Применение функций в экономике

График функции  , а также графики функций вида  , называются гиперболами.  

Функция вида , где a, b, c, d – некоторые постоянные, называется дробно-линейной функцией.

Если  и  , то эта функция преобразуется к линейной зависимости  , графиком которой является прямая линия.

Если  , но , то выполняется пропорция   откуда следует, что  на всей числовой оси за исключением .

Графиком является прямая, параллельная оси абсцисс, с  выколотой точкой .

 

§1.7. Непрерывность функции

 

Для рассмотрения такого свойства функции, как непрерывность, необходимо ввести понятие предела.

Пусть функция  определена на некотором множестве . Возьмем из бесконечную последовательность точек ,, …, ,… сходящуюся к точке , причем или . Соответствующие значения функции в точках этой последовательности также образуют числовую последовательность

,, …, , …

Рассмотрим вопрос о сходимости данной последовательности.

Определение. Число называется пределом функции в точке (или пределом функции при ), если для любой сходящейся к последовательности ,, …, ,… значений аргумента , отличных от , соответствующая последовательность значений функции ,, …, , … сходится к числу .

Для обозначения  предельного значения функции используется следующая символика:

или .

Функция может иметь в точке только одно предельное значение, поскольку последовательность {} имеет только один предел.

Понятие непрерывности  функции является фундаментальным в математике. Сформулируем его на языке последовательностей. Пусть функция определена в некоторое окрестности точки .

Определение. Функция называется непрерывной в точке , если предел этой функции при равен ее значению в этой точке:

 

Действия над  непрерывными в точке функциями определяются следующей фундаментальной теоремой.

Теорема. Пусть функции и непрерывны в точке . Тогда функции , и также непрерывны в точке (частное при условии .

Постоянная функция  является непрерывной в любой точке числовой прямой. Действительно, , что соответствует определению непрерывности функции в точке.

Из сказанного ранее  и теоремы следует, что в любой точке числовой прямой функции ( – натуральное число) непрерывны.

Алгебраический  многочлен

 

также является непрерывной  функцией в любой точке числовой прямой в силу теоремы, поскольку представляет собой сумму произведений непрерывных функций.

В силу теоремы дробно-рациональная функция

,

где и – алгебраические многочлены, непрерывна во всех точках числовой прямой за исключением корней знаменателя.

 

 

§1.8. Применение функций в экономике

 

После изучения понятия  функции и основных ее свойств  перейдем к рассмотрению практического  применения функций в экономике.

Возможности любого производства отражаются характером зависимости  между объемом выпускаемой продукции  и соответствующими ему затратами  сырья, полуфабрикатов, энергии, капиталовложений, труда и т.д. Всевозможные виды затрат называются факторами производства или ресурсами. Факторы производства имеют различные измерения (тонны, метры, киловатт-часы и др.). Общей  единицей измерения всех ресурсов может  служить рубль или другая денежная единица. Поэтому удобно иметь дело со стоимостным выражением как факторов производства, так и выпускаемой  в результате их использования продукции.

Определение. Функцию, выражающую зависимость между стоимостью выпускаемой продукции и стоимостью суммарных затрат на ее производство, называют однофакторной производственной функцией.

Функция, в которой  роль независимой переменной играют затраты, а зависимая переменна  определяет уровень выпуска, называется функцией выпуска. В функции затрат, наоборот, независимая переменная – выпуск, а зависимая – затраты.

Пример 1. Если затраты  прямо пропорциональны объему выпуска  , то функция затрат имеет вид

.

С помощью однофакторных  производственных функций описывается  также зависимость объема выпускаемой  продукции от затрат некоторого специфического вида ресурса (трудовые ресурсы, основные производственные фонды, объем капиталовложений, различные виды сырья и др.). При  этом затраты всех других участвующих  в производстве ресурсов считаются  постоянными.

Пример 2. С помощью  функции вида

можно охарактеризовать зависимость урожайности  некоторой сельскохозяйственной культуры от количества внесенных удобрений.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При отсутствии удобрений  урожайность составляет единиц. С увеличением объема используемых удобрений урожай сначала возрастает и при достигает наибольшего значения.

Дальнейшее наращивание  затрат удобрений оказывается неразумным, так как приводит к снижению урожая и даже полной его потере при .

Пример 3. Гиперболическая  зависимость

применяется, например, для моделирования зависимости  затрат на единицу выпускаемой продукции от объема производства .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Величина  уменьшается с увеличением , это означает, что с увеличением объема производства доля затрат неограниченно убывает.

При большом объеме производства () удельные затраты лишь незначительно отличаются от ().

Пример 4. Экспоненциальная производственная функция

используется, например, для исследования динамики изменения  объема производств с течением времени .

В начальный момент времени  объем производства . Крутизна кривой зависит от  коэффициентов .

