Контрольная работа по "Математические методы и модели в экономике"

НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ  УЧРЕЖДЕНИЕ  ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ  ИНСТИТУТ БИЗНЕСА И ПРАВА

 

Кафедра общих  математических и естественнонаучных дисциплин

 

 

Контрольная работа по дисциплине 
«Математические методы и модели в экономике» 
для студентов заочного отделения направления 080100.62 “Экономика”

 

Тип оборудования	Затраты времени (станко-ч) на обработку  одного изделия вида			Общий фонд рабочего времени  оборудования (ч)
	А	В	С
Фрезерное Токарное Сварочное Шлифовальное	2 1 7 4	4 8 4 6	5 6 5 7	120 280 240 360
Прибыль (у.е.)	10	14	12

Задание №1. Для изготовления трёх видов изделий А, В и С используется токарное, фрезерное, сварочное и шлифовальное оборудование. Затраты времени на обработку одного изделия для каждого из типов оборудования указаны в таблице. В ней же указан общий фонд рабочего времени каждого из типов используемого оборудования, а также прибыль от реализации одного изделия каждого вида.

Требуется определить, сколько  изделий и какого вида следует  изготовить предприятию, чтобы прибыль  от их реализации была максимальной.

Решение.

Данная задача является задачей  планирования производства.

Пусть,, – количество изделий (в шт.)  А, В и С, которые следует изготовить предприятию.

1. По условию:

F(x) = 10*+14*+12*  

 

где ≥ 0, i =1,2,3.

Приведём задачу к каноническому  виду:

F(x) = 10*+14*+ 12*+ 0*+ 0*+ 0*+ 0*

 

  где ≥ 0, i =1,2,3,4,5,6,7.

 

 

 

 

2)Систему уравнений запишем в векторной форме:

+ = , где:

 = ;  = = ; = ; = ; = ; = .

Затем, применяя симплекс-метод, получим:

Шаг первый:

			10	14	12	0	0	0	0	Оценка  :
Б
	0	120	2		5	1	0	0	0	30
	0	280	1	8	6	0	1	0	0	35
	0	240	7	4	5	0	0	1	0	60
	0	360	4	6	7	0	0	0	1	60
		0	-10	-14	-12	0	0	0	0	X

 

Данное решение не является оптимальным, т.к. векторы , , имеют отрицательные оценки = -10, = -14, = -12 в задаче на максимум.

Т.к.  = -14 и = 30, то разрешающим выбран элемент (1;2).

 

Шаг второй:

			10	14	12	0	0	0	0
Б										Оценка   :
	14	30	0,5	1	1,25	0,25	0	0	0	60
	0	40	-3	0	-4	-2	1	0	0
	0	120		0	0	-1	0	1	0	24
	0	180	1	0	-0,5	-1,5	0	0	1	180
		420	-3	0	5,5	3,5	0	0	0	X

 

 

Этот опорный план также  не является оптимальным, т.к. вектор  имеет отрицательную оценку  = -3.

Т.к.  = -3 и =24, то разрешающим выбран элемент (3;1).

Шаг третий:

			10	14	12	0	0	0	0
Б
	14	18	0	1	1,25	0,35	0	-0,1	0
	0	112	0	0	- 4	-2,6	1	0,6	0
	10	24	1	0	0	-0,2	0	0,2	0
	0	156	0	0	-0,5	-1,3	0	-0,2	1
		492	0	0	5,5	2,9	0	0,6	0

 

Третье опорное  решение  является оптимальным, т.к. для всех векторов условий оценки неотрицательные  в задаче на максимум =>

Х = (24; 18; 0; 0; 112; 0; 156) , = 492.

Т.к. , , , – дополнительные переменные, значит решение данной задачи определяется следующими показателями:

= 492  при = 24; = 18; = 0.

Решение в экселе:

 

Переменные	24	18	0
Коэфф.в ЦФ	10	14	12
Затраты времени (станко-ч) на обработку  одного изделия вида
				Общий фонд рабочего времени
2	4	6		120	≤	120
1	8	6		168	≤	280
7	4	5		240	≤	240
4	6	7		204	≤	360
							Цель	492

 

Ответ: = 492  при = 24; = 18; = 0.

