Автор работы: Пользователь скрыл имя, 16 Декабря 2013 в 18:15, реферат
Дифференциальное уравнение — уравнение, связывающее значение производной функции с самой функцией, значениями независимой переменной, числами (параметрами). Порядок входящих в уравнение производных может быть различен (формально он ничем не ограничен). Производные, функции, независимые переменные и параметры могут входить в уравнение в различных комбинациях или все, кроме хотя бы одной производной, отсутствовать вовсе. Дифференциальное уравнение порядка выше первого можно преобразовать в систему уравнений первого порядка, в которой число уравнений равно порядку исходного уравнения.
Понятие дифференциального уравнения………………………………………3
Определение понятия дифференциальное уравнение…………………………3
Виды дифференциальных уравнений и методы их решения…………………..5
Дифференциальные уравнения первого порядка……………………………….5
Дифференциальные уравнения второго порядка……………………………….9
Дифференциальные уравнения высших порядков…………………………….12
Список литературы…………………………………………………………… 14
В этом случае , и исходное дифференциальное уравнение сведется к . После нахождения его решения p(x) останется вернуться к замене и определить неизвестную функцию y.
Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами
Чтобы определить общее решение таких видов дифференциальных уравнений, во-первых, требуется найти корни характеристического уравнения . Далее, отталкиваясь от значений корней характеристического уравнения, общее решение ЛОДУ записывается в стандартной форме, а общее решение неоднородного уравнения представляется суммой , где - частное решение неоднородного дифференциального уравнения. можно определить методом вариации произвольных постоянных.
В качестве примера ЛНДУ с постоянными коэффициентами приведем , ему соответствует ЛОДУ .
Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков
Общее решение ЛНДУ высших порядков ищется в виде , где - общее решение соответствующего ЛОДУ, а - частное решение неоднородного дифференциального уравнения.
представляет собой линейную комбинацию линейно независимых функций , каждая из которых является частным решением ЛОДУ, то есть, обращает равенство в тождество. Частные решения обычно подбираются из известных систем линейно независимых функций. Подобрать их далеко не всегда просто и возможно, в этом и заключается основная проблема.
Когда общее решение линейного однородного дифференциального уравнения найдено, частное решение соответствующего неоднородного уравнения можно определить методом вариации произвольных постоянных.
Итак, .
Список литературы:
1. Боярчук А.К., Головач Г.П. Справочное пособие по высшей математике: КомКнига, 2006.
2. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения, М.: Наука, 1982.
3. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений, М.: Физматгиз, 1959.