Гармонические и бигармонические функции

 
 
 
 

ГАРМОНИЧЕСКИЕ И БИГАРМОНИЧЕСКИЕ  ФУНКЦИИ. 
 
 
 
 

КУРСОВАЯ  РАБОТА 
 
 
 
 

Содержание

Введение…………………………………………………………………………3

Глава 1. Гармонические функции.

    1.1. Свойства гармонических функций.

Глава 2. Бигармоническая функция. 

1. Единственность решения.
2. Представление бигармонических функций через гармонические функции.
3. Решение бигармонического уравнения для круга.

Список используемой литературы 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение

     Теория  гармонических функций представляет  собой один из наиболее изящных  и стройных разделов классического  анализа. Будучи во многих отношениях  естественным обобщением линейных  функций одной переменной, гармонические  функции являются в определенном  смысле простейшими функциями  нескольких переменных. Вместе с  тем запас таких функций весьма  богат и разнообразен. Они занимают важное место не только во многих математических исследованиях, но также и в приложениях анализа к физике и механике, где ими часто описываются различные стационарные процессы.

     Однако  этим не исчерпывается значение  гармонических функций в анализе.  Ряд свойств гармонических и  бигармонических функций, методы  исследования и аппарат теории, рассмотренные в данной работе,  служат образцом для постановки задач и получения тех или иных результатов, относящихся к другим разделам анализа, и прежде всего к общей теории дифференциальных уравнений с частными производными эллиптического вида.

     В  традиционном университетском курсе  математического анализа по различным  причинам не находится места  для систематического изложения  основных факторов теории гармонических  и бигармонических функций. Содержащиеся  там сведения о гармонических  и бигармонических функциях, как правило, являются весьма скудными, носят эпизодический характер и разбросаны в различных местах, где они приводятся обычно на втором плане. Поэтому, при написании работы был взят материал из книг, посвященных дифференциальным уравнениям математической физики, векторному анализу, теории аналитических функций и другие.

    Место, которое занимает теория гармонических функций в анализе, ее непрекращающееся развитие в различных направлениях и расширение области применений оправдывают стремление к ознакомлению с этой теорией в её классическом варианте, где уже достаточно четко намечены  некоторые возможные точки зрения и сформулированы типичные методы, во многом определяющие направление ряда современных исследований. Именно с этой целью и написана данная работа.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Глава 1. Гармонические функции.

     Гармонической  в области D функцией называется действительная функция   двух действительных переменных, обладающая в этой области непрерывными вторыми частными производными и удовлетворяющая дифференциальному уравнению 

( –символ дифференциального оператора). Это уравнение обычно называют уравнением Лапласа. Однако Лаплас рассмотрел его в 1782г., а задолго до него это уравнение использовал Л. Эйлер  в своих  работах по гидродинамике и другим разделам математической физики. Заметим сразу, что в силу линейности уравнения Лапласа любая линейная комбинация  

гармонических функций  с действительными постоянными коэффициентами снова является гармонической функцией.

1. Свойства гармонических функций.

    Выясним  прежде всего связь между понятиями  аналитических и гармонических  функций. Эта связь выражается  в следующих двух простых теоремах:

Теорема 1 . Действительная и мнимая части произвольной функции ,однозначной и аналитической в области D, являются в этой области гармоническими функциями.

     Доказательство  непосредственно вытекает из  условий Коши-Римана

.

    В самом деле, так как аналитические функции обладают производными всех порядков, то уравнения можно дифференцировать по и . Дифференцируя первое из них по  ,  а второе по и пользуясь теоремой о равенстве смешанных производных находим:

,

откуда 

.

Для функции  доказательство аналогично.

     Две  гармонические в области D функции и , связанные условиями Коши – Римана, называются сопряженными.

Теорема 2. Для всякой функции , гармонической в односвязной области D, можно найти сопряженную с ней гармоническую функцию .

     В  самом деле, рассмотрим интеграл

,

где  - фиксированная, а - переменная точка области D. В силу уравнения Лапласа , этот интеграл не зависит от пути интегрирования и является функцией только точки ; мы и обозначаем эту функцию . Имеем, пользуясь свойствами криволинейных интегралов, 

( мы можем брать интеграл от до по горизонтальному отрезку, на котором ; аналогично, . Следовательно, и является искомой функцией, сопряженной с функцией . Так как функция определяется своими частными производными с точностью до постоянного слагаемого, то совокупность всех гармонических функций, сопряженных с , дает формула

,

где С – произвольная (действительная)  постоянная.

     Заметим,  что в многосвязной области  D интеграл определяет, вообще говоря, многозначную функцию. Он может принимать различные значения вдоль двух путей L  и , соединяющих точки и , если эти пути нельзя деформировать друг в друга, оставаясь в области D (т.е. если внутри области, ограниченной L  и имеются точки не принадлежащие к D). Можно утверждать, что в многосвязной области общая формула для значений функции определяемой интегралом имеет вид:

,

где  произвольные целые числа и интегралы вдоль замкнутых контуров , каждый из которых содержит внутри себя одну связную часть границы D:

. 

