Факторный анализ

Факторный анализ впервые  возник в психометрике и в настоящее время широко используется не только в психологии, но и в нейрофизиологии, социологии, политологии, в экономике, статистике и других науках. Основные идеи факторного анализа были заложены английским психологом и антропологом, основателем евгеники Гальтоном Ф. (1822—1911), внесшим также большой вклад в исследование индивидуальных различий. Но в разработку Факторного анализа внесли вклад многие ученые. Разработкой и внедрением факторного анализа в психологию занимались такие ученые как Спирмен Ч. (1904, 1927, 1946), Терстоун Л. (1935, 1947, 1951) и Кеттел Р. (1946, 1947, 1951). Также нельзя не упомянуть английского математика и философа Пирсона К., в значительной степени развившего идеи Ф. Гальтона, американского математика Хотеллинга Г., разработавшего современный вариант метода главных компонент. Внимания заслуживает и английский психолог Айзенк Г., широко использовавший Факторный анализ для разработки психологической теории личности. Математически факторный анализ разрабатывался Хотеллингом, Харманом, Кайзером, Терстоуном, Такером и др. Сегодня факторный анализ включён во все пакеты статистической обработки данных — R, SAS, SPSS, Statistica и т. д.

 

Все явления и процессы хозяйственной деятельности предприятий  находятся во взаимосвязи и взаимообусловленности. Одни из них непосредственно связаны  между собой, другие косвенно. Отсюда важным методологическим вопросом в  экономическом анализе является изучение и измерение влияния  факторов на величину исследуемых экономических  показателей.

 

Факторный анализ в учебной  литературе трактуется как раздел многомерного статистического анализа, объединяющий методы оценки размерности множества  наблюдаемых переменных посредством  исследования структуры ковариационных или корреляционных матриц.

 

Свою историю факторный  анализ начинает в психометрике и в настоящее время широко используется не только в психологии, но и в нейрофизиологии, социологии, политологии, в экономике, статистике и других науках. Основные идеи факторного анализа были заложены английским психологом и антропологом Ф. Гальтоном. Разработкой и внедрением факторного анализа в психологии занимались такие ученые как: Ч.Спирмен, Л.Терстоун и Р.Кеттел Математический факторный анализ разрабатывался Хотеллингом, Харманом, Кайзером, Терстоуном, Такером и другими учеными.

 

Данный вид анализа  позволяет исследователю решить две основные задачи: описать предмет  измерения компактно и в то же время всесторонне. С помощью  факторного анализа возможно выявление  факторов, отвечающих за наличие линейных статистических связей корреляций между  наблюдаемыми переменными.

 

К примеру, анализируя оценки, полученные по нескольким шкалам, исследователь  отмечает, что они сходны между  собой и имеют высокий коэффициент  корреляции, в этом случае он может  предположить, что существует некоторая  латентная переменная, с помощью  которой можно объяснить наблюдаемое  сходство полученных оценок. Такую  латентную переменную называют фактором, который влияет на многочисленные показатели других переменных, что приводит к  возможности и необходимости  отметить его как наиболее общий, более высокого порядка.

 

Таким образом, можно выделить две цели факторного анализа:

 

определение взаимосвязей между  переменными, их классификация, т. е. «объективная R-классификация»;

сокращение числа переменных.

Для выявления наиболее значимых факторов и, как следствие, факторной  структуры, наиболее оправданно применять  метод главных компонентов. Суть данного метода состоит в замене коррелированных компонентов некоррелированными факторами. Другой важной характеристикой  метода является возможность ограничиться наиболее информативными главными компонентами и исключить остальные из анализа, что упрощает интерпретацию результатов. Достоинство данного метода также  в том, что он – единственный математически  обоснованный метод факторного анализа.

 

Факторный анализ – методика комплексного и системного изучения и измерения воздействия факторов на величину результативного показателя. Существуют следующие типы факторного анализа:

Детерминированный (функциональный) – результативный показатель представлен  в виде произведения, частного или  алгебраической суммы факторов.

Стохастический (корреляционный) – связь между результативным и факторными показателями является неполной или вероятностной.

Прямой (дедуктивный) – от общего к частному.

Обратный (индуктивный) – от частного к общему.

