Гармонические и бигармонические функции

Теорема 10. Пусть задана последовательность функций , гармонических в области  D и непрерывных в . Если ряд равномерно сходится на границе D, то он равномерно сходится и внутри D, причем его сумма является гармонической в D функцией.

      Из принципа экстремума вытекает  равномерная сходимость ряда  внутри D. В самом деле, по известному признаку признаку сходимости Коши из равномерной сходимости ряда на границе области D следует, что для любого найдется целое число N такое, что для любого и любого целого положительного р и всех точек границы

.

 Так как  сумма, стоящая под знаком модуля, гармонична, то по принципу экстремума  и для всех точек области

.

Но по тому же принципу  Коши отсюда вытекает равномерная  сходимость ряда . Остается показать, что сумма этого ряда - гармоническая функция. Для этого воспользуемся теоремами 9 и 4. Для любого достаточно малого имеем: 

(почленное интегрирование ряда законно в силу его равномерной сходимости). По теореме 4 интегралы справа равны , следовательно, 

  и по теореме 9 функция гармонична в точке . Теорема доказана, так как произвольная точка области D.

Теорема 11.  Если функция гармонична в области D и аналитическая в некоторой области функция, значения которой лежат в D, то сложная функция гармонична в .

    В  самом деле, построим (может быть, многозначную) аналитическую функцию  , для которой . Функция , очевидно, аналитическая в области  и, следовательно, гармонична в этой области.

Теорема 12. Если функция гармонична в односвязной области D и непрерывна вместе со своими частными производными в , то

,

где C – граница области D и обозначает производную в направлении нормали к C, a – дифференциал дуги.

     Построим  в  сопряженную к гармоническую функцию ; она однозначна в силу односвязности D.  Условия Коши – Римана можно записать в виде

 ,

где  обозначает производную в направлении касательной к некоторой кривой, а - производную в направлении нормали к ней ( так, что вращение от вектора к происходит против часовой стрелки). В силу непрерывности частных производных , а следовательно, и их комбинаций и , равенство имеет место и на границе C области D. поэтому вдоль замкнутого контура С 

в силу однозначности  функции . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Глава 2. Бигармоническая функция. 

Уравнение называется бигармоническим, а его решения, имеющие производные до 4-го порядка включительно, называются бигармоническими функциями.

     Основная  краевая задача для бигармонического  уравнения ставится следующим  образом:

     Найти  функцию , непрерывную вместе с первой производной в замкнутой области S+C, имеющую производные до 4-го порядка в S, удовлетворяющую уравнению внутри S и граничным условиям на С 

где  и - непрерывные функции дуги s.

При решение  задачи ( с граничными условиями и на границе, кроме того, функция должна удовлетворять начальным условиям ) с начальными условиями методом разделения переменных полагают, как обычно, 

Подставляя это  выражение в уравнение  и разделяя переменные, мы приходим к задаче об отыскании собственных значений уравнения 

При граничных  условиях

  на С.

1.1Единственность решения.

Докажем, что  бигармоническое уравнение 

при граничных  условиях 

имеет единственное решение.

     Пусть  существует два решения  и . Рассмотрим их разность

.

     Функция  удовлетворяет бигармоническому уравнению и однородным граничным условиям  

     Применяя  формулу Грина 

к функциям, получаем:

,

откуда .

    Принимая  во внимание, что , получаем и . Следовательно, бигармоническая функция однозначно определяется граничными условиями  

2. Представление бигармонических функций через гармонические функции.

      Докажем следующую теорему:

Если  и - две гармонические в некоторой области G функции, то функция бигармонична в области G.

     Для  доказательства воспользуемся тождеством 

    Полагая  , найдем

    Применяя  еще раз оператор , учитывая, что , получим:

)=0 .

     Если  область G такова, что каждая прямая параллельная оси , пересекает её границу не более чем в двух точках, то имеет место обратная теорема:

для каждой заданной в области G бигармонической функции найдутся такие гармонические функции и , что

     Для  доказательства этого утверждения,  очевидно, достаточно установить  возможность выбора функции  , удовлетворяющей двум условиям:

.

    Из  условия  и формулы следует: 

    Этому  уравнению удовлетворяет функция  

    Так как =, то зависит только от  :.

    Определим функцию так, чтобы , и положим . Эта функция очевидно будет удовлетворять условиям  .

     Рассмотрим  другой вид представления гармонических  функций. Допустим, что начало  координат выбрано внутри области  G, в одной точке. Тогда любая бигармоническая в G функция может быть представлена с помощью двух гармонических функций и в виде . Здесь

 , а - заданная постоянная. Это доказывается Аналогично с помощью тождества  

и соотношений  .

3. Решение бигармонического уравнения для круга.

    Рассмотрим круг радиуса с центром в начале координат и будем искать бигармоническую функцию, удовлетворяющую при граничным условиям  

Как было указано выше искомую функцию  можно представить в виде суммы  ,

где и - гармонические функции. Из граничных условий находим:

.

     Отсюда  видно, что  есть решение первой краевой задачи для уравнения Лапласа и может быть представлено с помощью интеграла Пуассона

.

     Из второго граничного условия получаем: 

     Нетрудно убедиться непосредственным дифференцированием, что функция  

Удовлетворяет уравнению Лапласа и поэтому  может быть выражена  интегралом Пуассона

.

Продифференцировав  по и подставляя значение   в формулу , найдем

Заменяя в формуле   и их выражениями, получим: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Заключение.

      
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Список  используемой литературы

1. Владимиров B.C., Уравнения математической физики, М., 1967;
2. Гюнтер Н. М., Теория потенциала и ее применение к основным задачам математической физики, М., 1953;
3. Лаврентьев М. А., Ша6ат Б. В., Методы теории функций комплексного переменного, 3 изд., М., 1965.
4. Лаврентьев М. М. О некоторых некорректных задачах математической физики Новосибирск. 1962;
5. Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, 2 изд., т. 2, М., 1968;
6. Мусхелишвили Н. И., Некоторые основные задачи математической теории упругости, 5 изд., М., 1966, гл. 2;
7. Привалов И. И. Граничные свойства аналитических функций, 2 изд., М.- Л. 1950;
8. Соломенцев Е. Д., Гармонические и субгармонические функции и их обобщения;
9. Тиман А. Ф., Трофимов В. Н., Введение в теорию гармонических функций, М., 1968;
10. Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, 3 изд., М., 1966, гл. 4;