Методы оптимизации

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ  ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО  ПРОФЕССИОНАЛЬНОГ ОБРАЗОВАНИЯ

Московский государственный  университет имени В.П. Горячкина.

Кафедра

Эксплуатация машинно-транспортного парка 
 

 

                

 

 

Реферат по оптимизации процессов и принятию решений

на тему:

«Методы оптимизации».

 

 

 

 

 

 

Выполнил: студент 26 гр. факультета ПРИМА 

Шергин Д.К.

                                                      Преподователь:                       Майстренко Н.А.

 

 

 

 

 

 

 

Москва 2013

 Содержание.

Введение…………………………………………………………………………………...3

1.Основные понятия и определения…………………………………………………..…4

2.Линейная оптимизация…………………………………………………………………6

2.1.Симплекс – метод……………………………………………………………………..6

2.2.Задача о распределении ресурсов……………………………………………………7

2.3.Транспортная задача…………………………………………………………………..8

3.Нелинейная оптимизация……………………………………………………………...10

3.1 Метод золотого сечения……………………………………………………………..10

3.2 Метод Ньютона………………………………………………………………………12

3.3 Метод потенциалов………………………………………………………………….14

Заключение……………………………………………………………………………….27

Список использованной литературы………………………………..………………….28

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение.

В повседневной жизни перед  человеком постоянно возникает  проблема принятия решения. Особенно остро  эта проблема стоит перед менеджерами, управляющими и инженерами разного  уровня. Зачастую только наиболее важные и трудные решения становятся предметом детального анализа. Даже в сложных ситуациях многие специалисты  считают, что справятся с ситуацией  на интуитивном уровне. В действительности это далеко не всегда так. Неоптимальность решений, принимаемых в жизненных и производственных ситуациях на основе интуитивных соображений, приводит к значительным потерям прибыли, ресурсов и т.п. И чем сложнее ситуация, тем больше могут быть потери.

Методы оптимизации  позволяют решить задачи оптимально, наилучшим образом. Они являются одним из наиболее развивающихся разделов прикладной математики в силу большого многообразия и важности их приложений. В качестве примеров можно указать следующие области применения методов оптимизации:

• технико-экономические системы: планирование, управление, транспортные задачи, распределение кадров, ресурсов;
• численный анализ: аппроксимация, регрессия, решение систем уравнений, численные методы решения задач математической физики;
• технические системы: распознавание образов, оптимальное управление, роботы, управление производством, проектирование систем связи;
• математическая экономика: анализ больших макроэкономических моделей, микроэкономических моделей или моделей предпринимательства, теория принятия решений, теория игр.

Целью данного реферата является  рассмотрение методов оптимизации  и их практическое применение.

 

 

 

 

1.Оптимизация  задач.

1.1.Основные понятия и определения.

Обычно человек хочет  сделать _«как лучше “, но, чтобы не получить плохой результат при самых хороших намерениях, для решения задачи оптимизации нужно прежде всего найти ответы на следующие вопросы:

• Что значит лучше “?
• Что конкретно нужно улучшить?
• За счет чего можно добиться улучшения, что можно изменить?
• В каких пределах можно производить изменения?

Отвечая на первый вопрос, необходимо сформулировать

критерий  оптимальности, т.е. определить те признаки и предпочтения, по которым следует провести сравнительную оценку альтернатив и выбрать среди них наилучшую с точки зрения поставленной цели оптимизации. Именно с этой точки зрения можно ответить на второй вопрос: что конкретно нужно улучшить? Это может быть повышение производительности станка или срока службы технического устройства, снижение массы конструкции летательного аппарата или затрат на его производство и т.п.

Для ответа на два последних  вопроса необходимо располагать математической моделью объекта оптимизации. Эта модель описывает объект при помощи соотношений между величинами, характеризующими его свойства. Обычно хотя бы часть этих величин можно изменять в некоторых пределах, что и порождает множество альтернатив, среди которых и предстоит выбрать наилучшую. Изменяемые при оптимизации величины, входящие в математическую модель объекта оптимизации, называют параметрами оптимизации, а соотношения, устанавливающие пределы возможного изменения этих параметров, — ограничениями. Эти ограничения могут быть заданы в форме равенств или неравенств. Их называют соответственно ограничениями типа равенства или ограничениями типа неравенства.

Если множество параметров оптимизации является подмножеством конечномерного линейного пространства, то говорят о конечномерной задаче оптимизации в отличие от бесконечномерных задач, которые рассматривают в вариационном исчислении и оптимальном управлении. При этом критерием оптимальности может быть требование достижения наибольшего или наименьшего значения одной или несколькими действительными (скалярными) функциями параметров оптимизации, выражающими количественно меру достижения цели оптимизации рассматриваемого объекта. Каждую из таких функций принято называть целевой. Если целевая функция единственная, то задачу конечномерной оптимизации называют задачей математического программирования, а в противном случае — задачей многокритериальной (векторной) оптимизации.

Если целевая функция  и ограничения являются линейными  относительно параметров оптимизации, то говорят о задаче линейного программирования.

При нелинейной зависимости  целевой функции или ограничений  от параметров оптимизации говорят  о задаче нелинейного программирования.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.Линейная оптимизация.

2.1.Симплекс –  метод.

Симплекс-метод является основным численным методом решения  задачи ЛП. Дадим его описание для канонической задачи линейной оптимизации

(c, x) → max, Ax = b, x > O_n; 

Будем считать, что rank A = m, m < n.

В соответствии со сложившейся  в ЛП традицией будем называть векторы x ∈ Ω = {x ∈ Rⁿ |Ax = b, x > O_n} допустимыми планами задачи . Допустимые планы, на которых целевая функция (c, x) принимает максимальное значение, будем называть оптимальными планами задачи.