Одноступенчатый и многоступенчатый.

Статический и динамический.

Ретроспективный и перспективный.

Также факторный анализ может  быть разведочным – он осуществляется при исследовании скрытой факторной  структуры без предположения  о числе факторов и их нагрузках  и конфирматорным, предназначенным для проверки гипотез о числе факторов и их нагрузках. Практическое выполнение факторного анализа начинается с проверки его условий.

 

Обязательные условия  факторного анализа:

 

Все признаки должны быть количественными;

Число признаков должно быть в два раза больше числа переменных;

Выборка должна быть однородна;

Исходные переменные должны быть распределены симметрично;

Факторный анализ осуществляется по коррелирующим переменным.

При анализе в один фактор объединяются сильно коррелирующие между собой переменные, как следствие происходит перераспределение дисперсии между компонентами и получается максимально простая и наглядная структура факторов. После объединения коррелированность компонент внутри каждого фактора между собой будет выше, чем их коррелированность с компонентами из других факторов. Эта процедура также позволяет выделить латентные переменные, что бывает особенно важно при анализе социальных представлений и ценностей.

 

Как правило, факторный анализ проводится в несколько этапов.

 

Этапы факторного анализа:

1 этап. Отбор факторов.

2 этап. Классификация и  систематизация факторов.

3 этап. Моделирование взаимосвязей  между результативным и факторными показателями.

4 этап. Расчет влияния  факторов и оценка роли каждого  из них в изменении величины  результативного показателя.

5 этап. Практическое использование  факторной модели (подсчет резервов  прироста результативного показателя).

 

По характеру взаимосвязи  между показателями различают методы детерминированного и стохастического  факторного анализа

 

Детерминированный факторный  анализ представляет собой методику исследования влияния факторов, связь  которых с результативным показателем  носит функциональный характер, т. е. когда результативный показатель факторной  модели представлен в виде произведения, частного или алгебраической суммы  факторов.

 

Методы детерминированного факторного анализа: Метод цепных подстановок; Метод абсолютных разниц; Метод относительных разниц; Интегральный метод; Метод логарифмирования.

 

Данный вид факторного анализа наиболее распространен, поскольку, будучи достаточно простым в применении (по сравнению со стохастическим анализом), позволяет осознать логику действия основных факторов развития предприятия, количественно оценить их влияние, понять, какие факторы, и в какой  пропорции возможно и целесообразно  изменить для повышения эффективности  производства.

 

Стохастический анализ представляет собой методику исследования факторов, связь которых с результативным показателем в отличие от функциональной является неполной, вероятностной (корреляционной). Если при функциональной (полной) зависимости с изменением аргумента всегда происходит соответствующее изменение функции, то при корреляционной связи изменение аргумента может дать несколько значений прироста функции в зависимости от сочетания других факторов, определяющих данный показатель.

 

Методы стохастического  факторного анализа: Способ парной корреляции; Множественный корреляционный анализ; Матричные модели; Математическое программирование; Метод исследования операций; Теория игр.

 

Необходимо также различать  статический и динамический факторный  анализ. Первый вид применяется при  изучении влияния факторов на результативные показатели на соответствующую дату. Другой вид представляет собой методику исследования причинно-следственных связей в динамике.

 

И, наконец, факторный анализ может быть ретроспективным, который  изучает причины прироста результативных показателей за прошлые периоды, и перспективным, который исследует  поведение факторов и результативных показателей в перспективе.

Главной проблемой факторного анализа является выделение и  интерпретация главных факторов. При отборе компонент исследователь  обычно сталкивается с существенными  трудностями, так как не существует однозначного критерия выделения факторов, и потому здесь неизбежен субъективизм интерпретаций результатов. Существует несколько часто употребляемых  критериев определения числа  факторов. Некоторые из них являются альтернативными по отношению к  другим, а часть этих критериев  можно использовать вместе, чтобы  один дополнял другой:

Критерий Кайзера или  критерий собственных чисел. Этот критерий предложен Кайзером, и является, вероятно, наиболее широко используемым. Отбираются только факторы с собственными значениями равными или большими 1. Это означает, что если фактор не выделяет дисперсию, эквивалентную, по крайней мере, дисперсии одной переменной, то он опускается.