Зависимость имеет место и в следующей ситуации. Если на банковский счет кладется сумма , то через лет на счете будет сумма , если банк выплачивает % годовых.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 5. Показательная  функция

может моделировать влияние затрат переменного ресурса  на выпуск продукции, если уровень выпуска не может быть больше некоторой предельной величины . Так как , то с ростом неограниченно убывает, а возрастает. Если , то . При выпуск равен :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 6. Степенная  производственная функция

обычно описывает  ситуации, в которых рост затрат некоторого ресурса ведет к неограниченному увеличению выпуска . Насколько быстро растет зависит от величины параметров :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§1.9.  Производная функции

 

Пусть функция определена на некотором промежутке . Придадим значению аргумента в точке произвольное приращение так, чтобы точка также принадлежала . Тогда соответствующее приращение функции составит .

Определение. Производной  функции  в точке называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при (если этот предел существует).

Для обозначения  производной функции  употребляют символы или :

 

Если в некоторой  точке  данный предел бесконечен, то говорят, что в точке функция имеет бесконечную производную.

Если функция  имеет производную в каждой точке множества , то производная : также является функцией от аргумента , определенной на .

 

§1.10. Экономический смысл производной. Использование понятия производной в экономике

 

В данном параграфе  мы рассмотрим экономический смысл  производной на примерах. 

Пусть функция  выражает количество произведенной продукции за время . Необходимо найти производительность труда в момент времени .

За период времени  от до количество произведенной продукции изменится от значения до значения . Тогда средняя производительность труда за этот период времени равна . Очевидно, что производительность труда в момент времени можно определить как предельное значение средней производительности за период времени от до при , т.е. равна .

Экономический смысл  производной: производительность труда  есть производная объема произведенной  продукции по времени.

Производная логарифмической  функции  называется логарифмической производной, а так же относительной скоростью изменения функции или темпом изменения функции.

Пример. Объем продукции  , произведенной бригадой рабочих, может быть описан уравнением , , где - рабочее время в часах. Вычислить производительность труда, скорость и темп ее изменения через час после начала работы и за час до ее окончания.

Производительность  труда выражается производной

,

а скорость и темп изменения производительности –  соответственно производной  и логарифмической производной

В заданные моменты  времени 

соответственно имеем:

Итак, к концу  работы производительность труда существенно  снижается; при этом изменение знака  и логарифмической производной с плюса на минус свидетельствует о том, что увеличение производительности труда в первые часы рабочего дня сменяется её снижением в последние часы.

Рассмотрим еще  одно понятие, иллюстрирующее экономический  смысл производной.

Обозначим через  объем производства некоторой продукции, через - суммарные затраты или издержки производства. Производственная функция (функция затрат) описывает зависимость издержек производства от объема выпускаемой продукции:

.

Если объем производства увеличится на единиц, то затраты возрастут на единиц.

Среднее приращение издержек выражается отношением .

Под предельными  издержками производства понимают предел среднего приращения издержек при безграничном уменьшении , т.е.

.

Данный предел выражает дополнительные затраты на производство продукции при увеличении объема производства на малую единицу, если исходный объем производства составляет единиц.

Экономический смысл  производной в данной точке: производная  выражает предельные издержки производства при данном объеме и характеризует приблизительно дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции.

Пример. Допустим, функция  затрат имеет вид:

.

Определим предельные издержки производства при данном объеме выпуска  .

Решение. , тогда .

Видим, что  и, вообще, , если . То есть с увеличением объема производства предельные издержки (дополнительные затраты на следующую за -овой малую единицу выпуска) убывают.

Увеличение выпуска  на малую единицу требует все  меньших дополнительных затрат.

Пример. Пусть зависимость  спроса на товар от цены на него выражается формулой . Определим скорость изменения спроса, когда цена на товар составляет 1 ден.ед., 4 ден. ед.

Решение. Скорость изменения любой функции равна  ее производной. В данном случае

.

Отсюда  .

Знак «минус» показывает, что с увеличением цены спрос на товар падает.

 

 

 

 

 

Глава 2. Функции нескольких переменных

 

§1.1. Основные понятия

 

Пусть имеется  переменная ,, …, , которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных ,, …, соответствует единственное значение переменной .  Тогда говорят, что задана функция от переменных. Число , поставленное в соответствие набору ,, …, называется значением функции в точке (,, …, ), что записывается в виде формулы

,, …, .

Переменные ,, …, являются аргументами этой функции, а переменная - функцией от переменных.

Далее будем говорить лишь о функции двух переменных.  Для функций большего числа переменных все факты, о которых будет идти речь, или аналогичны или сохраняются без всякого изменения.  Аргументы функции двух переменных обозначаются, как правило, и , а значение функции – .

Будем говорить, что  задана функция двух переменных, если любой паре чисел    из некоторого множества упорядоченных пар чисел поставлено в соответствие единственное число, которое обозначается и называется значением функции в точке .