Применение функций в экономике

Множество называется областью определения функции.

Поскольку любую  пару чисел  можно рассматривать как пару координат точки на плоскости, вместо   можно писать . При этом аргументами функции будут координаты точки .

Числа можно рассматривать как координаты вектора , исходящего из начала координат и с концом в точке .  Тогда функция двух переменных будет функцией вектора, что записывается в виде формулы , причем аргументами функции являются координаты вектора .

График функции  двух переменных есть множество точек , где . График представляет собой некоторую поверхность. Пример такой поверхности приводится на рисунке:

Пусть в плоскости  заданы две точки: и . Расстояние между этими точками рассчитывается по формуле:

.

Пусть – некоторое положительное число.  -окрестностью точки называется множество всех точек, координаты которых удовлетворяют неравенствам

.

Очевидно, что -окрестность точки представляет собой круг радиуса с выколотым центром.

Точка называется точкой минимума функции ,  если существует такое положительное число , что из условия следует .

Точка называется точкой максимума функции ,  если существует такое положительное число ,  что из условия следует: .

Точки минимума и  максимума называются точками экстремума.

Число называется пределом функции в точке

,

если для произвольного  числа  найдется такое число , что для всех точек из -окрестности точки выполняется неравенство

 

Функция называется непрерывной в точке , если

.

Два последних определения  фактически повторяют определения  предела и непрерывности в точке для функции одной переменной.

 
§1.2. Функции нескольких переменных в экономической теории

 

Рассмотрим применение функций нескольких переменных в  экономике.

Определение. Функция  независимых переменных, устанавливающая зависимость между затратами производственных ресурсов и объемом выпускаемой продукции, называется -факторной производственной функцией – ПФ (функцией выпуска)

.

Если данная формула выражает зависимость объема выпускаемой данным предприятием продукции от затрат ресурсов , запасы которых ограничены, то, очевидно, допустимыми можно считать значения , удовлетворяющие следующей системе неравенств:

где – запасы i-го ресурса (в стоимостном или натуральном выражении).

Не нарушая общности рассуждений, в дальнейшем будем  рассматривать лишь функции двух независимых переменных.

При моделировании  экономики страны в качестве основных ресурсов используют затраты труда  и объём производственных фондов . Национальный доход выступает в роли результата деятельности экономики:

.

В математических моделях  функционирования  отдельного предприятия, цеха, участка и т.д. обозначает объем выпускаемой данным экономическим объектом продукции.

Формальные свойства производственных функций

Производственная  функция ,) определена при , . ПФ должна удовлетворять ряду (для каждой конкретной ПФ – своему) свойств:

1. ;

;

2. ;

3. ;

;

4. .

Свойство 1 означает, что без ресурсов нет выпуска, что при отсутствии хотя бы одного из ресурсов нет выпуска.

Свойство 2 означает, что с ростом затрат хотя бы одного ресурса объем выпуска растет, и что с ростом затрат одного ресурса  при неизменном количестве другого  ресурса объем выпуска растет.

Свойство 3 означает что с ростом затрат одного (i-го) ресурса при неизменном количестве другого ресурса величина прироста выпуска на каждую дополнительную единицу i-го ресурса не растет (закон убывающей  эффективности), при росте одного ресурса предельная эффективность  другого ресурса возрастает. Если выполнены условия 3, то график Г  ПФ есть поверхность, расположенная  в неотрицательном ортанте  трехмерного пространства О и выпуклая вверх. Вообще геометрический образ ПФ должен прежде всего ассоциироваться с выпуклой горкой, крутизна которой убывает, если точка уходит в плоскости О на «северо-восток».

Свойство 4 означает, что ПФ является однородной функцией (ОФ) степени p>0. При p>1 с ростом масштаба производства в t раз (число t>1), т.е. с  переходом от вектора х к вектору tx, объем выпуска возрастает в tp (>t) раз, т.е. имеет рост эффективности  производства от роста масштаба производства. При p<1 имеем падание эффективности  производства от роста масштаба производства. При p=1 имеем постоянную эффективность  производства при росте его масштаба (или имеем независимость удельного  выпуска от масштаба производства –  в английской терминологии constant returns to scale).

Для ПФКД свойства 1-4 выполняются.

Для ЛПФ  свойства 1 (при ) и свойство 4 не выполняются.

Множество (линия) lq уровня (0<q – действительное число) ПФ называется изоквантой ПФ. Иными словами, линия уровня q – это множество точек, в котором ПФ постоянна и равна q.

Различные наборы и затрачиваемых (используемых) ресурсов, принадлежащие одной и той же изокванте lq (т.е. ), дают один и тот же объем выпуска q. Изокванта есть линия, расположенная в неотрицательном ортанте двумерной плоскости О.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

 

Подведем итоги  курсовой работы.

Цель курсовой работы выполнена – было рассмотрено  понятие функции и изучены основные свойства функции в применении к задачам экономики. На конкретных задачах и примерах рассмотрено применение математических функций.

