Контрольная работа по "Эконометрическому моделированию"

 

Линейное уравнение трёхфакторной  модели регрессии имеет вид:

ŷ = -4,997+1,676Х₃ -0,708Х₅ - 1,117Х₆

а3 = 1,676 – коэффициент регрессии, а3 > 0 – связь прямая, то есть если увеличить площадь квартиры (х3), то цена квартиры увеличиться на 1,676 тыс. долларов.

а5 = -0,708 – коэффициент регрессии, а5 < 0 – связь обратная, то есть чем ниже этаж квартиры (х5), тем цена квартиры уменьшиться на 0,708 тыс. долларов.

а6 = -1,117 коэффициент регрессии, а6 < 0 – связь обратная, то есть если уменьшить площадь кухни (х6), то цена квартиры уменьшиться на 1,117 тыс. долларов.

Проверим значимость параметров по критерию Стьюдента

Значимость коэффициентов уравнения регрессии a₃, а5, а6 оценим с использованием t-критерия Стьюдента. t – критерий Стьюдента табличное можно найти с помощью инструмента Функция (Меню - Вставка в EXCEL). Для этого необходимо выполнить следующее:

1. МенюÞ Вставка Þ ФункцииÞ СТЬЮДРАСПОБРÞОК.
2. В поле Вероятность (α) ставим 0,05
3. В поле Степени свободы(v = n-k-1)  ставим 36 (v = 40-3-1)

                             t табл. (а = 0,05;36) = 2,028

Если t расч > t табл коэффициенты корреляции У с Х статистически значимые.

Расчетные значения критерия Стьюдента приведены в  графе t-статистика Таблицы 8 «Вывод итогов по всем значимым факторам Х».

для параметра а₃ t_a3=8,654, t_a3  > t_табл 2,028, коэффициент a₃ значим

для параметра а₅ t_a5=-0,622, t_a5< t_табл 2,028, коэффициент a₅ не значим

для параметра а₆ t_a6=-0,612, t_a6< t_табл 2,028, коэффициент a₆ не значим

Исключаем из модели фактор Х6, имеющий наименьшее по модулю значение критерия Стьюдента.

Результаты итогов построения двухфакторной  модели множественной регрессии  представлены в таблице 9.

Таблица 9

Вывод итогов по двухфакторной модели множественной регрессии

Регрессионная статистика
Множественный R	0,893549679
R-квадрат	0,798431029
Нормированный R-квадрат	0,787535409
Стандартная ошибка	26,40773904
Наблюдения	40
Дисперсионный анализ
		df		SS	MS	F	Значимость F
Регрессия		2		102206,4	51103,18	73,28	1,35468E-13
Остаток		37		25802,64	697,3687
Итого		39		128009

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
Y-пересечение	-10,5888	12,37507	-0,85566	0,397693	-35,6631	14,485	-35,6631	14,4854
X3	1,59016	0,131772	12,0675	2,16E-14	1,3231	1,8572	1,3231	1,85716
X5	-0,7353	1,127053	-0,65242	0,518163	-3,0189	1,5483	-3,0189	1,54831

 

 

Проверяем значимость коэффициентов  уравнения двухфакторной модели множественной регрессии по критерию Стьюдента. t – критерий Стьюдента табличное можно найти с помощью инструмента Функция (Меню - Вставка в EXCEL). Для этого необходимо выполнить следующее:

1. МенюÞ Вставка Þ ФункцииÞ СТЬЮДРАСПОБРÞОК.
2. В поле Вероятность (α) ставим 0,05
3. В поле Степени свободы(v = n-k-1)  ставим 36 (v = 40-2-1)

                             t табл. (а = 0,05;37) = 2,026

Если t расч > t табл коэффициенты корреляции Y с Х статистически значимые.

Расчетные значения критерия Стьюдента приведены в  графе t-статистика Таблицы 9 «Вывод итогов по двухфакторной модели множественной регрессии».

для параметра а₃ t_a3=12,068, t_a3> t_табл 2,026, коэффициент a₃ значим

для параметра  а₅ t_a5=-0,652, t_a5< t_табл 2,026, коэффициент a₅ не значим

Исключаем фактор Х5, т.к. он не значим, в модели остается фактор Х3. Параметры линейной парной регрессии для фактора Х3 (общая площадь квартиры, кв.м.) рассмотрены ранее, представлены в таблице 5 «Вывод итогов по фактору Х3»

Проверяем значимость коэффициентов  уравнения однофакторной модели множественной регрессии по критерию Стьюдента. t – критерий Стьюдента табличное можно найти с помощью инструмента Функция (Меню - Вставка в EXCEL). Для этого необходимо выполнить следующее:

1. МенюÞ Вставка Þ ФункцииÞ СТЬЮДРАСПОБРÞОК.
2. В поле Вероятность (α) ставим 0,05
3. В поле Степени свободы(v = n-k-1)  ставим 38 (v = 40-1-1)

                             t табл. (а = 0,05;38) = 2,024

Расчетные значения критерия Стьюдента  приведены в  графе t-статистика в таблице № 5 Вывод итогов по фактору Х3 (Общая площадь квартиры, кв.м.)

для параметра а₃ t_a3=12,18, t_a3> t_табл 2,024, коэффициент a₃ значим

Уравнение линейной парной регрессии для фактора  Х₃ ŷ = -14,9 +1,6´ x

Вывод: Если увеличить  общую площадь квартиры, то цена на квартиру увеличиться на 1,6 тыс. долл.

