Сущность и аксиомы теоремы о невозможности Эрроу

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СОДЕРЖАНИЕ

1. ВВЕДЕНИЕ ………………………………………..………………… ….. 3
2. ТЕОРЕМА ЭРРОУ О НЕВОЗМОЖНОСТИ
1. Сущность и аксиомы теоремы о невозможности Эрроу ………......4
2. Доказательство теоремы Эрроу………………..…....………………8
3. ЗАКЛЮЧЕНИЕ …………………………………………………………...11
4. СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ …………………...........12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. ВВЕДЕНИЕ

На рынке человеквыставляет свои предпочтения,как покупатель. Он требует учитывать свои желания, так как не просто их декларирует, а осуществляет платежеспособный спрос на рынке. В том случае, когда индивид реализует свои предпочтенияв демократическом государстве, он является избирателем. При таком раскладе им используются уже не деньги, а право голоса. Голосуя на выборах или референдуме, человек осуществляет действие по такому же принципу, как и в любых других сферах. У него есть стремление к  максимизации значения своей функции полезности. Конкретно с этой позиций поведение избирателей изучается в экономической теории.

Функция общественного выбора является способом ранжирования доступных вариантов общественного выбора (является правилом коллективного выбора), она похожа на потребительскую функцию, которой определяются предпочтения индивидуумов. Поэтому данный вопрос является актуальным.

Способ ранжирования должен основываться на каких-либо разумных и нравственно-приемлемых принципах, и следовать им. Эта проблема исследовалась американским экономистом, лауреатом Нобелевской премии 1972 г. КеннетомЭрроу, которым была сформулированаего известная теорема о невозможности. Ученый доказал, что функция общественного выбора должна быть полная (законченная) и транзитивная в ранжировании вариантов, подчиняться определенным требованиям.

Цельюконтрольной работы является рассмотрение вопроса теоремы Эрроу о невозможности, будут рассмотрены аксиомы и доказательство теоремы.

Для того,чтобы хорошо раскрыть тему,изучен материал из учебников по экономике и экономике общественного сектора, проанализированы некоторые статьи, и также изучены некоторые интернет-ресурсы сайтов по экономике.

 

2. ТЕОРЕМА ЭРРОУ О НЕВОЗМОЖНОСТИ
1. Сущность и аксиомы теоремы о невозможности Эрроу

Стремление экономистов определить оптимальный объем благосостояния без определения индивидуальных выгод замечено довольно давно. Ученые не могли провести четкое разграничение понятий эффективности и справедливости. Это было сделано итальянским ученым В. Парето, который определил понятие общественного благосостояния. [5]

Эрроуоткрытие было сделано так же не на пустом месте. Дефекты демократической системы выявления воли большинства при помощи подсчета голосов рассматривалранее Кондорсе, французский математик, философ и политический деятель. Он описал эффект, который позволял меньшинству на демократических выборах навязать свою волю большинству, путем проведения непопулярного кандидата или непопулярного решения.

В 1972 году Кеннету Эрроу была присуждена Нобелевская премия по экономике за исследование «Социальный выбор и индивидуальные ценности» (1952). В основе книги лежала докторская диссертация ученого. Под этим названием скрывалось сенсационное открытие, которое положило конец мечтам об идеальной демократии. При помощи знаковой системысимволической логики, с которой экономисты были незнакомы, Эрроупредложил решение политического вопроса, который ни политологи, ни экономисты еще не ставили: если сделать предположение, что все индивиды имеют возможность ранжировать все состояния миравпредпочтительном порядке, то можно ли получить правило голосования, по которому из этих состояний всегда будет выбираться наиболее предпочтительное.[6]

Выделив пять непременных условий демократических выборов, как механизм выявления воли большинства избирателей, Эрроубыло доказано, что в принципе невозможно существование избирательной системы, в которой не нарушалось хотя бы одно из этих условий.При этом, дефекты принадлежат не какому-то конкретному механизму выборов, а принципиально любому из них. Такое открытие на тот момент произвело впечатление разорвавшейся бомбы. «Оказывается, лучшие умы человечества занимаются поисками химеры, зиждущейся на внутреннем логическом противоречии исходных принципов» – было написано одним из тогдашних обозревателей. [4]

Теорема о невозможности утверждает, что не существует функции общественного выбора, которая удовлетворяет одновременно всем требованиям.[2; 131]

КеннетомЭрроупроводилось аксиоматическое исследование рациональных процедур голосования. Им было выдвинуто пять аксиом, согласно которым любая процедура комбинирования или объединения индивидуальных предпочтений должна удовлетворять этим аксиомам, для образованияколлективного суждения, и доказано, что единственные процедуры, отвечающие пяти его аксиомам, сосредоточивают власть в руках одного человека, диктатора. Нет такого метода, который удовлетворял бы всем аксиомам Эрроу, и одновременно не был бы диктаторским, и это происходит не из-за недостатка изобретательности, а потому что такого в принципе не существует.