По итогам работы можно сделать вывод, что наиболее часто используются в экономике  следующие функции:

1. Функция полезности – в широком смысле зависимость полезности, т.е. результата, эффекта некоторого действия от уровня (интенсивности) этого действия.
2. Производственная функция – зависимость результата производственной деятельности от обусловивших его факторов.
3. Функция выпуска (частный вид производственной функции) – зависимость объемов производства от наличия или потребления ресурсов.
4. Функция издержек (частный вид производственной функции) – зависимость издержек производства от объема продукции.
5. Функция спроса, потребления и предложения – зависимость объема спроса, потребления или предложения на отдельные товары или услуги от различных факторов (например, цены, дохода и т.п.).

Учитывая, что экономические  явления и процессы обусловливаются  действием различных факторов, для их исследований широко используются функции нескольких переменных.

Математика как  основа теории принятия решений широко применяется для управления (планирования, прогнозирования, контроля) экономическими объектами и процессами. Например, прогнозы социально-экономического развития РФ, разрабатываемые МЭРТ, основаны на математическом анализе ретроспективных показателей (динамики инфляции, ВВП и т. д.) и строятся с применением таких разделов эконометрики и прикладной статистики, как корреляционный анализ, регрессионный анализ, метод главных компонент, факторный анализ и т. д.

Новым направлением в современной экономической  науке является реализация так называемого  экономического эксперимента, суть которого заключается в математическом моделировании  экономических ситуаций с учётом психологического фактора (ожиданий участников рынка).

Не следует забывать и о том, что экономическая  система – не застывшая, статичная совокупность элементов, а развивающийся, меняющийся под действием внешних и внутренних факторов механизм. При этом возникает ситуация, когда решения, принятые раньше,  детерминируют частично или полностью решения, принятые позднее.

Таким образом, легко  заметить, что экономические задачи, решаемые математическими методами,  имеют  специфику,  определяемую особенностями экономических систем, как более высоких форм движения по сравнению с техническими или  биологическими системами. Эти особенности  экономических систем сделали недостаточными те  математические методы, которые  выросли из потребностей  других  наук. То есть потребовался новый математический аппарат, причем не столько более сложный, сколько просто учитывающий особенности экономических систем на базе уже существующих математических методов.

Кроме того, экономические  системы развиваются и  усложняются  сами, изменяется их структура, а иногда и содержание, обусловленное научно-техническим  прогрессом. Это делает устаревшими  многие методы, применявшиеся ранее, или требует их  корректировки.  В то же время научно-технический  прогресс влияет и на сами  математические методы, поскольку появление и  усовершенствование электронно-вычислительных машин сделало возможным широкое использование методов, ранее описанных лишь теоретически, или  применявшихся лишь для небольших прикладных задач.

На развитие и  применение  математических  методов  огромное влияние оказало и еще  окажет развитие вычислительной техники. Вычислительная техника последних  поколений уже позволила на практике применить множество методов, описанных  ранее лишь теоретически или на простейших примерах.  Кроме всего прочего  развитие  систем компьютерной обработки, накопления и хранения информации создает  новую, весьма обширную информационную базу, которая  возможно послужит толчком  к созданию новых, ранее неизвестных  математических методов поиска и  принятия решений.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список  использованной литературы

 

1. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман: Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. М.: ЮНИТИ, 2004.
2. Высшая математика. Общий курс / Под ред. А.И. Яблонского. – Минск: Высшая школа, 1993.
3. Гильмутдинов Р.З. Математические методы в экономике. Методические указания, Уфа: УИКиП, 2006.
4. Замков О.О., Черемных Ю.А., Тостопятенко А.В. Математические методы в экономике. – М.: МГУ, 2001.
5. Зорич В.А. Математический анализ. Часть 1. М.: ФАЗИС, 1997.
6. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа: В 2 ч. – М.: Наука. – Ч.1, 1993.
7. Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория / Пер. с англ. Г.И. Жуковой, Ф.Я. Кельмана. – М.: Айрис-пресс, 2002.
8. Исследование операций в экономике / Под ред. Н.Ш.Кремера. – М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997.
9. Карасев А.И., Аксютина З.М., Савельева Т.И. Курс высшей математики для экономических вузов. – М.: Высшая школа, 1992.
10. Колесников А.Н. Краткий курс математики для экономистов. – М.: Инфра-М, 1997.
11. Коршунова Н.И., Плясунов В.С. Математика в экономике. М.: Вита-Пресс, 1996.
12. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Математика для экономистов – СПб.: Питер, 2006.
13. Лопатников Л.И. Краткий экономико-математический словарь. – М.: Наука, 1998.
14. Малугин В.А. Математика для экономистов: Математический анализ. Курс лекций. – М.: Эксмо, 2005.
15. Руководство к решению задач с экономическим содержанием по курсу высшей математики. / Под ред. А.И. Карасева и Н.Ш. Кремера. – М.: Экономическое образование, 1989.
16. Самуэльсон П. Экономика. Пер. с англ. – М.: НПО Алгон, ВНИИСИ, 1992.
17. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В., Шандра И.Г. Математика в экономике: Учебник: В 2-х ч. Ч.1 – М.: Финансы и статистика, 2000.