 

Задание 7. Оценить качество построенной модели. Улучшилось ли качество модели по сравнению с однофакторной моделью? Дать оценку влияния значимых факторов на результат с помощью коэффициентов эластичности, β- и ∆- коэффициентов.

 

Качество построенной модели оцениваем  по выполнению предпосылок метода наименьших квадратов (МНК), а именно гомоскедастичность остатков.

Гомоскедастичность остатков –  дисперсия каждого отклонения ( ) одинакова для всех X. Если дисперсия остатков неодинакова, то имеет место гетероскедастичность. Для оценки гетероскедастичности используется метод Гольдфельда – Квандта, который включает в себя следующие шаги:

1) Упорядочение n наблюдений по  мере возрастания переменной Х;

2) Исключение d центральных наблюдений;

3) Разделение полученной совокупности  на 2 группы (соответственно с малыми  и большими значениями фактора)  и определение для каждой из  групп уравнений регрессии;

4) Определение остаточной суммы  квадратов для первой (S₁) и второй (S₂) групп;

5) Нахождение расчетного критерия  Фишера:

Если F_расч >F_табл(α; k₁; k₂)- гетероскедастичность имеет место, так как нарушается предпосылка о равенстве дисперсий остаточных величин, свойство гомоскедастичности остатков не выполняется.

Выполнения метода Гольдфельда  – Квандта:

1. Упорядочение n наблюдений по мере возрастания переменной Х₃

Таблица 10

Упорядоченные наблюдения по мере возрастания  фактора Х₃

Номер наблюдения	Y	X3
54	38	29
45	67	32
66	39	32
65	45	32,8
68	40	32,8
72	40	34
62	41	35
51	42	36
41	38	41,9
73	67	47
75	100	57
46	93	57,2
44	61,1	58,1
77	70,3	58,1
56	85	60
61	60	60
43	125	67
42	62,2	69
64	83	69,5
60	160	70
69	80	71,3
52	125	72,9
50	105	75
63	90	75
57	98	80
76	105	80
48	132	81
74	123	81
78	82	81,1
59	85	85
49	92,5	89,9
53	170	90
67	86,9	97
58	128	104
47	118	107
55	130,5	108
80	200	108,4
70	227	147
71	235	150
79	280	155

2. Исключение d центральных наблюдений, где ,

Исключение d центральных наблюдений показано заштрихованным участком в таблице 10 «Упорядоченные наблюдения по мере возрастания фактора Х3» 

 

При исключение 10 центральных наблюдений получим следующую таблицу:

Таблица 11

 

Упорядоченные наблюдения по мере возрастания  фактора Х₃ по первым 15 значениям (n₁=15) и вторым 15 значениям (n₂=15)

Упорядоченные наблюдения по мере возрастания фактора  Х3 по первым 15 значениям (n1=15)
Номер наблюдения	Y	X3
54	38	29
45	67	32
66	39	32
65	45	32,8
68	40	32,8
72	40	34
62	41	35
51	42	36
41	38	41,9
73	67	47
75	100	57
46	93	57,2
44	61,1	58,1
77	70,3	58,1
56	85	60
Упорядоченные наблюдения по мере возрастания фактора  Х3 по вторым 15 значениям (n2=15)
Номер наблюдения	Y	X3
76	105	80
48	132	81
74	123	81
78	82	81,1
59	85	85
49	92,5	89,9
53	170	90
67	86,9	97
58	128	104
47	118	107
55	130,5	108
80	200	108,4
70	227	147
71	235	150
79	280	155

 

3) Разделение полученной совокупности  на 2 группы (соответственно с малыми и большими значениями фактора) и определение для каждой из групп уравнений регрессии.

Разделение полученной совокупности на 2 группы представлено в таблице 11 «Упорядоченные наблюдения по мере возрастания фактора Х₃ по первым 15 значениям (n₁=15) и вторым 15 значениям (n₂=15)»

Построение уравнения регрессии  для каждой группы:

А) Построение уравнения регрессии для первых 15 значений Х3:

Регрессионный анализ можно выполнить  с помощью инструмента Регрессия (Сервис – Анализ данных в EXCEL). Для этого необходимо выполнить следующее:

1. Выберем команду Сервис Þ Анализ данныхÞ РегрессияÞ ОК.
2. В диалоговом окне Регрессия в поле Входной интервал Y введём исходные данные по Y (Цена квартиры, тыс. долл.) по первым 15 значениям из таблицы 11. В поле Входной интервал Х введём исходные данные по Х3 (Общая площадь квартиры, кв.м.) – по первым 15 значениям из таблицы 11.
3. Если выделены и заголовки столбцов, то установить флажок Метки в первой строке.
4. Выберем параметры вывода. В данном задании выберем выходной интервал ячейку $А$230 Þ ОК.

Таблица 12

Вывод итогов по первым 15 значениям (n₁=15)

 

Регрессионная статистика
Множественный R	0,814379288
R-квадрат	0,663213624
Нормированный R-квадрат	0,63730698
Стандартная ошибка	13,039411
Наблюдения	15
Дисперсионный анализ
		df		SS	MS	F	Значимость F
Регрессия		1		4352,695	4352,695	25,60014	0,000218701
Остаток		13		2210,341	170,0262
Итого		14		6563,036