Постоянные  называются периодами интеграла

,

или  циклическими постоянными.

     Если  в некоторой области D’, лежащей в D, можно выделить однозначную и непрерывную ветвь функции , определяемой формулой

, то эта ветвь,  очевидно, является  гармонической функцией, сопряженной с  поэтому функцию считают многозначной гармонической функцией. Заметим, что частные производные этой функции однозначны: ; это вытекает из формулы .

Теорему2 можно, очевидно, сформулировать так:

Теорема 2’. Любую гармоническую в области D функцию можно рассматривать как действительную или мнимую часть некоторой аналитической функции ; эта последняя определяется с точностью до постоянного слагаемого, соответственно мнимого или действительного.

Теорема 3. Любая гармоническая функция является аналитической функцией своих аргументов и , т.е. в окрестности каждой точки области D она представляется в виде суммы абсолютно сходящегося ряда 

В самом  деле, по теореме 2’ можно рассматривать как действительную часть функции , однозначной и аналитической в некоторой окрестности точки . Пусть в этой окрестности

 

где  . Действительная часть общего члена ряда , по абсолютной величине не превосходит , а так как по теореме Абеля ряд абсолютно сходится в любом круге , т.е. ряд сходится при , то и ряд с общим членом будет абсолютно сходиться при . Этот ряд и представляет собой ряд для . После перегруппировки его членов (что законно в силу доказанной абсолютной сходимости), мы получаем требуемый ряд  

Теорема доказана.

Теорема 4(о  среднем). Если функция непрерывна в замкнутом круге радиуса с центром в точке и гармонична внутри этого круга, то

.

     Доказательство  вытекает непосредственно из  формулы  

отделением действительных частей.

Теорема 5. Отличная от постоянной гармоническая функция не может достигать экстремума во внутренней точке области определения.

     Теорему  достаточно доказать для случая  максимума, ибо точка минимума  гармонической функции  является точкой максимума функции - ,также гармонической. Предполагая противное, предположим, что гармоническая функция достигает максимума во внутренней точке области.

    В  окрестности точки  построим однозначную аналитическую функцию такую, что . Функция аналитична и непостоянна, а ее модуль , по нашему предположению, достигает максимума во внутренней точке области . это противоречит принципу максимума. Теорема доказана.

Теорема 6. Если гармоническая во всей открытой плоскости функция ограничена хотя бы сверху или снизу, то она постоянна.

     В  самом деле, пусть  ограничена сверху: Построим аналитическую во всей открытой плоскости функцию такую, что . По условию теоремы все значения функции лежат в полуплоскости , следовательно, постоянна, а значит, постоянна и .

     Следующие  две теоремы устанавливают характер  линий уровня гармонических функций  т.е. совокупностей точек, для  которых .

Теорема 7. Если отличная от постоянной гармоническая  функция  имеет замкнутую линию уровня то внутри линии находится хотя бы одна особая точка этой функции.

     В  самом деле, в противном случае  функция , непрерывная в замкнутой области, ограниченной линией уровня, должна достигать своего наибольшего значения и наименьшего значения . По теореме 5 точки и должны лежать на границе области, т.е. на линии уровня; следовательно, , и функция постоянна.

Теорема 8.  Любая достаточно малая окрестность точки линии уровня разбивается этой линией на четное число секторов, в которых попеременно принимает значения, большие и меньшие .

     Функция  равна нулю в точке ; подобрав к ней сопряженную функцию так, чтобы , получим аналитическую функцию , также равную нулю в точке. Обозначим через n порядок этого нуля, тогда в окрестности точки имеем и, следовательно, где положено и В- некоторые постоянные и означает малую порядка выше при . Отсюда видно, что для достаточно малых при изменении от 0 до 2 разность обращается в нуль 2n раз, меняя при этом знак. Теорема доказана.

Теорема 9. Если функция непрерывна в области D и в любой точке для достаточно малых

,

то функция  гармонична в D.

     Наше доказательство основано  на теореме существования гармонической  функции, принимающей на границе  односвязной области заданные  значения. Пусть - произвольная точка D и - замкнутая односвязная область, принадлежащая D и содержащая точку внутри. Построим гармоническую функцию , принимающую на границе области те же значения, что и функция и обозначим .

     По построению и условиям доказываемой  теоремы функция  непрерывна в и равна нулю на границе этой области. Кроме того, значение в центре любого круга, принадлежащего , равно среднему арифметическому ее значений на окружности этого круга, ибо этим свойством обладают обе функции и : первая по условию, а вторая по теореме о среднем.

     Отсюда вытекает, что функция  не может достигать экстремума во внутренних точках.но так как непрерывная в замкнутой области функция должна достигать своих экстремальных значений, то она достигает их на границе . А так как на границе всюду максимальное и минимальное значения равны нулю, а следовательно, всюду в . Это означает, что всюду в функция совпадает с гармонической функцией и, в частности, гармонична в точке . Так как произвольная точка D , то теорема доказана.