Критерий каменистой осыпи или критерий отсеивания. Он является графическим методом, впервые предложенным психологом Кэттелом. Собственные значения возможно изобразить в виде простого графика. Кэттел предложил найти такое место на графике, где убывание собственных значений слева направо максимально замедляется. Предполагается, что справа от этой точки находится только «факториальная осыпь» — «осыпь» является геологическим термином, обозначающим обломки горных пород, скапливающиеся в нижней части скалистого склона. Однако этот критерий отличается высокой субъективностью и, в отличие от предыдущего критерия, статистически необоснован. Недостатки обоих критериев заключаются в том, что первый иногда сохраняет слишком много факторов, в то время как второй, напротив, может сохранить слишком мало факторов; однако оба критерия вполне хороши при нормальных условиях, когда имеется относительно небольшое число факторов и много переменных. На практике возникает важный вопрос: когда полученное решение может быть содержательно интерпретировано. В этой связи предлагается использовать ещё несколько критериев.

Критерий значимости. Он особенно эффективен, когда модель генеральной совокупности известна и отсутствуют второстепенные факторы. Но критерий непригоден для поиска изменений в модели и реализуем  только в факторном анализе по методу наименьших квадратов или максимального правдоподобия.

Критерий доли воспроизводимой  дисперсии. Факторы ранжируются  по доле детерминируемой дисперсии, когда процент дисперсии оказывается  несущественным, выделение следует остановить. Желательно, чтобы выделенные факторы объясняли более 80 % разброса. Недостатки критерия: во-первых, субъективность выделения, во-вторых, специфика данных может быть такова, что все главные факторы не смогут совокупно объяснить желательного процента разброса. Поэтому главные факторы должны вместе объяснять не меньше 50,1 % дисперсии.

Критерий интерпретируемости и инвариантности. Данный критерий сочетает статистическую точность с  субъективными интересами. Согласно ему, главные факторы можно выделять до тех пор, пока будет возможна их ясная интерпретация. Она, в свою очередь, зависит от величины факторных  нагрузок, то есть если в факторе  есть хотя бы одна сильная нагрузка, он может быть интерпретирован. Возможен и обратный вариант — если сильные  нагрузки имеются, однако интерпретация  затруднительна, от этой компоненты предпочтительно отказаться.

Практика показывает, что  если вращение не произвело существенных изменений в структуре факторного пространства, это свидетельствует  о его устойчивости и стабильности данных. Возможны ещё два варианта: 1). сильное перераспределение дисперсии — результат выявления латентного фактора; 2). очень незначительное изменение (десятые, сотые или тысячные доли нагрузки) или его отсутствие вообще, при этом сильные корреляции может иметь только один фактор, — однофакторное распределение. Последнее возможно, например, когда на предмет наличия определённого свойства проверяются несколько социальных групп, однако искомое свойство есть только у одной из них.

Факторы имеют две характеристики: объём объясняемой дисперсии  и нагрузки. Если рассматривать их с точки зрения геометрической аналогии, то касательно первой отметим, что фактор, лежащий вдоль оси ОХ, может  максимально объяснять 70 % дисперсии (первый главный фактор), фактор, лежащий  вдоль оси ОУ, способен детерминировать  не более 30 % (второй главный фактор). То есть в идеальной ситуации вся  дисперсия может быть объяснена  двумя главными факторами с указанными долями. В обычной ситуации может наблюдаться два или более главных факторов, а также остаётся часть неинтерпретируемой дисперсии (геометрические искажения), исключаемая из анализа по причине незначимости. Нагрузки, опять же с точки зрения геометрии, есть проекции от точек на оси ОХ и ОУ (при трёх- и более факторной структуре также на ось ОZ). Проекции — это коэффициенты корреляции, точки — наблюдения, таким образом, факторные нагрузки являются мерами связи. Так как сильной считается корреляция с коэффициентом Пирсона R ≥ 0,7, то в нагрузках нужно уделять внимание только сильным связям. Факторные нагрузки могут обладать свойством биполярности — наличием положительных и отрицательных показателей в одном факторе. Если биполярность присутствует, то показатели, входящие в состав фактора, дихотомичны и находятся в противоположных координатах.