Контрольная работа по "Математические методы и модели в экономике"

=

Найти план перевозок, обеспечивающий вывоз имеющегося в пунктах отправления  и завоз необходимого в пунктах  назначения груза при минимальной  общей стоимости перевозок.

 

 

Решение:

1)Составим таблицу  перевозок:

 

ПО          ПН				Запас:
	2	4	3	420
	7	5	8	380
	6	9	7	400
Потребности:	260	520	420	1200  1200

 

 

Т.к. ∑ = ∑, значит, задача является сбалансированной.

 

Составим целевую  функцию:

F(X) =2*+ 4*+ 3*+ 7*+ 5*+ 8*+6*+ 9*+ 7*

 

2) Найдём начальное опорное решение методом северо-западного угла:

 

	260	520	420
420	2 260	4 160	3 —
380	7 —	5 360	8 20
400	6 —	9 —	7 400

 

3)Применим для  дальнейшего оптимального решения  задачи метод  потенциалов.

 

3.1. Построим систему потенциалов, используя занятые клетки:

   + = при > 0 =>

= - при > 0, если известен потенциал и

= - при > 0, если известен потенциал .

+ = 2                     

 + = 4

 + = 5

 + = 8

 + = 7.

Пусть = 0, тогда:

= 2 - = 2 - 0 = 2

= 4 - = 4 – 0 = 4

= 5 - = 5 – 4 = 1

= 8 - = 8 – 1 = 7

= 7 - = 7 – 7 = 0.

 

3.2. Проверим опорное решение на оптимальность. Вычислим  оценки для всех незаполненных клеток таблицы:

  = + -

= +- = 0 +7 – 3 = 4        => > 0

= + - =1 +4 – 7 = -2 =>

= + - = 0 +2 – 6 = - 4 =>

= + - = 0 +4 – 9 = - 5 =>

 

Т.к. > 0, то это решение не является оптимальным => перейдём к новому опорному решению:

Для клетки (1;3) с > 0 построим цикл:

 

	260	520	420
420	2 260	4 160	+ 3 4
380	7 —	5 360 +	8 20
400	6 —	9 —	7 400

 

3.3.  Найдём минимум для клеток, отмеченных знаком " – " из цикла, равно 20, и, добавив эту величину в клетки со знаком " + ", осуществим сдвиг по  циклу и найдём второе опорное решение:

 

	260	520	420
420	2 260	4 140	3 20
380	7 —	5 380	8 —
400	6 —	9 —	7 400

 

Находим для этого решения  потенциалы:

+ = 2                     

 + = 4

+ = 3

 + = 5

  + = 7.

 

Пусть = 0, тогда:

= 3 - = 3 - 0 = 3

= 2 - = 2 – 3 = -1

= 4 - = 4 – (- 1) = 5

= 3 - = 3 – (-1) = 4

= 5 - = 5 – 5 = 0

 

3.4. Проверим опорное решение на оптимальность.

 

= + - = 0 +3 – 5 = -2 =>

= + - = 0 +4 – 8 = -4 =>

= + - = 0 +3 – 6 = -3 =>

= + - = 0 +5 – 9 = -4 => .

Т.к. все оценки отрицательные, то данное решение – оптимальное.

 

3.5.   Вычислим оптимальное значение целевой функции:

 

= 2*+ 4*+ 3*+ 7*+ 5*+ 8*+6*+ 9*+ 7*= 260*2 +4*140

 

+3*20 +7*0 +5*380 +8*0 +6*0 +9*0 +7*400 = 520 +560 +60 +1900 +2800 = 5840.

 

 

Решение в экселе:

 

	Переменные:				Сумма:		Ограничения:
	260	140	20		420	=	420
	0	380	0		380	=	380
	0	0	400		400	=	400
Сумма:	260	520	420
	=	=	=
	260	520	420
	Стоимость  перевозок:
	2	4	3
	7	5	8
	6	9	7			Цель:	5840

 

Ответ: = 5840 у.е. при т.

