Исследование экономических данных с использованием корреляционно-регрессионного анализа

   1. Вычислим обратную матрицу (табл.4).

 

                         Таблица 4. Обратная матрица С

	Х1	Х5	Х4
Х1	11,058	0,495	-10,818
Х5	0,495	1,491	-1,314
Х4	-10,818	-1,314	12,052

2.Вычислим  F-критерии _, где – диагональные элементы матрицы (таблица 5).

  Таблица 5.Значения F-критерии

F1	F5	F4
154,23	7,529	169,472

3. Фактические значения F-критериев сравниваются с табличным значением Fтабл=2,806845 при n₁=3 и n₂ = n - k – 1=50-3-1=46 степенях свободы и уровне значимости α=0.05,  где k – количество факторов.

4. Так как  значения F-критериев Х1> Fтабл , Х5> Fтабл, Х4 > Fтабл(2,806845), то эти независимые переменные  мультиколлинеарны с другими.

3. Проверка наличия мультиколлинеарности каждой пары переменных:

1. Вычислим частные коэффициенты корреляции по формуле:

                   ,  где – элементы матрицы _C.

r(1,5)=- 0,122;

r(1,4)= 0,937;

r(5,4)= 0.114.

2.Вычислим   t-критерии по формуле _.

t1,5=-0,834;

t1,4= 18,194;

t5,4= 0,778.

 

     Фактические значения t-критериев сравниваются с табличным значением (таблица критических значений t-критериев Стьюдента) при степенях свободы (n - k – 1)=46 и уровне значимости α=0,05: tтабл =2,012896. Так как│t1,4│> tтабл и r(1,4)= 0,937→1  , то между независимыми переменными Х1 и Х4 существует мультиколлинеарность.

   Для того, чтобы избавиться от мультиколлинеарности, можно исключить одну из переменных мультиколлинеарной пары Х1 и Х4. Удалить следует переменную Х4,так как у неё больше значение F-критерия (Х4)=169,472, следовательно она больше влияет на общую мультиколлинеарность факторов.

    Результаты  проведенного теста не опровергают  выводы, сделанные ранее только  на основе корреляционной матрицы.

    б)Выбор факторных признаков для построения регрессионной модели методом исключения

   Для проведения  регрессионного анализа используем  инструмент Регрессия в надстройке Анализ данных в Excel.

   На первом  шаге строится модель регрессии  по всем факторам:

Y= - 165475 – 0,06824Х1+ 0,0841Х5+0,3965Х4.

Таблица 6. Модель регрессии по трем факторам

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
Y-пересечение	-165475	138559	-1,1943	0,238	-444379	113429
Долгосрочные  обязательства Х1	-0,06824	0,0474	-1,4411	0,156	-0,16356	0,02708
Дебиторская задолженность (краткосрочная)Х5	0,0841	0,0269	3,1303	0,003	0,030022	0,13818
Основные  средства Х4	0,3965	0,0596	6,6561	3E-08	0,276593	0,51641

  

      Tтабл= 2,012896 , при 5%-м уровне значимости и 46 степенях свободы (50-3-1=46), найдено с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР.

 

Статистически незначимым tтабл>|tрас| оказался фактор Х1. На следующем этапе пошагового отбора удаляем статистически незначимый фактор .

Таблица 7. Фрагмент двухфакторного регрессионного анализа

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
Y-пересечение	-120917,83	136603,649	-0,88517277	0,38056978	-395729	153893
Дебиторская задолженность (краткосрочная)Х5	0,0887723	0,0269751	3,29089818	0,001899091	0,034505	0,14304
Основные средства Х4	0,31610136	0,0211216	14,9657842	1,67332E-19	0,27361	0,35859

 

    Из Таблицы 7 видно, что уравнение с двумя факторами Х5,Х4 обладает статистически значимыми коэффициентами перед факторами (в нем незначим только свободный член), а, значит, и сами эти факторы статистически значимы. Процесс исключения останавливается на том шаге, при котором все регрессионные коэффициенты значимы.

Таким образом, в результате пошагового отбора получено двухфакторное уравнение регрессии, все коэффициенты которого (кроме  свободного члена) значимы  при 5%-ном уровне значимости, вида

Y=-120917,83+0.0887723X5+0,31610136X4,

где Y –прибыль (убыток), Х5- дебиторская задолженность(краткосрочная), Х4 – основные средства.

3. Построение уравнения множественной регрессии в линейной форме с выбранными  факторами. Экономическая интерпретация коэффициентов модели регрессии.

    В  результате применения различных  подходов к выбору факторов  пришли к выводу о необходимости  включения в модель двух факторов – Дебиторская задолженность (краткосрочная) и Основные средства.

   Уравнение зависимости  Прибыли от суммы краткосрочной Дебиторской задолженности и вложений в Основные средства можно записать в следующем виде:

                           Y=-120917,83+0.0887723X5+0,31610136X4

Рис.4.Применение Регрессии из Анализа данных для получения параметров множественной регрессии.

