Производственная функция

Заметим, что сказанное  относится не только к производственным функциям, но и к другим моделям, используемым в экономике: каждая из них может иметь различные  варианты, соответствующие различным  уровням абстракции. Теоретические (или, как их еще называют, концептуальные) модели обычно слишком громоздки для численной реализации и к тому же требуют практически недоступного объема числовых данных. Расчетные модели предполагают укрупненное описание явлений и небезупречны с точки зрения требований строгой теории.

Все, что говорилось выше о техническом прогрессе и  его представлении на языке производственных функций, относилось к функциям агрегированных факторов. Только в таких случаях  можно говорить об увеличении продуктивности фактора вследствие изменения его качества.

В теоретической модели изменение качества ресурса - это появление нового вида ресурса. Если исходная производственная функция имела своими аргументами объемы потребления ресурсов п видов, т. е. была функцией га переменных, то появление нового вида ресурса требует использования новой производственной функции, зависящей уже от n + 1 аргумента. Таким образом, для теоретической производственной функции технический прогресс означает увеличение размерности области определения. Исходная производственная функция F(х1, х2, ..., хn) не отражает новую ситуацию; новая производственная функция F*(х1, х2, ..., хn, хn+1) отражает исходную ситуацию, если положить хn+1 = 0. Связь между производственными функциями описывается равенством

F(х1, х2, ..., хn) = F*(х1, х2, ..., хn, 0).

Ситуация иллюстрируется рис. 18. Пусть в исходном состоянии фирма использовала только первый вид ресурса, и производственная функция имела вид F(х1); ее изокванты - отмеченные точки на осих1. Технический прогресс привел к появлению второго ресурса. Теперь производственная функция имеет вид F*(х1, х2), а ее изокванты - кривые на плоскости х1 х2.

 

 

 

 

 

Рис. 18. Карты изоквант: на оси х1 (до появления второго ресурса) и на плоскости х1 х2 (после его появления)

Заметим, что такое  представление технического прогресса аналогично описанию короткого и длительного периодов с помощью производственных функций. Новый вид ресурса при этом аналогичен фактору, фиксированному в коротком периоде; единственная особенность состоит в том, что он фиксирован на нулевом уровне (ср. рис. 18 с рис. 12). Поэтому поведение фирмы в условиях технического прогресса иногда называется поведением в сверхдлительном периоде.

Появление нового вида ресурса  само по себе еще не означает, что  фирма будет его использовать. Если его цена будет слишком высока (изокоста С1 на рис. 19), то задача выбора ресурсов будет иметь угловое решение (точка А1) и фирма откажется от использования нового вида ресурса. При снижении цены фирма начнет его применять наряду с традиционным видом (изокоста С2 и точка А2). Если традиционный вид может быть полностью замещен новым и цена на новый вид ресурса достаточно низка, то задача выбора будет иметь противоположное угловое решение (изокоста С3 и точка А3) - традиционный вид ресурса будет полностью вытеснен новым.

Рис. 19. Изменение выбора ресурсов при снижении цены нового ресурса: отказ от нового (А1), использование нового вместе с традиционным (А2) и вытеснение традиционного новым (А3). 

 

 

2.2. РАСШИРЕНИЕ ПРОИЗВОДСТВА

 

Расширение производства возможно различными путями. При сохранении неизменной технической базы увеличить выпуск можно за счет увеличения применения всех видов ресурсов. В этом случае имеет место увеличение масштабов производства, для его анализа используется понятие отдача от масштаба. В коротком периоде можно увеличить объем применения лишь переменного ресурса. В этом случае имеет место изменение пропорций, в которых применяются производственные ресурсы. Расширение производства в коротком периоде исследуется с помощью понятия убывающей отдачи (или убывающей производительности) переменного ресурса или, как иногда говорят, закона изменяющихся пропорций. Возможно также расширение производства за счет изменения его технической базы, то есть научно-технического прогресса. 
2.2.1. ОТДАЧА ОТ МАСШТАБА:

При выборе технически эффективного метода производства увеличение выпуска  возможно за счет пропорционального  увеличения использования всех производственных ресурсов. Это и есть изменение  масштаба производства. 
Пусть первоначальное соотношение между выпуском и применяемыми ресурсами описывается производственной функцией: 
 
Q0=f(K,L). 
Если мы увеличим объемы применяемых ресурсов (масштаб производства) в k раз, то новый объем выпуска составит: 
Q1 =f(kK,kL). В результате:

постоянную отдачу от масштаба, когда выпуск увеличится также в k paз (Q1=kQ0);

убывающую отдачу от масштаба, если выпуск увеличится менее чем в k paз(Q1 < kQ0);

в возрастающую отдачу от масштаба при увеличении выпуска более чем в k раз (Q1 > kQ0).

