Производственная функция

 

Рис. 5. Примеры карт изоквант

Производственная функция, зависящая  от двух аргументов, имеет довольно наглядное представление и сравнительно проста для расчетов. Нужно заметить, что в экономике используются производственные функции различных  объектов - предприятия, отрасли, национального и мирового хозяйства. Чаще всего это функции вида (3); иногда добавляют третий аргумент - затраты природных ресурсов (N):

q = f(L, K, N).

Это имеет смысл, если количество природных ресурсов, вовлекаемых  в производственную деятельность, является переменным.

В прикладных расчетах требования практической вычислимости заставляют ограничиться небольшим числом факторов, и эти  факторы рассматриваются укрупненно - "труд" без подразделения по профессиям и квалификации, "капитал" без учета его конкретного состава. При теоретическом анализе производства можно отвлечься от трудностей практической вычислимости.

Теоретический подход требует каждый вид ресурса считать абсолютно  однородным. Сырье различных сортов должно рассматриваться как различные виды ресурсов, точно так же, как машины различных марок или труд, различающийся по профессиональному и квалификационному признакам. Таким образом, используемая в теории производственная функция - это функция большого числа аргументов:

q = f(x1, x2, ..., xn).

(4)

Такой же подход применялся и в теории потребления, где число  видов потребляемых благ никак не ограничивалось.

Все, что было ранее сказано о  производственной функции двух аргументов, может быть перенесено и на функцию  вида (4), разумеется, с оговорками, касающимися размерности. Изокванты функции (4) - это не плоские кривые, а n-мерные поверхности. Тем не менее мы и в дальнейшем будем пользоваться "плоскими изоквантами" - и в иллюстративных целях, и как удобным средством анализа в случаях, когда затраты двух ресурсов являются переменными, а остальных считаются фиксированными.

1.1. Свойства производственных  функций

 

Рассмотрим некоторые наиболее общие свойства производственных функций  на примере функции выпуска с  одним продуктом и несколькими  ресурсами. Считая, что параметры функции уже определены и их влияние нас не интересует, производственную функцию можно представить следующим образом:

       (1.7)

Первое свойство.

При отсутствии хотя бы одного ресурса  выпуск продукции не возможен:

=0     (1.8)

Это свойство означает, что каждый ресурс необходим хотя бы в малых  количествах, полное отсутствие некоторого ресурса не может быть компенсировано другими. Вообще говоря, это свойство обязательно только для трудовых и ряда других, действительно незаменимых ресурсов (пряжа– при изготовлении трикотажа, семян–при выращивании зерна).

Второе  свойство.

При увеличении затрат производственных ресурсов выпуск продукции не уменьшается, т.е. если

 (1.9)

Это свойство справедливо  для любого фактора производства.

Предположим, что фактор – переменный, а остальные– постоянные. Для того чтобы отразить влияние переменного фактора на производство вводится понятие совокупного (общего), среднего и предельного продукта.

Совокупный продукт–это  количество экономического блага, произведенное  с использованием некоторого количества переменного фактора: .

Кривые, показывающие изменение  совокупного продукта в зависимости от изменения переменного фактора называются кривыми затраты – выпуск.

Чем большее количество постоянных факторов используется, тем  выше идет кривая затраты – выпуск.

Предельный продукт. Величина называется предельной производительностью (эффективностью) использовании i–го ресурса (предельный продукт)

Если функция  дифференцируема, то показатель предельной эффективности МР определяется как частная производная по ресурсу: . Предельная эффективность характеризует отношение прироста выпуска продукции к малому приросту производственного ресурса или. Она показывает, сколько дополнительных единиц продукции приносит дополнительная единица i-го ресурса.

Величина предельной эффективности  зависит от точки Xi , в которой берется производная. Она равняется тангенсу угла наклона касательной  к кривой затраты–выпуск в этой точке.

Свойство (2) для дифференцируемой функции может быть записано:

         (1.10)

(т.е. производственная функция – неубывающая функция, поэтому производная не отрицательна). Заметим, что свойство (2), являющееся на первый взгляд очевидным, выполняется не всегда: например, при увеличении количества удобрений, приходящихся на единицу площади, производство зерна сначала возрастает, а затем начинает убывать.