 Таблица 8. Вывод итогов для двухфакторной модели

ВЫВОД ИТОГОВ		шаг 2-ой
Регрессионная статистика
Множественный R	0,94909
R-квадрат	0,90078
Нормированный R-квадрат	0,89655
Стандартная ошибка	904316
Наблюдения	50

 

  Таблица 9.

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
Y-пересечение	-120918	136604	-0,8852	0,38057	-395729	153893
Дебиторская задолженность (краткосрочная)Х5	0,08877	0,02698	3,2909	0,0019	0,03451	0,14304
Основные средства Х4	0,3161	0,02112	14,9658	1,7E-19	0,27361	0,35859

 

 Коэффициент  регрессии αj показывает , на какую величину в среднем изменится результативный признак Y , если переменную xj увеличить (уменьшить) на единицу измерения .

     В нашей  задаче , например, величина , равная 0,32(коэффициент при x4),показывает что при увеличении(уменьшении) основных средств на 1тыс. рублей, прибыль (убыток) от добычи нефти увеличится(уменьшится) на 0,32 тыс. рублей, а при увеличении(уменьшении) краткосрочной дебиторской задолженности на 1тыс.рублей, прибыль(убыток) увеличится (уменьшится) на 0,09 тыс.рублей.

4. Оценка силы связи факторов с результатом с помощью коэффициентов эластичности, b - и D - коэффициентов.

      Учитывая, что коэффициенты регрессии невозможно использовать для непосредственной оценки влияния факторов на зависимую переменную из-за различия единиц измерения и разной колеблемости факторов, используем коэффициенты эластичности ,  бета-коэффициенты и D - коэффициенты:

           Эластичность:

,

где – коэффициент регрессии, стоящий перед фактором в уравнении регрессии. Средние значения переменных легко найти с помощью статистической функции Excel СРЗНАЧ.

Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов изменяется зависимая переменная при изменении фактора на один процент:

                  Э4=0,31610136*2467177/826148=0,944;

                  Э5=0,0897723*1883335/826148=0,205.

   Коэффициент эластичности Э4 показывает, что при увеличении основных средств на 1% прибыль (убыток) увеличится(уменьшится) на 0,944%.

   Коэффициент эластичности Э5 показывает. что при увеличении краткосрочной дебиторской задолженности на 1% прибыль увеличится на 0,205%.

Бета-коэффициенты:

                             

где , – среднеквадратические отклонения (стандартные ошибки) соответствующих переменных, которые легко находить с помощью статистической функции СТАНДОТКЛОН.

             ßх4=0,31610136*7413147/2811672=0,834;

             ßх5=0,0887723*5804523/2811672=1,833.

Бета-коэффициент с математической точки зрения показывает, на какую часть величины среднеквадратического отклонения  меняется среднее значение зависимой переменной с изменением независимой переменной на одно среднеквадратическое отклонение при фиксированных на постоянном уровне значениях остальных независимых переменных. Это означает, что при увеличении Основных средств на 7413147тыс.рублей Прибыль увеличится на 2344934тыс.рублей (0,834*2811672).

Долю влияния  конкретного фактора в суммарном  влиянии всех факторов можно оценить по величине дельта-коэффициентов D :

                                           ,

где – коэффициенты парной корреляции (из табл.2), – коэффициент детерминации.

                          ∆4=0,937*0,834/0,901=0,868;

                          ∆5=0,654*1,833/0,901= 1,331.

 Вывод: на размер Прибыли (убытка) более сильное влияние оказывает фактор Основные средства.

5.Расчет параметров  линейной парной регрессии для  наиболее подходящего фактора  Х4.

Применение  инструмента Регрессия (Анализ данных в EXCEL).

Для проведения регрессионного анализа выполняем следующие действия:

1. Выбираем команду Сервис→Анализ данных.
2. В диалоговом окне Анализ данных выбираем инструмент Регрессия.
3. В диалоговом окне Регрессия в поле Входной интервал Y вводим адрес одного диапазона ячеек, который представляет зависимую переменную. В поле Входной интервал Х вводим адрес диапазона, который содержит значения независимых переменных Х4.
4. Так как выделены и заголовки столбцов, то устанавливаем флажок Метки в первой строке.
5. В поле Остатки поставим флажок для получения в протоколе значений остаточной компоненты.

 

 

Рис. 5. Вывод  итогов при использовании пакета Анализ данных/Регрессия для Х4

Таблица 10.Регрессионная статистика

Регрессионная статистика
Множественный R	0,936970251
R-квадрат	0,877913252
Нормированный R-квадрат	0,875369778
Стандартная ошибка	992604,6102
Наблюдения	50

 

Пояснение к  таблице 10.

Регрессионная статистика
№	Наименование в отчете EXCEL	Принятые наименования	Формула
1	Множественный R	Коэффициент множественной  корреляции, индекс корреляции
2	R-квадрат	Коэффициент детерминации, R2
3	Нормированный R-квадрат	Скорректированный R2
4	Стандартная ошибка	Среднеквадратическое  отклонение от модели
5	Наблюдения	Количество наблюдений, n	n