Имитационное моделирование сложных систем

      Необходимо  пояснить, что имеется в виду под логнормальным распределением курсов акций [1].

      Обозначим как S, курс некоторой акции в момент времени t. При логнормальном распределении предполагается, что натуральный логарифм величины “единица плюс доход” от удерживания акции в промежутке между моментами t + Δt распределен нормально со средним значением μ и стандартным отклонением σ. Обозначим процентную ставку дохода за период Δt через (это случайная величина) Тогда можно записать . В логнормальном распределении предполагаем, что ставка дохода за короткий период времени Δt распределена нормально со средним значением μΔt и стандартным отклонением σ²Δt.

      Соотношение между курсами акций  в моменты времени t и t+Δt записать еще и таким образом:

      где Z – стандартная нормальная случайная величина (со средним значением 0 и стандартным отклонением 1). 
 
 
 

      2.1. Свойства курсов акций 

      Каковы  же разумные предположения относительно поведения курсов акций во времени? Очевидно, курс акции (или курсовая цена любого другого подверженного  риску финансового актива) является величиной неопределенной, случайной. Но каково распределение этой величины? Этот вопрос может легко поставить в тупик. Чтобы ответить на него, следует подумать, какие свойства вообще может иметь курс акций с позиций здравого смысла. Можно назвать пять таких общих свойств [1].

      1. Курсовая цена — величина неопределенная. Зная эту цену сегодня, мы  не можем точно сказать, какой  она будет завтра.

      2. Изменения в курсе носят непрерывный  характер. В течение короткого  периода времени изменения невелики, а при сужении интервала времени до нуля к нулю стремится и изменение курса акций ¹.

      3. Курс акций не бывает равен нулю. Это означает, что акции “умерших” компаний исключаются из рассмотрения.

      4. Средний доход от владения  акцией имеет тенденцию возрастать  со временем. Обратите внимание всего – лишь имеет тенденцию. Мы не знаем точно, даст ли акция более высокий доход при ее более длительном удерживании, однако ожидаем, что если подверженный риску финансовый актив удерживать в течение длительного периода, то он в среднем будет давать более высокий доход.

      5. Неопределенность, ассоциируемая с  доходом от удержания акции,  также имеет тенденцию возрастать  со временем. Другими словами,  зная текущий курс акций, можно  утверждать, что дисперсия завтрашнего  курса невелика, когда как дисперсия ожидаемого через месяц курса значительно больше, а ожидаемого через год — еще больше. 

      2.2. Общие свойства и графики курсов акций во времени 

      Чтобы оценить здравость наших суждений о курсах акций, стоит рассмотреть  их изменения во времени за некоторый период, представив эти изменения в виде графика. Например, ниже на рисунке приведены графики изменения курсов некоторых реальных акций во времени.

      Если  бы мы моделировали графики курсов акций (что иногда и будем делать позже в этой главе с использованием логнормальной модели), как бы они выглядели? Согласно общим предположениям, можно было бы ожидать увидеть следующее.

1. Извилистые  линии.

2. Непрерывные  графики без разрывов и скачков.

З. Линии, которые всегда лежат выше нулевой  оси и не пересекают ее, как бы низко не опускались.

4. Среднее  значение по всем возможным  линиям в некоторый момент  времени Выше, чем Начальный курс  акций. Чем дальше вперед по  оси времени, тем больше бы  становилось это среднее.

5. Стандартное  (среднеквадратичное) отклонение по всем возможным линиям увеличивалось бы при движении вперед по оси времени.

      Как можно увидеть в следующем разделе, предположение о нормальном распределении доходов по акциям лежит в основе логнормального закона распределения курсов этих акций. 

2.3. Расчет параметров логнормального распределения 

      Основная  задача этого раздела - показать, как  по данным о курсовой стоимости вычисляются  параметры μ и σ, необходимые для моделирования логнормального распределения, а в следующей главе еще и σ, необходимого как исходный параметр для формулы Блэка-Скоулза. Но, прежде всего, следует отметить, что среднее и дисперсия логарифма дохода с акций за промежуток времени Δt равны:

      Из  этих выражений видно, что как  средний ожидаемый логарифмический  доход, так и дисперсия логарифмического дохода являются линейными во времени.

      Теперь  предположим, что необходимо оценить логнормальные параметры μ и σ по фактической информации о прошлых курсовых ценах. Имеем

      Приведем  конкретный пример. Ниже приведена  таблица Excel, в которой перечислены ежемесячные значения курса некоей акции. По этим ценам рассчитывается логарифмический доход, а также среднее значение и стандартное отклонение, приведенное к годовому интервалу времени [1].

      Стоит обратить внимание, что среднегодовой логарифмический доход в 12 раз больше среднемесячного, тогда как годовое стандартное отклонение в √12 раз больше месячного. В целом, если данные о доходе генерируются за n и периодов в течение года, то справедливы соотношения

      Разумеется, это не единственный способ вычисления параметров логнормального распределения. Нужно упомянуть еще как минимум два метода:

1. Можно тем или иным способом экстраполировать среднее значение и стандартное отклонение будущих доходов на основе их прошлой истории один из примеров такой экстраполяции скользящее среднее.
2. С помощью формулы Блэка-Скоулза можно найти подразумеваемую неустойчивость: величину σ логарифмического дохода по акции, которая соответствует цене опциона на эту акцию [1].

