Моделирование и прогнозирование экономических процессов

 

 

Получаем новую симплекс-таблицу:

.........................

Конец итераций: индексная строка не содержит отрицательных элементов - найден оптимальный план

Окончательный вариант симплекс-таблицы:

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9
x5	51/3	0	12/3	11/3	0	1	11/3	0	-1/3	1
x4	81/3	0	-1/3	11/3	1	0	51/3	1	-1/3	0
x1	2/3	1	1/3	-11/3	0	0	2/3	0	1/3	0
F(X7)	141/3	0	22/3	1/3	0	0	81/3	1+M	-1/3+M	1+M

 

Так как в оптимальном решении отсутствуют искусственные переменные (они равны нулю), то данное решение является допустимым.

Оптимальный план можно записать так:

x5 = 51/3

x4 = 81/3

x1 = 2/3

F(X) = 1•51/3 + 1•81/3 + 1•2/3 = 141/3

 

 

Задание №10

Ресурсы	Расход ресурсов на одно изделие
	Шкаф-купе	Стенка	Спальный гарнитур
Оборудование	2	3	4
Сырье	1	4	5
Электроэнергия	2	3	4

 

На плановые 90 шкафов-купе уйдет 180 ед. оборудования, 90 сырья, 180 электроэнергии.

На 70 стенок: 210\280\210 об.\сырья\электр.

На 60 гарнитуров: 240\300\240 об.\сырья\электр.

Всего: 630\670\630 из 800\910\790.

На сверхплан остается170\240\160

Ресурсы	Расход ресурсов на одно изделие			Наличие ресурсов
	Шкаф-купе	Стенка	Спальный гарнитур
Оборудование	2	3	4	170
Сырье	1	4	5	240
Электроэнергия	2	3	4	160
Цена	11	17	25

Обозначим число выпускаемых шкафов через x1, стенок x2, гарнитуров x3.

Получаем систему

2x1 + 3x2 + 4x3 ≤ 170

1x1 + 4x2 + 5x3 ≤ 240

2x1 + 3x2 + 4x3 ≤ 160

11x1 + 17x2 + 25x3 -> max

 

Упростим её до

1x1 + 4x2 + 5x3 ≤ 240

2x1 + 3x2 + 4x3 ≤ 160

11x1 + 17x2 + 25x3 -> max

 

Решим прямую задачу линейного программирования   симплексным методом, с использованием симплексной таблицы.

Определим максимальное значение целевой функции F(X) = 11x1 + 17x2 + 25x3 при следующих условиях-ограничений.

x1 + 4x2 + 5x3≤240

2x1 + 3x2 + 4x3≤160

Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).

1x1 + 4x2 + 5x3 + 1x4 + 0x5 = 240

2x1 + 3x2 + 4x3 + 0x4 + 1x5 = 160

Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:

 

Решим систему уравнений относительно базисных переменных:

x4, x5,

Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:

X1 = (0,0,0,240,160)

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5
x4	240	1	4	5	1	0
x5	160	2	3	4	0	1
F(X0)	0	-11	-17	-25	0	0

 

Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.

Итерация №0.

Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.

В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x3, так как это наибольший коэффициент по модулю.

Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai3

и из них выберем наименьшее:

...........................

Следовательно, 2-ая строка является ведущей.

Разрешающий элемент равен (4) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	min
x4	240	1	4	5	1	0	48
x5	160	2	3	4	0	1	40
F(X1)	0	-11	-17	-25	0	0	0

 

 

Получаем новую симплекс-таблицу:

.........................

Конец итераций: индексная строка не содержит отрицательных элементов - найден оптимальный план

Окончательный вариант симплекс-таблицы:

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5
x4	40	-11/2	1/4	0	1	-11/4
x3	40	1/2	3/4	1	0	1/4
F(X2)	1000	11/2	13/4	0	0	61/4

 

Оптимальный план можно записать так:

x3 = 40

F(X) = 25•40 = 1000

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание №11

А – 57  Б – 82  В – 101

Разрез	А-частей	Б-частей	В-частей	Полезная длина	Отрез
ААА	3	0	0	171	29
ААБ	2	1	0	196	4
АВ	1	0	1	158	42
ББ	0	2	0	164	36
БВ	0	1	1	187	13
Надо	200	200	250		min

 

Легко видеть, что два ААБ использовать выгоднее, чем ААА: 8 < 29

Сокращаем таблицу до

Разрез	А-частей	Б-частей	В-частей	Полезная длина	Отрез
ААБ	2	1	0	196	4
АВ	1	0	1	158	42
ББ	0	2	0	164	36
БВ	0	1	1	187	13
Надо	200	200	250		min

Далее, БВ и ААБ выгоднее, чем АВ: 17 < 42. Сокращаем таблицу до

Разрез	А-частей	Б-частей	В-частей	Полезная длина	Отрез
ААБ	2	1	0	196	4
ББ	0	2	0	164	36
БВ	0	1	1	187	13
Надо	200	200	250		min

Два ААБ выгоднее, чем ББ: 8 < 36 Сокращаем таблицу до

Разрез	А-частей	Б-частей	В-частей	Полезная длина	Отрез
ААБ	2	1	0	196	4
БВ	0	1	1	187	13
Надо	200	200	250		min

 

Легко видеть, что требуется минимум 100 ААБ и 250 БВ. В сумме мы получаем

А = 200, Б = 350, В = 250. Значит, минимум является достаточным.  Бесполезный отрез: 400 + 250*13 = 3000 + 250 + 400 = 3650

Ответ: 100 ААБ разрезов, 250 БВ разрезов. Бесполезный отрез: 3650.

 

 

 

 

 

 

Задание № 12

Для начала обратим внимание, что как бы мы ни закупались, на необходимые деньги всю площадь не заполнишь: 10 компьютеров Б занимают 60 м2 из 72 доступных, купить больше нельзя из-за финансовых ограничений. При этом компьютеры А компактнее компьютеров Б. Значит, при расчетах на площадь не обращаем внимания. Остаются лишь показатели быстродействия и цены.

Компьютер	Быстродействие	Цена
А	800	5000
Б	200	2000

    Отношение быстродействие/цена  выше у компьютеров А, но они  ограничены по закупке. Фактически, мы стоим перед выбором: купить  конфигурацию ААБББББ  (1600+1000 млн.оп.) либо конфигурацию АААББ (2400 + 400). На большее не хватит денег. Вывод очевиден: берем конфигурацию АААББ, 2800 млн.оп. в секунду, 19000у.е., 27 м2

 

Задание №13

Обратим внимание, что фактическое ограничение по площади – 36 квадратных метров (оборудование любого типа требует метраж, делящийся на три).

6 станков А вмещаются  в 36 квадратов, дают 42000 заготовок и  стоят 18000у.е.

Два станка Б занимают столько же площади, сколько один А, дают на 1000 заготовок больше и стоят на 1000 у.е. больше. Оставаясь на пределе площади, будем заменять станки А на ББ. После трех замен мы упремся в потолок цены, оставшись у потолка площади. Далее быстродействие не повысишь, значит,  итоговый результат 45000 заготовок.

 

Проверим симплекс-методом.

6x1 + 3x2 ≤ 36

3000 x1 + 2000 x2 ≤ 21000

7000 x1 + 4000 x2 -> max

 

Уменьшим значения