Контрольная работа по "Эконометрике"

Оценочные показатели позволяют сделать вывод, что линейно-логарифмическая функция описывает изучаемую связь хуже, чем линейная модель: оценка тесноты выявленной связи ρ=0,8798 (сравните с 0,7741), скорректированная средняя ошибка аппроксимации здесь выше и составляет 37,32%, то есть возможности использования для прогноза данной модели более ограничены.

Заключительным этапом решения данной задачи является выполнение прогноза и его оценка.

Если прогнозное значение фактора составит 1,023 от среднего уровня, то есть Xпрогнозн.= 1,023*0,557=0,569, тогда прогнозное значение результата сформируется на уровне: Yпрогнозн. =39,565-1,491*0,569=38,715 (млрд. руб.).

Рассчитаем интегральную ошибку прогноза , которая формируется как сумма двух ошибок: из ошибки прогноза как результата отклонения прогноза от уравнения регрессии- и ошибки прогноза положения регрессии. То есть, .

В нашем случае , где k- число факторов в уравнении, которое  в данной задаче равно 1.

Ошибка положения регрессии  составит: = 0,012 (млрд. руб.).

Интегральная ошибка прогноза составит: = 5,976 (млрд. руб.).

Предельная ошибка прогноза, которая не будет превышена в 95% возможных реализаций прогноза, составит: = 2,26*5,976 = 13,506 ≈ 14,0 (млрд. руб.).

Табличное значение t-критерия для уровня значимости α=0,05 и для степеней свободы n-k-1 = 11-1-1=7 составит 2,26. Следовательно, ошибка большинства реализаций прогноза не превысит млрд. руб.

Это означает, что фактическая  реализация прогноза будет находиться в доверительном интервале . Верхняя  граница доверительного интервала составит

= 38,715 + 14,0 = 52,715(млрд. руб.).

Нижняя граница доверительного интервала составит: = 38,715 - 14,0 = 24,715(млрд. руб.).

Относительная величина различий значений верхней и нижней границ составит: = раза. Это означает, что верхняя граница в 2,13 раза больше нижней границы, то есть точность выполненного прогноза весьма невелика, но его надёжность на уровне 95% оценивается как высокая. Причиной небольшой точности прогноза является повышенная ошибка аппроксимации. Здесь её значение выходит за границу 5-7% из-за недостаточно высокой типичности линейной регрессии, которая проявляется в присутствии единиц с высокой индивидуальной ошибкой. Если удалить территории с предельно высокой ошибкой (например, Дагестан с ), тогда качество линейной модели и точность прогноза по ней заметно повысятся.

 

 

Задача № 2.

Производится анализ значений социально – экономических  показателей по территориям Северо-Западного федерального округа РФ за 2000 год.

У - Оборот розничной торговли, млрд. руб.;

Х 1– кредиты, предоставленные в 2000 году предприятиям, организациям, банкам и физическим лицам, млрд. руб.;

Х 2 – доля лиц с высшим и незаконченным высшим образованием среди занятых, %;

Х 3 – годовой доход всего населения, млрд. руб.

Требуется изучить влияние  указанных факторов на стоимость  валового регионального продукта.

Предварительный анализ исходных данных по 10 территориям выявил наличие двух территорию (г. Санкт-Петербург и Вологодская обл.) с аномальными значениями признаков. Эти территории должны быть исключены из дальнейшего анализа. Значения приводимых показателей рассчитаны без учёта указанных двух аномальных единиц.

При обработке исходных данных получены следующие значения:

  а) - линейных коэффициентов парной корреляции, средних и средних квадратических отклонений -σ:

N=8.

	У	Х1	Х2	Х3
У	1	0,2461	0,0117	0,9313
Х1	0,2461	1	0,8779	0,0123
Х2	0,8779	0,8897	1	-0,2041
Х3	0,9313	0,0123	-0,2041	1
Средняя	13,64	0,2134	22,29	24,69
σ	4,250	0,1596	2,520	9,628

 

Б)-коэффициентов частной  корреляции

	У	Х1	Х2	Х3
У	1	0,3134	-0,0388	0,9473
Х1	0,3734	1	0,8483	-0,2322
Х2	-0,0388	0,8483	1	-0,1070
Х3	0,9473	-0,2322	-0,1070	1

 

Задание:

1. По значениям линейных  коэффициентов парной и частной  корреляции выберите неколлинеарные  факторы и рассчитайте для  них коэффициенты частной корреляции. Произведите окончательный отбор информативных факторов во множественную регрессионную модель.