В этом случае применяют  производственные функции, не удовлетворяющие  соотношению (4.4). Для таких функций  вводится понятие экономической  области, т.е. множество таких сочетаний  ресурсов, для которых соотношение (4.4) выполняется. Использование ресурсов, в сочетаниях не попадающих в экономическую область, бессмысленно с экономической точки зрения. Для функций, имеющих непрерывные производные, границами экономической области являются поверхности, определяемые соотношением:

Помимо показателя предельной эффективности, для характеристики влияния использования ресурса  на выпуск применяется показатель средней  эффективности:

         (1.11)

Он показывает среднее  количество продукции, приходящееся на единицу i-го ресурса. Показатели средней и предельной эффективности характеризуют абсолютный прирост продукции. Наряду с исчислением абсолютного прироста продукции представляет интерес определение показателя, характеризующего относительный прирост объема производства на единицу относительного увеличения ресурса. Этот показатель обозначается и называется эластичностью выпуска по затратам i-го ресурса. Он равняется отношению предельной эффективности к средней:

=        (1.12)

При анализе эффективности  использования ресурсов часто интересует вопрос о том, на сколько % возрастает объем продукции при увеличении затрат ресурсов на 1%. Легко показать, что эластичность выпуска по затратам ресурса близка к этой величине:

;         (1.13)

Поделим (1.13)  на F:

    (1.14)

3. Третье свойство. Закон  убывающей предельной производительности  (закон падающей эффективности).

По мере увеличения количества одного ресурса при постоянных количествах других ресурсов предельная эффективность (производительность) этого ресурса не возрастает, т.е. возрастание использования одного из факторов при фиксированных остальных приводит к снижению отдачи от применения этого фактора.

Математически это свойство для дважды дифференцируемой производственной функции можно записать следующим образом:

     (1.15)

Т.е. функция предельной эффективности использования ресурса  является убывающей.

Действительно, возрастание  использования какого-либо ресурса  не приводит к уменьшению выпуска  и даже может несколько его  увеличить, но темп роста продукции  падает, так как в этом случае каждая следующая единица ресурса, количество которого возрастает должна соединиться с все меньшим, приходящимся на нее количеством других ресурсов. Эффективность использования ресурсов падает.

Закон убывающей предельной производительности отражает реально наблюдаемый факт определенных пропорций между различными факторами, сложившихся при производстве продукции. Нарушения их, выражающиеся в чрезмерном росте применения одного из ресурсов можно довольно быстро исчерпать границы взаимозаменяемости ресурсов и, в конечном счете, приведет к неэффективному его использованию.

Пусть имеем произвольную функцию: ,

здесь Xi–переменный фактор, остальные  фиксируем.

Тогда изменение объема выпуска  продукта зависит от затрат i-го ресурса  и графически изобразится кривой затраты – выпуск.

На первой стадии производства (отрезок OX1)  рост фактора Xi  приводит к росту совокупного продукта, при этом предельная и средняя производительность использования ресурса растут.

 

Предельная производительность MP  использования ресурса в какой  – либо точке кривой затраты–выпуск равняется  тангенсу угла наклона касательной в этой точке. . На отрезке OX1  предельная эффективность всегда больше средней, так как средняя эффективность равняется и tg j< tga , так как OP>OP1

В точке A1 предельная эффективность достигает максимума, а средняя производительность по–прежнему ее меньше.

В точке С средняя  и предельная эффективность использования  ресурсов совпадают (в этой точке  касательная к кривой затраты–выпуск проходит через начало координат  и tg j= tga

На отрезке (X2X3), начиная  с точки С tg j меньше, чем на отрезке (X1X2),.следовательно, предельная производительность на отрезке (X2X3) уменьшается.

Если на 1-й стадии (отрезок OX1) совокупный продукт растет медленнее, чем растет потребление переменного фактора xi,  то на 2-й стадии (отрезок X1X2) совокупный  продукт растет быстрее, чем потребление переменного фактора. На 3-й стадии (отрезок (X2X3))  предельная .эффективность меньше MP меньше средней AP, в результате чего совокупный продукт растет медленнее затрат переменного фактора.

В точке В совокупный продукт достигает максимальной величины, касательная к кривой затраты  –выпуск в этой точке параллельна  оси OX, следовательно. tg j =0 и предельная эффективность использования ресурса тоже равна нулю(MP=0). После точки B  использование переменного фактора xi, становится нецелесообразным, так как его увеличение приводит к уменьшению объема продукта ( выходим за пределы экономической области). Предельная эффективность здесь становится отрицательной.

Средняя производительность на отрезке (X2X3) тоже уменьшается, но

остается выше предельной.

Таким образом, ресурсы целесообразно используют в производстве, пока предельная эффективность их  использования положительна.

Это в свою очередь  приведет к большему объему совокупного продукта при тех же значениях объемов переменного фактора.

  Кривая II  соответствует большему количеству включенных в производство постоянных факторов. При одинаковом количестве переменного фактора, например в т. X1 объем совокупного продукта больше, чем при технологии I.

Следствие закона убывающей предельной производительности:

Спрос на ресурсы является производным от спроса на продукцию.

Если обозначить предельную продуктивность MP, а предельные издержки MC, то правило использования ресурсов можно выразить следующим образом: MP=MC, т. е. для того, чтобы максимизировать прибыль (через максимизацию выпуска продукта) каждый производитель(фирма) должен использовать дополнительные единицы любого ресурса до тех пор, пока каждая единица дает прирост совокупного дохода.

