Элементы теории случайных процессов и теории массового обслуживания

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ И ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

 

1. Определение случайного процесса. Его характеристики и виды

 

Определение. Случайным процессом X(t) называется процесс, значение которого при любом значении аргумента t является случайной величиной.

Другими словами, случайный  процесс представляет собой функцию, которая в результате испытания может принять тот или иной конкретный вид, неизвестный заранее. При фиксированном t = t₀ , X (t₀) представляет собой обычную случайную величину, т.е. сечение случайного процесса в момент t₀.

Примеры случайных процессов:

1. численность населения региона с течением времени;
2. число заявок, поступающих в ремонтную службу фирмы, с течением времени.

Реализацией случайного процесса X(t, ω) называется неслучайная функция x(t), в которую превращается случайный процесс X(t) в результате испытания (при фиксированном ω), т.е. конкретный вид, принимаемый случайным процессом X(t), его траектория.

Таким образом, случайный процесс X(t, ω) совмещает в себе черты случайной величины и функции. Если зафиксировать значение аргумента t, случайный процесс превращается в обычную случайную величину, если зафиксировать ω, то в результате каждого испытания он превращается в обычную неслучайную функцию. В дальнейшем изложении опустим аргумент ω, но он будет подразумеваться по умолчанию.

На рис.1 изображено несколько реализаций некоторого случайного процесса. Пусть сечение этого процесса при данном t является непрерывной случайной величиной. Тогда случайный процесс X(t) при данном t определяется плотностью вероятности φ(х, t)

Очевидно, что плотность φ (х, t) не является исчерпывающим описанием случайного процесса X(t), ибо она не выражает зависимости между его сечениями в разные моменты времени.

Случайный процесс X(t) представляет собой совокупность всех сечений при всевозможных значениях t, поэтому для его описания необходимо рассматривать многомерную случайную величину (X(t₁), X(t₂), ..., X(t_n), состоящую из всех сечений этого процесса. В принципе таких сечений бесконечно много, но для описания случайного процесса удается часто обойтись относительно небольшим количеством сечений.

Говорят, что случайный  процесс имеет порядок n, если он полностью определяется плотностью совместного распределения φ (х₁ x₂, ..., х_п; t₁, t₂, ..., t_n) n произвольных сечений процесса, т.е. плотностью n-мерной случайной величины (X(t₁), X(t₂)), ..., X(tn)), где X(ti)- сечение случайного процесса X(t) в момент времени ti, i=1,2, ..., п.

Как и случайная величина, случайный процесс может быть описан числовыми характеристиками. Если для случайной величины эти характеристики являются постоянными числами, то для случайного процесса — неслучайными функциями.

Математическим  ожиданием случайного процесса Х(t) называется неслучайная функция а_х(t), которая при любом значении переменной t равна математическому ожиданию соответствующего сечения случайного процесса X(t), т.е. а_х (t)= М[Х(t)].

Дисперсией случайного процесса X(t) называется неслучайная функция Dx(t), при любом значении переменной t равная дисперсии соответствующего сечения случайного процесса X(t), т.е. Dx (t)=D[X(t)].

Математическое ожидание случайного процесса характеризует  среднюю траекторию всех возможных  его реализаций, а его дисперсия  или среднее квадратическое отклонение — разброс реализаций относительно средней траектории.

Введенных выше характеристик случайного процесса оказывается недостаточно, так как они определяются только одномерным законом распределения. На рис.2 и 3 изображены два случайных процесса X₁ (t) и X₂ (t) c примерно одинаковыми математическими ожиданиями и дисперсиями.

 

Если для случайного процесса Х₁ (t) (см. рис.2) характерно медленное изменение значений реализаций с изменением t, то для случайного процесса Х₂ (1) (см. рис. 3) это изменение происходит значительно быстрее. Другими словами, для случайного процесса Х₁ (t) характерна тесная вероятностная зависимость между двумя его сечениями Х₁ (t₁) и Х₁ (t2), в то время как для случайного процесса эта зависимость между сечениями Х₂(t₁) и Х₂(t₂) практически отсутствует. Указанная зависимость между сечениями характеризуется корреляционной функцией.