 

 

Задание №4. Для производства трёх видов изделий предприятие использует три вида сырья. Нормы расхода каждого вида сырья определяются матрицей

А =

Предприятие может использовать сырья I вида не более 20 ед., II вида – не более 42 ед., III вида – не более 36 ед. Цена единицы продукции каждого вида линейно зависит от некоторого параметра t, и эта зависимость соответственно имеет вид 2+t, 12–t, 6+t (010). Для каждого значения параметра t (010) найдите такой план выпуска продукции, реализация которого обеспечивает максимальный выпуск изделий в стоимостном выражении.

 

Решение:

1)По условию:

 

= (2+t) *+(12 – t) *+(6+t) *

 

 

где ≥ 0, i =1,2,3.

 

2)Приведём задачу  к каноническому виду:

 

где ≥ 0, i =1,2,3,4,5,6.

 

 

 

3)Применяя симплекс-метод в векторной форме, получим:

Шаг первый:

						0	0	0
Б
	0	20	1	1	2	1	0	0
	0	42	2	0	1	0	1	0
	0	36	0	1	0	0	0	1
		0				0	0	0

 

Чтобы продолжить задачу нужно определить разрешающий элемент, находящихся на пересечении разрешающихся столбца и строки.

Т.к. 010 – по условию, то:( ;   = для определения разрешающего столбца надо выбрать минимальное значение  из них.

 

Здесь возможны варианты:

- разрешающий  столбец  с =    при условиях:

 
а) или б) или   в)

 

а)

 

   =система решений не имеет.

 

б)

 

   =система решений не имеет.

 

 

в) = система решений не имеет.

 

= на втором шаге столбец разрешающим не является.

 

- разрешающий  столбец  с =  при условиях:

 

г) или д) или   е)

 

г)

 

   = t   

 

д)

 

  =система решений не имеет.

 

е)

 

   = t = 3

 

= на втором шаге столбец разрешающим является при t .

 

- разрешающий  столбец  с =   при условиях:

 
ж) или    з)   или   и).

 

 

ж)

 

    =  

 

 

з)

 

    =система решений не имеет.

 

 

и)

 

 

 

= на втором шаге столбец является разрешающим при и при .

4.1) разрешающий столбец при t :

 Шаг первый:

						0	0	0	Оценка :
Б
	0	20	1		2	1	0	0	20
	0	42	2	0	1	0	1	0
	0	36	0	1	0	0	0	1	36
		0				0	0	0

Т.к.  = t -12 и =20, то разрешающим был выбран элемент (1;2)

и затем получим:

Шаг второй:

						0	0	0
Б
	12 – t	20	1	1	2	1	0	0
	0	42	2	0	1	0	1	0
	0	16	-1	0	-2	0	0	1
		240-20*t	10-2*t	0	18-3*t	0	0	0

10-2*t 0 и 18-3*t0  при t .

Т.к. все оценки строки (10-2*t;  0;  18-3*t; 0;  0; 0) - неотрицательные => данное решение оптимальное в задаче на максимум => 

= 240-20*t  при   = (0; 20; 0) для t .

 

4.2) разрешающий столбец при t =:

					5		9		9		0		0		0		Оценка :
Б
	0		10		0,5		0,5				0,5		0		0		10
	0		42		2		0		1		0		1		0		42
	0		36		0		1		0		0		0		1
			0		-5		-9		-9		0		0		0
																	Оценка :
Б
	9		10		0,5				1		0,5		0		0		20
	0		32		1,5		-0,5		0		-0,5		1		0		-
	0		36		0		1		0		0		0		1		36
			90		- 0,5		- 4,5		0		0,5		0		0
Б
		9		20		1		1		2		1		0		0
		0		42		2		0		1		0		1		0
		0		16		1		0		-2		-1		0		1
				180		4		0		9		9		0		0