 

Рис. 4.3. Отдача от масштаба. 

Введем еще одну характеристику производственной функции – однородность. Производственная функция называется однородной, если при увеличении количества всех производственных ресурсов в k раз выпуск увеличивается в kt раз, так что 
Q1=(kK, kL) = ktQ0(K, L) (4.5) 
Показатель t характеризует степень однородности функции. Если же равенство (4.5) для данной производственной функции не выполняется, то такая производственная функция называется неоднородной. 
Степень однородности может использоваться для характеристики типа отдачи от масштаба, если: 
• t = 1 – отдача от масштаба постоянна; 
• t < 1 – убывающая отдача от масштаба; 
• t > 1 – возрастающая отдача от масштаба.

Для однородной производственной функции отдача от масштаба может  быть представлена графически. Показателем отдачи служит расстояние вдоль луча, проведенного из начала координат между изоквантами, представляющими кратные Q объемы выпуска – Q, 2Q, 3Q и т. д. (рис. 4.3). В случае неоднородности производственной функции оценка отдачи от масштаба и ее графическое отображение сопряжены со значительными трудностями. 
Постоянная отдача от масштаба наблюдается в тех производствах, где ресурсы однородны (в техническом смысле) и их количества можно изменять пропорционально. В таких производствах увеличение выпуска может быть достигнуто путем кратного увеличения объема применения всех производственных ресурсов. Убывающая отдача, как правило, связана с ограниченными возможностями управления крупным производством. Концентрация управления (на неизменной технической базе) сверх определенного предела ведет к нарушению координации потоков ресурсы–выпуск. 
 
Во многих случаях характер отдачи от масштаба изменяется при достижении определенных пределов выпуска. До определенных пределов рост производства сопровождается постоянной и даже возрастающей отдачей от масштаба, которая затем сменяется убывающей. 
Лучи, проведенные из начала координат на рис. 4.3, называют линиями роста. Они характеризуют технически возможные пути расширения производства, то есть переход с более низкой на более высокую изокванту. 
Среди возможных линий роста представляют интерес изоклинали, вдоль которых предельная норма технического замещения ресурсов при любом объеме выпуска постоянна.

 

2.2.2.УБЫВАЮЩАЯ ОТДАЧА ПЕРЕМЕННОГО РЕСУРСА 
(ЗАКОН ИЗМЕНЯЮЩИХСЯ ПРОПОРЦИЙ)

В коротком периоде, в отличие от длительного, часть ресурсов остается неизменной, тогда как другая часть может быть увеличена. Поэтому для короткого периода линия роста представлена не лучом, проведенным из начала координат, а прямой, параллельной оси переменного фактора. Очевидно, что соотношение K/L вдоль такой линии уменьшается, поскольку фиксированное количество К приходится на все большее количество L. Таким образом, в коротком периоде рост выпуска происходит при изменяющихся пропорциях между постоянным и переменным ресурсом. 
При этом увеличение количества переменного ресурса рано или поздно приведет к сокращению предельного и среднего продукта этого ресурса. Очевидность такого утверждения следует хотя бы из простого примера. Возможно ли, увеличивая количество удобрений, достигнуть такой урожайности, что весь мировой урожай мог бы собираться на участке земли, не превышающем по площади размеров цветочной клумбы?

Рис. 4.4. Убывающая отдача переменного ресурса. 
Действие закона изменяющихся пропорций иллюстрирует рис.4.4. 
 
При постоянной отдаче от масштаба, как мы знаем, удвоение обоих факторов ведет и к удвоению объема выпуска. На рис. 4.4, а точка b на изоклинали ОА лежит на изокванте, соответствующей удвоенному выпуску 2Q. Если же постоянный ресурс будет зафиксирован в объеме К', а объем переменного ресурса L будет вдвое больше, мы достигнем лишь точки С, лежащей на более низкой изокванте, чем 2Q. Для достижения же выпуска 2Q нам потребуется увеличить использование переменного ресурса L до L*, то есть более чем в два раза. Следовательно, увеличение переменного ресурса при фиксированном объеме постоянного характеризуется убывающей производительностью. Очевидно, что в случае убывающей отдачи от масштаба (рис. 4.4, б) удвоение переменного ресурса дает еще меньший относительный прирост выпуска, чем при постоянной отдаче. При возрастающей отдаче от масштаба (рис. 4.4, в)производительность переменного фактора также падает.