В течение последних тридцати лет ученые не прекращали исследование аксиомы Эрроу, пытаясь обойти его теорему невозможности и стремясь ослабить требования, сформулированные Эрроу. Данная проблема вызвала широкий интерес, в связи с тем, что она тесно связана с ключевыми вопросами экономики, философии, общественных наук. [4]

Им была сформулирована задачавыбора конституции, которая выступала правилом, приписывающим коллективное упорядочение альтернатив каждой конфигурации упорядочений индивидуальных предпочтений. Конституцией определяется, предпочитаема ли альтернатива, лишняя или безразличная она, по отношению к каждой другой. Две альтернативы являются безразличными, в случае, когда общество рассматривает их как привлекательные в одинаковой мере.Эрроусузил круг множества возможных конституций, и наложил пять требований, которые выступали как необходимые свойства каждого этически приемлемого метода объединения. Далее им был охарактеризован класс конституций, удовлетворяющий всем пяти свойствам.

Первая аксиома Эрроу. Универсальность, требует, чтобы в конституции отражалась каждая возможная конфигурация предпочтений голосующих. Ученый утверждал, что, так как невозможно предсказать все разновидности конфликта, возможность возникновения которого есть в ходе действия правила голосования, общество не должно принимать конституцию, которая будет несостоятельной, хотя бы при некоторых структурах предпочтений голосующих. Поэтому общество должно настоятельно требовать такую конституцию, которая была бы достаточно общей, чтобы разрешить все возможные споры.

Вторая аксиома Эрроу. Является аксиомой единогласия. Она управляет действием конституции, когда отсутствует согласие между избирателями. Аксиома устанавливает, что для конфигурации предпочтений, при которой каждый человек предпочитает альтернативу А альтернативе Б, коллективное упорядочение должно быть такое же.

Третья аксиома Эрроу. Независимость,выдвигает требование, чтобы коллективное упорядочение любой пары альтернатив было зависимо только от индивидуальных упорядочений двух этих альтернатив. Как бы не изменялись индивидуальные предпочтения других альтернатив, когда каждое из индивидуальных упорядочений А и Б будет неизменно, коллективное упорядочение А и Б так же не будет подвергнуто изменениям. Конституция, которая удовлетворяет условию независимости, несет ограниченную информацию об индивидуальных упорядочениях, которая требуется, чтобы определить коллективное упорядочение пары альтернатив.

Четвертую и пятую аксиомы рассмотрим, введя некоторые обозначения. Р будет являться строгим коллективным предпочтением (как отношение «больше» между парой чисел). М будет коллективнымбезразличием (аналогичным равенству). Н будет отношением слабого коллективного предпочтения (как отношение «больше или равно»). Таким образом, выражение АнБбудет означать, чтоА коллективно по меньшей мере так же хорошо, как Б, то естьилиАрБ, илиАмБ.

Четвертая аксиома Эрроу. Аксиома полноты означает, что для каждой пары альтернатив А и Б должно выполняться АнБ, либо БнА (или оба вместе, тогда А и Б безразличны). По этой аксиоме, для процедуры объединения,нужно упорядочить каждую пару альтернатив. Если конституция имеет возможность объявить любую пару альтернатив безразличными, тогда полнота выступает как относительно безобидное требование.