Определение. Корреляционной функцией случайного процесса Х(t) называется неслучайная функция

К_х(t₁, t₂) = М[(X(t₁) - а_х(t₁)) (X(t₂) -  а_х(t₂))]

двух переменных t_1, и t_2, которая при каждой паре переменных t₁ и t_2, равна ковариации соответствующих сечений X(t₁) и X(t₂) случайного процесса.

Очевидно, для случайного процесса Х₁ (t) корреляционная функция К_х ( t₁,t₂) убывает по мере увеличения разности t₂- t₁  значительно медленнее, чем К_х2, (t_1,t₂)  для случайного процесса Х₂ (t).

Корреляционная функция К_х (t_1,t₂) характеризует не только степень тесноты линейной зависимости между двумя сечениями, но и разброс этих сечений относительно математического ожидания а_х (t). Поэтому рассматривается также нормированная корреляционная функция случайного процесса.

Пример:

Случайный процесс определяется формулой X(t) = X cosωt, где Х – случайная величина. Найти основные характеристики этого процесса, если М(Х) = а, D(X) = σ².

РЕШЕНИЕ:

На основании свойств  математического ожидания и дисперсии  имеем: a_x(t) = M(X cosωt) = cosωt * M(X) = a cosωt,

D_x(t) = D(X cosωt) = cos²ωt * D(X) = σ² cos² ωt.

Корреляционную функцию найдём по формуле:

K_x(t₁, t₂) = M[(X cosωt₁ – a cosωt₁) (X cos ωt₂ – a cosωt₂)] =

= cosωt₁ cosωt₂ * M[(X – a)(X - a)] = cosωt₁ cosωt₂ * D(X) = σ² cosωt₁ cosωt₂.

Найдем нормированную корреляционную:

P_x(t₁, t₂) = σ² cosωt₁ cosωt₂ / (σ cosωt₁)( σ cosωt₂) ≡ 1.

Виды  случайных процессов:

Различают нестационарные, стационарные и эргодические случайные  процессы. Наиболее общий случайный  процесс – нестационарный.

Случайный процесс X(t) является стационарным, если его многомерная плотность вероятности p(x₁, x₂ , …, x_n; t₁, t₂, … t_n ) зависит только от величины интервалов t_2- t_1, t₃ – t_1,…, t_n- t₁ и не зависит от положения этих интервалов в области изменения аргумента t₁ . Отсюда следует, что для стационарного процесса одномерная плотность вероятности не зависит от времени, т.е. p₁ (x,t) = p₁ (x); Часто бывает достаточно для определения случайного процесса стационарным постоянство первых двух моментов. Таким образом для стационарного процесса:

Стационарный случайный  процесс называется эргодическим, если при определении любых статистических характеристик усреднение по множеству реализаций эквивалентно усреднению по времени одной бесконечно длинной реализации; в этом случае:

и т.д.

 

 

 

 

2. Потоки событий

 

Простейшим видом Случайного процесса являются потоки событий. Определение: Потоком событий называется некоторая последовательность однотипных событий, которые происходят в случайные моменты времени (например, звонки по телефону, посетители магазина, автомобили, проезжающие перекресток и т.д.). Они относятся к СП с дискретным состоянием и непрерывным временем. Математически поток событий можно изобразить в виде случайных точек на оси времени.

Важнейшей характеристикой  любого потока событий является его  интенсивность – среднее число  событий, произошедших в потоке за одну единицу времени λ.

С интенсивностью тесно связана величина T=1\λ, которая имеет смысл среднего интервала времени между двумя событиями. Если интервалы между соседними событиями есть случайные величины, которые независимы друг от друга, то такой поток событий называется потоком Пальма.

Поток событий называется регулярным, если события следуют одно за другим через определенные равные промежутки времени. Например, поток изделий на конвейере сборочного цеха (с постоянной скоростью движения) является регулярным.

Поток событий называется стационарным, если его вероятностные характеристики не зависят от времени. В частности, интенсивность стационарного потока есть величина постоянная: λ(t) = λ. Например, поток автомобилей на городском проспекте не является стационарным в течение суток, но этот поток можно считать стационарным в определенное время суток, скажем, в часы пик. В этом случае фактическое число проходящих автомобилей в единицу времени (например, в каждую минуту) может заметно различаться, но среднее их число постоянно и не будет зависеть от времени.