 

 

2.2.3. ПРОИЗВОДСТВЕННАЯ ФУНКЦИЯ И ТЕХНИЧЕСКИЙ ПРОГРЕСС

Рост производства возможен наконец, за счет технического прогресса, который заключается в появлении новых, технически более эффективных способов производства. Эти новые способы должны быть учтены в производственной функции, тогда как ставшие технически неэффективными способы – исключены из нее. 
Графически технический прогресс может быть отображен сдвигом вниз изокванты, характеризующей определенный объем выпуска, и, возможно, изменением ее конфигурации. На рис. 4.5 изокванта Q1 характеризует тот же объем выпуска, что и изокванта Q0. Но теперь этот объем может быть произведен с использованием меньших количеств ресурсов К и L. 
Рис. 4.5. Сдвиг изокванты в результате технического прогресса.

Сдвиг изокванты может  сопровождаться изменением ее конфигурации, что означает изменение и в  соотношениях применяемых ресурсов. Обычно в связи с этим различают три типа технического прогресса: капиталоинтенсивный, трудоинтенсивный и нейтральный (рис. 4.6).

Рис.4.6. Типы технического прогресса: а) капиталоинтенсивный, б) трудоинтенсивный, в) нейтральный.

Технический прогресс называется капиталоинтенсивным (трудосберегающим), если при движении вдоль линии с постоянным соотношением K/L предельная норма технического замещения MRTSLK снижается (рис. 4.6, а). Это значит, что технический прогресс сопровождается опережающим увеличением предельного продукта капитала по сравнению с предельным продуктом труда. Наклон изокванты по мере приближения к началу координат становится более пологим (относительно оси L). 
 
Технический прогресс называется трудоинтенсивным (капиталосберегающим), если при движении вдоль той же линии MRTSLK возрастает (рис. 4.6, б). Это значит, что технический прогресс сопровождается увеличением предельного продукта труда по сравнению с предельным продуктом капитала. Наклон изокванты по мере приближения к началу координат становится более пологим (относительно оси К). 
Нейтральным технический прогресс называется в том случае, если он сопровождается пропорциональным увеличением предельных продуктов К и L, так что предельная норма их технического замещения при движении к началу координат остается неизменной. Не меняется при этом и наклон изокванты, под воздействием технического прогресса она смещается параллельно себе самой (рис. 4.6, в).

 

2.3.ОПТИМАЛЬНАЯ КОМБИНАЦИЯ РЕСУРСОВ И ОПТИМАЛЬНЫЙ ПУТЬ РОСТА

 

2.3.1. РАВНОВЕСИЕ ПРОИЗВОДИТЕЛЯ.

Анализ с помощью  изоквант имеет для производителя очевидные недостатки, так как использует только натуральные показатели затрат ресурсов и выпуска продукции. В теории производства равновесие производителя определяется симметричным равенством предельной нормы технического замещения ресурсов К и L соотношению их цен. Если обозначить цену услуг капитала (арендную плату за час работы оборудования) через r, а цену услуг труда (часовую ставку заработной платы) через w, то условие равновесия (оптимума) производителя можно записать в виде:  
(Q=const) 
 
 (4.6) 
 
Роль бюджетной прямой в теории производства выполняет линия равных затрат – изокоста, представляющая множество всех комбинаций ресурсов, которые могли бы быть приобретены предприятием при определенной сумме денежных расходов. Обозначив сумму возможных расходов предприятия черезС,получим бюджетное ограничение 
 
C=r xK+wxL, (4.7)  
откуда легко определить уравнение изокосты

 (4.8)

Соотношение цен факторов w/r, как очевидно, характеризует наклон изокосты. Рост бюджета производителя или пропорциональное снижение цен ресурсов сдвигает изокосту вправо, а сокращение бюджета или рост цен – влево(рис.4.7.)

Оптимальная комбинация ресурсов представлена на рис. 4.8.

Рис. 4.8. Равновесие производителя. 
Комбинации ресурсов А, Е, В лежат на одной и той же изокосте СС и, значит, обойдутся при данных ценах ресурсов предприятию в одну и ту же сумму С. Но комбинация Е является наиболее предпочтительной из них, поскольку принадлежит наиболее высокой из всех достижимых при данном уровне затрат изокванте Q2. Комбинация ресурсов Е обеспечит, таким образом, и наибольший выпуск по сравнению с любой другой комбинацией ресурсов, имеющей равную стоимость.

Комбинация ресурсов М технически столь же эффективна, как и комбинация Е. Но при данных ценах ресурсов (мы полагаем пока цены ресурсов неизменными) комбинация М экономически неэффективна. Ведь за ту же сумму средств С1C1 предприятие может приобрести комбинацию ресурсов Е1позволяющую получить больший объем продукции.

 

2.3.2. ОПТИМАЛЬНЫЙ ПУТЬ РОСТА

Предположим, что цены ресурсов остаются неизменными, тогда  как бюджет предприятия постоянно  растет. Соединив точки касания изоквант с изокостами, мы получим линию OG – «путь развития» (путь роста). Эта линия показывает темпы роста соотношения между факторами в процессе расширения  
Рис. 4.9. Кривая «путь развития».