2. Выполните расчёт бета коэффициентов ( ) и постройте с их помощью уравнение множественной регрессии в стандартизованном масштабе. Проанализируйте с помощью бета коэффициентов ( ) силу связи каждого фактора с результатом и выявите сильно и слабо влияющие факторы.

3. По значениям  -коэффициентов рассчитайте параметры уравнения в естественной форме (то есть a1, a2, и a0). Проанализируйте их значения. Сравнительную оценку силы связи факторов дайте с помощью общих (средних) коэффициентов эластичности - .

4. Оцените тесноту  множественной связи с помощью  R и R2, а статистическую значимость уравнения и тесноту выявленной связи - через F-критерий Фишера (для уровня значимости а = 0,05).

5. Рассчитайте прогнозное  значение результата , предполагая,  что прогнозные значения факторов составят 108,5 процента от их среднего уровня.

6. Основные выводы оформите аналитической запиской

Решение:

1. Представленные в  условии задачи значения линейных  коэффициентов парной корреляции  позволяют установить, что оборот  розничной торговли -Y более тесно  связан с годовым доходом всего населения - (Х3) и с - долей лиц с высшим и незаконченным образованием среди занятых (Х2 ); наименее тесно результат Y связан с - кредитами, предоставленными в 2000 году предприятиям, организациям, банкам и физическим лицам. Поэтому, в силу небольшой информативности фактора ,, предполагаем, что его можно исключить из дальнейшего анализа. Проверим наши предположения с помощью анализа матрицы коэффициентов частной корреляции. Очевидно, что наиболее тесная связь результата Y с годовым доходом всего населения - (Х3 ) и с - о среднегодовой численностью населения (Х2 ) и наименее тесно результат Y связан с - кредитами, предоставленными в 2000 году предприятиям, организациям, банкам и физическим лицам. ( Х1). Поэтому для уточнения окончательного вывода выполним расчёт серии коэффициентов частной корреляции

В данном случае, межфакторное взаимодействие оценивается как заметное, а фактор слабо связан с результатом. Таким образом, первая из рассмотренных пар факторных признаков (X1 и X3 ) в большей мере отвечает требованиям, предъявляемым МНК к исходным данным и, в частности, к отсутствию межфакторного взаимодействия. Указанные обстоятельства позволяют использовать X1 и X3 в качестве информативных факторов уравнения множественной регрессии.

2. При построении двухфакторной регрессионной модели воспользуемся для упрощения расчётов методом стандартизованных переменных. В этом случае, исходное уравнение приобретает вид: . Выполним расчёт - коэффициентов, используя значения известных по условию линейных коэффициентов парной корреляции.

Параметры данного уравнения  представляют собой относительные  оценки силы влияния каждого из факторов на результат. При увеличении первого  фактора на одну сигму - (от своей  средней) оборот розничной торговли увеличивается на 0,235 своей сигмы; с увеличением второго фактора на результат увеличивается на 0,928 . В данном случае, увеличение розничного товарооборота происходит, прежде всего, под влиянием третьего фактора и в меньшей степени – в результате увеличения первого фактора.

3.По значениям коэффициентов регрессии можно судить о том, на какую абсолютную величину изменяется результат при изменении каждого фактора на единицу (от своей средней).

С увеличением первого  фактора на 1 единицу результат  увеличивается на 6,258 млрд. руб., с  увеличением третьего фактора на 1 единицу увеличивается на 0,409 млрд. руб.

Но так как признаки-факторы  измеряются в разных единицах, сравнивать значения их коэффициентов регрессии  не следует. Точную оценку силы связи  факторов с результатом дают коэффициенты эластичности и β - коэффициенты.

4. Для сравнительной  оценки силы связи выполним  расчёт средних коэффициентов  эластичности. С их помощью можно  определить, на сколько процентов  изменяется результат при изменении  фактора на 1% (от своего среднего  значения). В нашем случае, расчёт показал, что первого фактора на розничный товарооборот оказалось менее сильным по сравнению с влиянием третьего фактора: с ростом первого фактора на 1% розничный товарооборот увеличивается на 0,098%, а при увеличении третьего фактора на 1% розничный товарооборот уменьшается на 0,74%. Различия в силе влияния весьма значительны: первый фактор влияет на результат в семь с лишним раз слабее, чем третий. Поэтому регулирование величины розничного товарооборота через третий фактор будет более результативным, чем через первый.