Пятая аксиома Эрроу (н-транзитивность). Данная аксиома требует, чтобы слабое коллективное предпочтение было транзитивным: то есть если АнБ и БнС, то АнС. Примерами транзитивных отношений над парами чисел являются «больше» (>), «равно» (=) и «больше или равно» (>=). Это значит, чтокогда число А больше, чем Б, и Б больше, чем С, то А будет больше, чем С. В экономических исследованиях полнота и н- транзитивность выступают как условные соглашения, и индивидуумы, предпочтения которых удовлетворяют этим аксиомам, будут рациональными. Эрроубыло расширено это понятие до понятия коллективной рациональности для описания конституций, которые удовлетворяют аксиомам полноты и н-транзитивности. Он ввел р-транзитивность, чтобы обеспечить независимость выбранной альтернативы от последовательности, то есть пути,при помощи которых она достигается. Р-транзитивные конституции являются такими правилами голосования, при которых из АрБ и БрС следует АрС. Все такие конституции, которые удовлетворяют другим аксиомам Эрроу являются нейтральными, упорядочивающими пары альтернатив по одному и тому же критерию. Нейтральность значит, что если из частной конфигурации упорядочений голосующими альтернатив U и V, U коллективно предпочитается V, то из такой же конфигурации упорядочений А и Б, А коллективно предпочитается Б. Далее рассмотрим доказательство теоремы.

2. . Доказательство теоремы Эрроу

Итак, мы знаем, что нет такого механизма коллективного выбора, который отвечал бы одновременно всем следующим условиям:

*Результативный выбор  является осуществимым при любом сочетании индивидуальных предпочтений (аксиома универсальности).

*Если относительнокакой-то пары альтернатив х и y у всех индивидов присутствуют одинаковые предпочтения xRiy, то и для коллективного выбора xRy. Далее предпочтения i-го индивида будем обозначать символом Ri, а коллективные предпочтения R.

*Индивид может осуществить сравнение любых двух альтернатив по парам, не обусловливая его своим отношением к другим посторонним альтернативам.

*Для любой пары альтернатив х и у либо xRy, либо yRx, либо верно и то и другое. Этим условие фиксируетсяаксиома полноты.

*Для любых трех альтернатив х, у и z, если xRy и yRz, то xRz.

*Нет такого индивида, что его предпочтение xRiy автоматически означаетxRy независимо от предпочтений других людей.

Логика рассуждений, которые используютсяпри доказательстве теоремы, заключается в показе несовместимости условий с коллективным характером выбора, то есть с тем фактом, что целая группа в реальности имеет влияниена решение при любой профильности предпочтений.

Парадокс голосования предполагает, что никакая группа людей, кроме той, которая составляет абсолютное большинство, не имеет преимуществ перед другими. Условия теоремы о невозможности такого жесткого требования не имеют. Группа, которая в итоге определяет коллективное решение, может быть совсем небольшой, но, в том случае еслив нее включаетсяболее двух человек, парадокс голосования будет действовать.

Схематично доказательство можно представить так. В первую очередь, вводим понятие решающего подмножества индивидов. Оно будет таким подмножеством, что если для всех его членов xRiy, то и для всего множества участников xRy. Простейшим примером решающего подмножества является большинство голосующих индивидов, когда процедурой выбора предполагается принцип большинства. Главная суть доказательства заключается в демонстрировании, что хотя бы в некоторых случаях,невозможно обеспечение рационального выбора, если в решающем подмножестве больше, одного человека.

Пусть V будет наименьшим решающим подмножеством. Если оно не тождественно индивиду-диктатору, то есть возможность разделить его на две части: V1 и V2. Пусть V3 будет подмножеством, которое включает всех участников выбора, не вошедшихв V, то есть не принадлежащих к решающему подмножеству. Если у всех членов V3 единодушное между собой мнение, и также со всеми членами V1,совместно они имеют возможность заблокировать выбор, который сделан членами V2. Иначе именно V2, а не подмножество V было бы решающим. Точно такжеоднозначное мнение всех членов V2 и V3, обеспечило бы блокирование выбора, сделанного членами V1.

Допустим, что есть три альтернативы х, у и z, при этом каждым из членов подмножества V1 они ранжируются в порядке х, у, z, каждым из членов подмножества V2 в порядке у, z, х, а каждым из членов V3 как z, х, у.

Так как V1 и V2 вместе образуют решающее подмножество V, тогда их совпадающее предпочтение yRzпринимается в качестве коллективной позиции. Так же члены V1 находят союзников в V3 при сравнении х и у, а члены V2 совместно выступают с V3 при сравнении z и х. В случае, когда альтернативы являются неравноценными для тех, кто их сравнивает, парадокс голосования,очевидно, действует: одинаковая позиция V1 и V3 обусловливает превосходство х над у, а общая позиция V2 и V3 означает превосходство z над х. Следовательно, в силу транзитивности zRy, что несовместимо с превосходством у по отношению к z, которое установлено ранее. Противоречие не возникает, только когда V неделимо (в составе один человек), а это исключает возможность противостояния V1 и V2.