Очень важным для дальнейшего  является понятие базисного плана. Допустимый план x = (x₁, x₂,..., x_n)^T называется базисным планом задачи, если у него найдется n — m нулевых компонент и при этом остальным компонентам xj₁ ,xj₂,, xj_m будут соответствовать линейно независимые столбцы Aj₁, Aj₂,..., Aj_m матрицы A. Набор этих векторов называется базисом этого базисного плана. Если у базисного плана m положительных компонент, то есть xj₁ > 0, xj₂ > 0, ..., xj_m > 0, то он называется невырожденным. В противном случае, то есть если у него положительных компонент меньше m, его называют вырожденным.

Можно доказать, что в  геометрическом смысле базисный план является вершиной многогранного множества Ω. Известно, что если Ω ≠ 0, то у него имеется, по крайней мере, одна вершина. Кроме того, как следует из геометрической интерпретации задачи ЛП, если задача (2.6) разрешима, то, по крайней мере, одна вершина Ω является оптимальным планом. Следовательно, если найти все базисные планы и подсчитать на них значения целевой функции, то найдем и оптимальные планы.

Симплекс-метод представляет собой вычислительную процедуру, которая по исходному базисному плану x генерирует последовательность базисных планов x¹,x²,...,x^p вместе с их базисами. На очередной p-ой итерации в зависимости от текущего значения параметров делается один из выводов:

1. либо x^p есть решение задачи (2.6),
2. либо задача (2.6) не имеет решения (неограничена),
3. либо строится следующий базисный план x^p+1.

Если при этом в последнем  случае базисный план x^p будет невырожденным,                   то (c,x^p+1) > (c,x^p). 

Если же x^p - вырожденный базисный план, то либо выполняется (??), либо x^p+1 = x^p, а итогом итерации является замена одного базиса плана x^p на другой. Перебор базисов может продолжаться несколько итераций, но обязательно появится базис, при котором осуществляется переход к новому базисному плану с большим значением целевой функции. Эта процедура за конечное число итераций обязательно приводит либо к выводу 1), либо к выводу 2), поскольку число базисных планов конечно.

2.2.Задача о  распределении ресурсов.

Многие практические задачи начинаются оптимизацией распределения  ресурсов. Пусть необходимо производить товары ……'Г_п (, j=1,¯n).Для этого имеются ресурсы (эл. энергия, оборудование, рабочая сила и т.д.) в количествах ,…,(,=1,¯m)единиц. Стоимость единицы ресурса равна д.е. Для производства одной единицы товара надо единиц ресурса . Каждая единица товара может быть реализована по цене .Известно, что рынок не может поглотить более, чем единиц товара .Необходимо составить план производства товара , таким образом, чтобы, хватило ресурсов, а полученная прибыль была максимальной.

Составим математическую модель. Обозначим , j=1, ¯n количество товара j-го типа, которое надо произвести. Тогда, по условию

≥0,≤                                                       (2.1)

                                                                                                              

причём ресурсов должно хватать, т.е.

, (i=1,2,…m)                                       (2.2)                                                                         

Себестоимость единицы товара, равна 

Чистая прибыль от одной  единицы товара есть =- а общая

прибыль будет равна:

                                    (2.3)                                                                             

Задача состоит в следующем: необходимо выбрать такие значения переменных, которые удовлетворяют неравенствам (2.1), (2.2) и обращают в максимум функцию п переменных z из (2.3).

 

2.3 Транспортная задача.

 

Имеется т складов и п пунктов потребления ,, ...,. На складах имеются запасы товаров одного типа в количествах ,,,...,а_т единиц. Пункты потребления подали заявки соответственно на ,,…,,единиц товара. Заявки выполнимы, т.е. сумма всех заявок не превосходит суммы всех имеющихся запасов

 

 

Стоимость перевозки одной  единицы товара со склада в пункт равна ,

i=1,¯m

Требуется составить план перевозок таким образом, чтобы все заявки были выполнены, а общие расходы на перевозки были бы минимальными.

Составим математическую модель. Обозначим через  количество товара, отправленного со склада в пункт . Решение (план перевозок) будет состоять из тхп чисел, т.е. является матрицей:

Х =

 

 

Необходимо выбрать такие  неотрицательные значения переменных, чтобы были выполнены следующие условия:

1. Ёмкость склада не должна быть превышена

 

, (i=1, ¯m)                                            (2.4)

 

2. Поданные заявки должны быть удовлетворены, т.е.

 

, (j=1, ¯n)                                             (2.5)

 

Общая стоимость перевозок  будет равна:

z=+ + …++

+ + + …++

………………………………

++ + …+

 

Необходимо составить  план перевозок, т.е. найти матрицу  такую,

чтобы переменныебыли неотрицательными и удовлетворяли условиям

(2.4) и (2.5), а при этом функция z принимала минимальное значение.

Если сумма всех заявок равна сумме запасов, то из каждого склада будут вывезены все 
                                                 (2.6)

 товары и неравенства  (1.4) обращаются в равенства.

Задача (1.4)-(1.6) называется транспортной задачей

 

3.Нелинейная оптимизация.

3.1  Метод золотого сечения.

Для построения конкретного  метода одномерной минимизации, работающего по принципу последовательного сокращения интервала неопределенности, следует задать правило выбора на каждом шаге двух внутренних точек. Конечно, желательно, чтобы одна из них всегда использовалась в качестве внутренней и для следующего интервала. Тогда число вычислений функции сократится вдвое и одна итерация потребует расчета только одного нового значения функции. В методе золотого сечения в качестве двух внутренних точек выбираются точки золотого сечения.