет заявку-поручение дилеру, указывая возможные цены покупки, количество бумаги и сумму денежных средств, которую он предполагает затратить.

В заявке на аукцион указывают  два вида покупок:

-         неконкурентные заявки (выполняются по средневзвешенной цене аукциона). Облигации, включенные в неконкурентные заявки, оговариваются в документах, публикуемых в официальных финансовых изданиях за 7 дней до проведения аукциона;

-         конкурентные заявки (удовлетворяются по цене, указанной инвестором, но не ниже цены отсечения). Цену отсечения рассчитывают организаторы аукциона на основе анализа всех участвующих в аукционе заявок.

При этом инвестору важно  указать цену покупки, которую он может установить путем изучения спроса. Если инвестор укажет в заявке неприемлемую для организаторов  аукциона цену, заявка не будет удовлетворена.

Сумму денежных средств, которую инвестор предполагает получить при размещении портфеля облигаций, рассчитывают по формуле

где С(t) – будущая сумма получения;

PV – текущая сумма вложения;

r_а – ставка доходности, % (ставка дисконтировании). 

 

Цену облигации  при неизменных во времени ставках определяют по формуле

где Р – цена i облигации;

N – номинал i облигации;

r_а – ставка дисконтирования;

п – показатель кратности срока обращения облигации относительно базового периода.

Ставку дисконтирования  рассчитывают по формуле

где R_a – ставка дисконтирования;

 – дополнительная ставка, компенсирующая риск.

Если изменяются условия  инвестирования, то для каждого периода  вложений (к примеру, месяца) можно  отдельно ввести ставки дисконтирования. Тогда цену облигации можно определить так:

где Е_а1,... Е_ап – ставки дисконтирования каждого месяца инвестиционного периода.