6. Тесноту выявленной зависимости розничного товарооборота от инвестиций в экономику региона и от численности населения оценивают множественный коэффициент корреляции и детерминации. Расчёт коэффициента корреляции выполним, используя известные значения линейных коэффициентов парной корреляции и β – коэффициентов: Как показали расчёты, установлена весьма тесная зависимость розничного товарооборота от первого и третьего фактора. Это означает, что 92,2% вариации розничного товарооборота определены вариацией данных факторов. Оставшиеся 7,8% вариации результата сформировались под влиянием прочих причин, роль которых незначительна.

7. Оценка статистической  значимости или надёжности установленной  формы зависимости, её параметров, оценок её силы и тесноты является важным этапом анализа результатов. Для выполнения оценки формулируется нулевая гипотеза, которая рассматривает предположение о случайной природе полученных результатов. То есть, .

Для проверки выдвинутой нулевой гипотезы используется F-критерия Фишера. Его фактическое значение определяется, исходя из соотношения факторной и остаточной дисперсий и их степеней свободы: d.f.1=k и d.f.2=n-k-1; где: n –число изучаемых единиц; k – число ограничений, которые накладываются на исходные данные при расчёте данного показателя. Здесь k равно числу факторов уравнения, то есть k=2.

Фактическое значение критерия показывает, что детерминация, сформированная под воздействием двух изучаемых  факторов, почти в 30 раз больше, чем  детерминация, связанная с действием прочих причин. Очевидно, что подобное соотношение случайно сформироваться не может, а является результатом влияния существенных, систематических факторов.

Для принятия обоснованного  решения Fфактич. сравнивается с Fтабличн., которое формируется случайно и зависит степеней свободы факторной (d.f.1 = k) и остаточной (d.f.2 = n-k-1) дисперсий, а также от уровня значимости α=0,05. В нашем примере, где d.f.1=k= 2 и d.f.2=n-k-1 = 8-2-1=5 при α=0,05 Fтабл = 5,79. В силу того, что Fфактич =29,551> Fтабл. = 5,79, можно с высокой степенью надёжности отклонить нулевую гипотезу, а в качестве альтернативы – согласиться с утверждением, что проверяемые параметры множественной регрессионной модели неслучайны, что коэффициенты уравнения и показатели тесноты связи не являются случайными величинами.

8. Техническая часть  прогнозных расчётов по уравнению  множественной регрессии сравнительно  проста. Достаточно определить прогнозные  значения каждого факторного  признака , подставить их в уравнение  и выполнить с ними расчёт прогнозного значения результата - . При этом следует помнить, что требования к точности и надёжности прогноза предъявляют к используемой модели повышенные требования.

Если кредиты, предоставленные  в 2000 году предприятиям, организациям, банкам и физическим лицам возрастут до 0,232 млрд. руб., а годовой доход всего населения составит 26,789 млрд. руб., тогда следует ожидать, что розничный товарооборот возрастёт до 14,615 млрд. руб., то есть увеличится на 7,2% от своего среднего уровня.

 

Задача 3.

Для проверки рабочих гипотез (№1 и №2) о связи социально-экономических показателей в регионе используется статистическая информация за 2000 год по территориям Центрального федерального округа.

У1 –среднегодовая стоимость основных фондов в экономике, млрд. руб.;

Y2 – стоимость валового  регионального продукта, млрд. руб.;

Х1 – Инвестиции прошлого, 1999, года в основной капитал, млрд. руб.;

Х2 – кредиты прошлого, 1999, года, предоставленные предприятиям, организациям, банкам и физическим лицам, млрд. руб.;

Х3 - среднегодовая численность занятых в экономике, млн. чел.

Предварительный анализ исходных данных по 18 территориям выявил наличие трёх территорий (г. Москва, Московская обл., Воронежская обл.) с  аномальными значениями признаков. Эти единицы должны быть исключены из дальнейшего анализа. Значения приводимых показателей рассчитаны без учёта указанных аномальных единиц.

Рабочие гипотезы:

При обработке исходных данных получены следующие значения линейных коэффициентов парной корреляции, средних и средних квадратических отклонений -σ:       N=15.