Это показывает, что план выпуска продукции, включающий изготовление 24 шт. изделий вида А и 18 шт. изделий вида В является оптимальным. Максимальная прибыль от их реализации составляет 492 у.е. Изготовление изделий вида С оптимальным планом не предусматривается, т.к. введение в план изделий С привело бы к уменьшению общей стоимости.

 

Задание №2. При откорме животных каждое животное ежедневно должно получить не менее 60 ед. питательного вещества А, не менее 50 ед. вещества В и не менее 12 ед. вещества С. Указанные питательные вещества содержат три вида корма. Содержание единиц питательных веществ в 1 кг каждого из видов корма приведено в таблице.

 

 

Количество единиц питательных  веществ в 1 кг корма вида	Питательные вещества
	А	В	С
I	1	2	1
II	3	4	4
III	4	2	3

Составить дневной рацион, обеспечивающий получение необходимого количества питательных веществ  при минимальных денежных затратах, если цена 1 кг корма I вида 9 у.е., корма II вида – 12 у.е., III вида – 10 у.е.

 

Решение.

 

Данная задача является задачей  о рационе.

Пусть ,, – количество (ед.) питательных веществ А, В и С, составляющих дневной рацион животных.

 

 

   По условию:

F(x) = 9*+ 12*+ 10*

 

 

    где ≥ 0,  j = 1,2,3.

Cоставим двойственную задачу:

F(y) = 60*+ 50*+ 12*

 

   где ≥ 0,  i = 1,2,3.

 

Приведём задачу к каноническому  виду:

F(y) = 60*+ 50*+ 12*+ 0*+ 0*+ 0*

 

где ≥ 0, i =1,2,3,4,5,6.

1. Применяя симплекс-метод в векторной форме, получим:

 

			60	50	12	0	0	0	Оценка :
Б
	0	9	1	2	1	1	0	0	9
	0	12	3	4	4	0	1	0	4
	0	10		2	3	0	0	1	2,5
		0	- 60	- 50	- 12	0	0	0
			60	50	12	0	0	0	Оценка :
Б
	0	6,5	0	1,5	0,25	1	0	-0,25	4,33
	0	4,5	0		1,75	0	1	-0,75	1,8
	60	2,5	1	0,5	0,75	0	0	0,25	5
		150	0	-20	33	0	0	15
			60	50	12	0	0	0
Б
	0	3,8	0	0	-0,8	1	-0,6	0,2
	50	1,8	0	1	0,7	0	0,4	-0,3
	60	1,6	1	0	0,4	0	-0,2	0,4
		186	0	0	47	0	8	9

 

Данное решение является оптимальным, т.к. для всех векторов условий оценки неотрицательные  в задаче на максимум =>

= 186 при

2. Согласно теореме двойственности:

 = – оптимальное значение и

=, где : - оптимальное решение задачи,

- вектор целевой функции при базисных неизвестных оптимального решения,

 – матрица последней симплексной таблицы, чьи столбцы располагаются под единичными векторами  ,, .

 

По найденным  значениям имеем:

= (0; 50; 60)  и

 

= ,  тогда:

= = (0; 50; 60) * = (0; 8; 9) =>

 

 = 186  при = 0; = 8 и = 9.

Решение в экселе:

 

Переменные:	0	8	9
Коэфф. в ЦФ:	9	12	10
				Сумма:	Ограничения:
	1	3	4	60		60
	2	4	2	50		50
	1	4	3	59		12
					Цель:	186

 

Ответ: =186  при = 0; = 8 и = 9.

 

По итогам данной задачи сделаем  вывод:

Если  дневной рацион животных будет содержать  в себе питательных в-в В и С соответственно 8 ед. и 9 ед. и не будет содержать питательного в-ва  А, тогда затраты на откорм животных станут минимальными и будут составлять 186 у.е.

 

 

Задание №3. В трёх пунктах отправления сосредоточен однородный груз в количествах, соответственно равных 420, 380 и 400 т. Этот груз необходимо перевезти в три пункта назначения в количествах соответственно равных 260, 520 и 420 т. Стоимости перевозок 1 т груза из каждого пункта отправления в каждый пункт назначения являются известными величинами и задаются матрицей