Поток событий называется потоком без последействия, если для любых двух непересекающихся участков времени t₁ и t₂ число событий, попадающих на один из них, не зависит от числа событий, попадающих на другие. Например, поток пассажиров, входящих в метро, практически не имеет последействия. А, скажем, поток покупателей, отходящих с покупками от прилавка, уже имеет последействие (хотя бы потому, что интервал времени между отдельными покупателями не может быть меньше, чем минимальное время обслуживания каждого из них).

Поток событий называется ординарным, если вероятность попадания на малый (элементарный) участок времени двух и более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одного события. Другими словами, поток событий ординарен, если события появляются в нем поодиночке, а не группами. Например, поток поездов, подходящих к станции, ординарен, а поток вагонов не ординарен.

Поток событий  называется простейшим (или стационарным пуассоновским), если он одновременно стационарен, ординарен и не имеет последействия. Регулярный поток не является простейшим, так как обладает последействием: моменты появления событий в таком потоке жестко зафиксированы.

Пуассоновский поток событий (как стационарный, так и нестационарный) тесно связан с известным распределением Пуассона — число событий потока, попадающих на любой участок, распределено по закону Пуассона.

Простейший поток в  качестве предельного возникает  в теории случайных процессов  столь же естественно, как в теории вероятностей нормальное распределение получается в качестве предельного для суммы случайных величин: при наложении (суперпозиции) достаточно большого числа п - независимых, стационарных и ординарных потоков (сравнимых между собой по интенсивностям  λi (i = 1, 2, ..., n)) получается поток, близкий к простейшему с интенсивностью λ, равной сумме интенсивностей входящих потоков, т.е.

3. Марковские случайные процессы

Случайный процесс, протекающий  в некоторой системе S с возможными состояниями S₁, S₂, S₃, …, называется Марковским, или случайным процессом без последствия, если для любого момента времени t₀ вероятные характеристики процесса в будущем (при t>t₀) зависит только от его состояния в данный момент t₀ и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние; т.е. не зависят от её поведения в прошлом (при t<t₀).

Примером  Марковского процесса: система S – счётчик в такси. Состояние системы в момент t характеризуется числом километров (десятых долей километров), пройденных автомобилем до данного момента. Пусть в момент t₀счётчик показывает S₀/ Вероятность того, что в момент t>t₀ счётчик покажет то или иное число километров (точнее, соответствующее число рублей) S₁ зависит от S₀, но не зависит от того, в какие моменты времени изменились показания счётчика до момента t₀.

Многие процессы можно  приближенно считать Марковскими. Например, процесс игры в шахматы; система S – группа шахматных фигур. Состояние системы характеризуется числом фигур противника, сохранившихся на доске в момент t₀. Вероятность того, что в момент t>t₀ материальный перевес будет на стороне одного из противников, зависит в первую очередь от того, в каком состоянии находится система в данный момент t_0, а не от того, когда и в какой последовательности исчезли фигуры с доски до момента t₀.

В ряде случаев предысторией рассматриваемых процессов можно  просто пренебречь и применять для  их изучения Марковские модели.

Марковским случайным  процессом с дискретными состояниями  и дискретным временем (или цепью Маркова) называется Марковский процесс, в котором его возможные состояния S₁, S₂, S_3,… можно заранее перечислить, а переход из состояния в состояние происходит мгновенно (скачком), но только в определённые моменты времени t_0, t_1, t_2, ..., называемые шагами процесса.

Обозначим p_ij – вероятность перехода случайного процесса (системы S) из состояния i в состояние j. Если эти вероятности не зависят от номера шага процесса, то такая цепь Маркова называется однородной.

Пусть число состояний системы конечно и равно m. Тогда её можно характеризовать матрицей перехода P₁, которая содержит все вероятности перехода:

p₁₁ p₁₂ … p_1m

p₂₁ p₂₂… p_2m

… … … …

P_m1 p_m2… p_mn