 

1.2.Производственная функция Кобба - Дугласа в исследовании экономического роста

  
Современные неоклассические модели экономического роста строятся на базе производственной функции и основаны на предпосылках полной занятости, гибкости цен на всех рынках, а также полной взаимозаменяемости факторов производства. Попытки исследовать, в какой степени качество факторов производства (их производительность) и различные пропорции в их сочетании воздействуют на экономический рост, привели к созданию модели производственной функции Кобба-Дугласа. Рассмотрим эту модель подробнее.  Функция Кобба-Дугласа получена в результате математического преобразования простейшей производственной функции Y = F(L, К) в модель, которая показывает, какой долей совокупного продукта вознаграждается участвующий в его создании фактор производства. Она имеет следующий вид:

Y = А Ка Lb 
где а изменяется в пределах от 0 до 1, а b = 1 - а.

Функция Кобба-Дугласа  содержит два переменных фактора  производства - труд (L) и капитал (К). Параметр А - коэффициент, отражающий уровень технологической производительности, и в краткосрочном периоде он не изменяется. Показатели а и b -коэффициенты эластичности объема  выпуска  (Y) по фактору производства: а - по капиталу, а b - по труду. Заметим, что, если каждый  из фактор овоплачивается в соответствии со своим предельным продуктом, то а и b показывают доли капитала и труда в совокупном доходе. Иными словами, если цена капитала равна предельному продукту капитала, а цена труда равна предельному продукту труда, то параметры а и b определяют пропорцию, в которой труд капитал получают свое вознаграждение за созданный продукт. Доля капитала в доходе составит величину аY, а доля труда в доходе -величину bY. Так как b = 1 - а, то а + b = 1, из чего следует, что мы имеем дело с постоянной отдачей от масштаба.

Интересно рассмотреть  эмпирические значения параметров функции Кобба-Дугласа: А = 1,1; a= 1/4; b = 3/4, т.е. доля капитала в национальном доходе составляет 25%, а доля труда - 75%. 
В поисках путей наибольшей эффективности производства нас всегда должна интересовать предельная производительность участвующих в нем факторов, с помощью которой определяется оптимальный объем используемых ресурсов. Предельный продукт капитала МРk пропорционален отношению доли капитала в доходе к объему использованного капитала: МРk = аY/ К.Аналогично определяется и предельная производительность труда: MPl= b Y / L. 
Рассмотрим свойства производственной функции Кобба-Дугласа. 
Первое свойство - постоянство отдачи от масштаба - описывается формулой F (nK, nL) = nAKaLb, которая показывает, что если количество капитала и труда увеличить в праз, то объем совокупного выпуска, или объем дохода, возрастет в такое же количество раз. 
Второе важное свойство функции Кобба-Дугласа связано с изменением предельной производительности факторов. Например, если привлечь в производство дополнительное количество капитала К, а труд L использовать в прежнем объеме, то, при прочих равных условиях, предельная производительность труда MPlувеличится, а предельная производительность возросшего объема капитала МРk снизится. Если же увеличить количество труда, при прочих равных условиях, то его предельная производительность снизится, а предельная производительность капитала возрастет. Вывод: нарушение  пропорции  между трудом  и капиталом при заданной технологии приВоДИт   к   отклонению   от   оптимального объема  совокупного выпуска, т.е. к неэффективности производства. 
Однако если увеличивается   паРаметр А ,     напРимер, при внедрении более производительной технологии, то будет наблюдаться   одновременное   повышение МРк и MPl, что является условием иитенсивного экономического роста.  Третье свойство производственной функции Кобба-Дугласа -постоянство отношения дохода от труда к доходу от капитала (b/а), т.е. постоянство соотношения долей капитала и труда в национальном продукте. 
Исследования американского сенатора и экономиста Пола Дугласа показали, что в Соединенных Штатах за сорок лет (с 1948 по 1989 гг.) соотношение b/а колебалось в пределах между 2 и 3, в результате чего оплата труда в 2-3 раза превышала вознаграждение капитала. Можно предположить, что постоянные рамки колебания соотношения b/а заданы технологически. Колебания b/а внутри этих рамок могут быть объяснены отклонением в соотношении / и S, так как вряд ли заработная плата, шкала налогообложения и норма амортизации почти ежегодно могли претерпевать значительные изменения. 
Макроэкономическое равенство / = S является условием равновесного роста еще одной неоклассической модели, которая строится на основе производственной функции Кобба-Дугласа. Речь пойдет о модели экономического роста, автор которой - известный американский экономист, лауреат Нобелевской премии Роберт Солоу. Данная модель объясняет механизм роста экономики в устойчивом состоянии и показывает, как осуществляется экономический рост в условиях технического прогресса.