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

3. Модель Блэка-Скоулза 

     В статье, опубликованной в 1973 г., Фишер Блэк и Майрон Скоулз вывели формулу для цен европейских опционов и “пут” на акции без выплаты дивидендов. Их модель является, пожалуй, самой знаменитой моделью в современной финансовой теории. Формула Блэка-Скоулза относительно проста в использовании и при этом часто дает приемлемые приближения для цен на более сложные опционы [1].

      Цель  данной главы – показать “механику” работы модели и её реализацию в Ехсеl.

     Рассмотрим  акцию, курс которой распределен  по логнормальному закону. Для цены опциона “колл” на эту акцию в модели Блэка-Скоулза используется следующая формула:

      

      Здесь введены обозначения

      

      Где С – цена  опциона; S — цена обеспечивающего актива: Х — цена исполнения опциона; Т – срок до исполнения/погашения опциона; r — процентная ставка; σ -  стандартное отклонение логарифма дохода по акции. N обозначает величину стандартного нормального распределения. Предполагается, что по акции не выплачиваются дивиденды до даты Т [2].

      По  теореме о паритете “пут”—”колл” опцион “пут” с тем же сроком погашения Т и той же ценой исполнения Х имеет цену Р=С–S+Xe^(-rt). Подставляя в эту формулу выражение для С и выполняя некоторые преобразования, получим формулу Блэка-Скоулза для опционов “пут”:

3.1. Реализация формул Блэка-Скоулза 

      Формулы Блэка-Скоулза для цен на опционы  колл” и пут” легко реализуют  в таблице Excel. В следующем примере показано, как вычисляется цена опциона “колл” на покупку акции с текущим курсом S = 25 при цене исполнения Х = 25, приведенной годовой процентной ставке r = 6% и σ = 30%. Срок погашения опциона составляет полгода: Т=0,5. Отметим, что все три параметра, Т, r и σ, считаются приведенными к годичному интервалу.

 

3.2. Расчет подразумеваемой волатильности 

      При расчете цен на опционы часто  встречается следующая задача. Пусть известна цена С опциона “колл”, текущий курс обеспечивающего актива S, процентная ставка r, срок погашения опциона Т, а также цена исполнения опциона Х. Требуется найти показатель изменчивости или неустойчивости (волатильности) σ, заложенный в цену опциона С. для примера рассмотрим опцион со следующими параметрами:

• цена опциона – С = 4:
• текущий курс обеспечивающих акций – S = 45:
• цена исполнения опциона – Х = 50;
• процентная ставка – r = 8%;
• срок погашения или исполнения – Т = 1.

      Требуется найти подразумеваемую волатильность σ, т.е. такое стандартное отклонение, при котором формула Блэка-Скоулза для опциона «колл» давала бы цену 4 при остальных известных параметрах. Задача легко решается методом проб и ошибок, если заметить, что цена опциона монотонно возрастает с ростом σ. Ниже приведена таблица данных, соответствующих предыдущему рисунку.

      

 

      Из  таблицы данных становится ясно, что  в цене, равной 4, заложена подразумеваемая  волатильность σ чуть более 25%. Метод проб и ошибок дает значение σ= 25,116%.

 

3.3. «Гонка за сверхприбылью» с помощью опционов 

      В этом разделе представлено простое  применение формулы Блэка-Скоулза. Предположим, вы убеждены, что некоторые акции поднимутся в цене через короткий промежуток времени. Вы хотите купить такие опционы “колл” на эти акции, которые бы дали как можно большую прибыль. С помощью формулы Блэка-Скоулза легко показать, что для этого необходимо [1].

• Покупать опционы «колл» с кратчайшим сроком погашения;
• Покупать в основном “колл” с максимально завышенными ценами исполнения (с максимальным Выигрышем)

      Проиллюстрируем это с помощью таблицы.

 

      В ячейке В18 определена величина “сверхприбыли” по опциону. Это всего-навсего процентное изменение в цене опциона, деленное на процентное изменение в курсе акций (в экономической теории эта величина называется ценовой эластичностью):

      Аналогично  для опциона “пут” такая “сверхприбыль” определяется по следующей формуле (разумеется, в этом случае затею  вообще стоит начинать только при  наличии уверенности, что курс акций  скоро пойдет вниз):

      Эта величина определена в ячейке В19. Чтобы  числа было легче воспринимать и  понимать, мы опустили знак во втором случае и сделали “сверхприбыль” по опциону  «пут» равной N(-d1)S/Р.

      На  следующем рисунке показаны графики  «сверхприбыли» по опционам обоих типов.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Заключение 

      По  своей значимости предложенная формула  Блэка-Скоулза считается одним  из наиболее выдающихся вкладов в экономическую теорию за последние 30 лет, прежде всего, потому, что она создает предпосылки для эффективного управления риском и тем самым способствует осуществлению важнейшей функции финансового рынка - перераспределять риски в пользу тех его участников, которые готовы и способны рисковать [3]. Но сфера применения этой модели намного шире: на ее основе появились новые области исследований - как в рамках экономики финансов, так и вне их.  
Аналогичный подход использован, например, для оценки страховых контрактов и гарантий. Ведь, предоставляя собственнику право на их использование, но, не обязывая его к этому, они являются своеобразными опционами. Еще одной сферой применения формулы Блэка-Скоулза считается принятие решений об инвестициях. Здесь в качестве опциона можно рассматривать большую или меньшую гибкость использования оборудования, в которое вкладываются инвестиции. Оценить нужно именно эту гибкость. Речь может идти, например, о закрытии и повторном открытии производства (шахты при падении цены на уголь) или о легкости его переключения с одного источника энергии на другой (в случае изменения относительной цены на нефть и электроэнергию).