Основные типы моделей

Балансовый характер таблицы выражается в том, что

,

.

Основу экономико-математической модели МОБ составляет матрица коэффициентов прямых затрат . Коэффициент прямых затрат показывает, какое количество продукции i-ой отрасли необходимо (если учитывать только прямые затраты) для производства единицы продукции j-ой отрасли:

,      (3)

Для дальнейшего рассмотрения модели Леонтьева нужно сделать два важных предположения.

Первое состоит в том, что сложившуюся технологию производства считаем неизменной. Таким образом, матрица постоянна.

Второе состоит в постулировании свойства линейности существующих технологий, т.е. для выпуска j-ой отраслью любого объема продукции Xj необходимо затратить продукцию отрасли i в количестве aijXj, т.е. материальные издержки пропорциональны объему производимой продукции:

       (4)

Подставляя (4) в балансовое соотношение (2), получаем:

      (5)

или в матричной форме

       (6)

С помощью этой модели можно выполнять три вида плановых расчетов:

►Задав в модели величины валовой продукции каждой отрасли (Xi), можно определить объемы конечной продукции каждой отрасли (Yi):

Y=(E-A)X       (7)

►Задав величины конечной продукции всех отраслей (Yi), можно определить величины валовой продукции каждой отрасли (Xi):

X=(E-A)-1Y       (8)

►Задав величины валовой продукции для ряда отраслей и объемы конечной продукции для всех остальных отраслей, можно найти величины конечной продукции первых отраслей и объемы валовой продукции вторых.

В формулах (7) и (8) E – единичная матрица n-го порядка, а (E-A)-1 – матрица, обратная к матрице (E-A). Если определитель матрицы (E-A) не равен нулю (т.е. эта матрица невырожденная), то обратная к ней матрица существует. Обозначим эту обратную матрицу через В=(Е-А)-1, тогда систему уравнений (8) в матричной форме можно записать в виде

X=B∙Y.

Элементы матрицы В называются коэффициентами полных затрат. Они показывают, сколько всего нужно произвести продукции i-ой отрасли для выпуска в сферу конечного использования единицы продукции j-ой отрасли.

Плановые расчеты по модели Леонтьева можно проводить, если выполняется условие продуктивности.

Будем называть неотрицательную матрицу А продуктивной, если существует такой неотрицательный вектор X≥0, что

X

AX .       (9)

Очевидно, что условие (9) означает существование положительного вектора конечной продукции Y 0 для модели межотраслевого баланса (6).

Для того, чтобы матрица коэффициентов прямых затрат А была продуктивной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из перечисленных ниже условий:

1. матрица (Е-А) неотрицательно обратима, т.е. существует обратная матрица (Е-А)-1≥0;

2. матричный  ряд Е+А+А2+А3+…= сходится, причем его сумма равна обратной матрице (Е-А)-1;

3. наибольшее  по модулю собственное значение  λ матрицы А, т.е. решение характеристического  уравнения  , строго меньше единицы;

4. все главные  миноры матрицы (Е-А), т.е. определители  матриц, образованные элементами  первых строк и первых столбцов  этой матрицы, порядка от 1 до n, положительны.

Более простым, но только достаточным условием продуктивности матрицы А является ограничение на величину ее нормы, т.е. на величину наибольшей из сумм элементов матрицы А в каждом столбце: если норма матрицы А строго меньше единицы, то эта матрица продуктивна. Данное условие является только достаточным, и матрица А может оказаться продуктивной и в случае, когда ее норма больше единицы.

С помощью модели международной торговли (линейная модель обмена) можно определить, какими должны быть соотношения между государственными бюджетами стран, торгующих между собой, чтобы торговля была взаимовыгодной.

Рассмотрим модель международной торговли, в которой участвуют n стран. Обозначим:

xi – национальный доход i-ой страны;

aij – доля национального дохода j-ой страны, которую она расходует на закупку товаров i-ой страны;

pi – общая выручка от внешней и внутренней торговли для i-ой страны.

Предположим, что каждое государство расходует весь свой национальный доход на закупку товаров внутри страны и на импорт из других стран. Это означает, что

Матрица А, элементами которой являются коэффициенты aij, называется структурной матрицей торговли. Сумма элементов каждого столбца этой матрицы равна единице.

Предположим, что в течение определенного фиксированного промежутка времени структура международной торговли не меняется (не меняется структурная матрица торговли), а национальные доходы торгующих стран могут измениться.

Требуется определить, какими могут быть эти национальные доходы, чтобы международная торговля осталась сбалансированной, т.е. чтобы сумма платежей всех государств была равна суммарной выручке от внешней и внутренней торговли.

Для любой страны выручка от внешней и внутренней торговли составит:

pi=ai1x1+ai2x2+…+ainxn.

В сбалансированной системе международной торговли не должно быть дефицита, т.е. у каждой страны выручка от торговли должна быть не меньше ее национального дохода:

pi≥xi, i=

.

Последнее неравенство справедливо только в случае, когда pi=xi, i= , т.е. у всех торгующих стран выручка от внешней и внутренней торговли должна совпадать с национальным доходом.

В матричной записи это означает, что имеет место  равенство AX=X, где A – структурная матрица международной торговли, а X – вектор национальных доходов.

Вектор X является собственным вектором структурной матрицы торговли A, а соответствующее собственное значение равно единице. Отсюда следует, что баланс в международной торговле будет достигнут, если единица является собственным значение структурной матрицы международной торговли, а вектор национальных доходов торгующих стран – собственным вектором, отвечающим этому единичному собственному значению.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Межотраслевой баланс Леонтьева

 

Межотраслевой баланс (МОБ) представляет собой инструмент анализа и прогнозирования структурных взаимосвязей в экономике. Метод его построения состоит в двойственном рассмотрении различных отраслей и секторов экономики: с одной стороны, как потребляющих, с другой – как выпускающих те или иные виды товаров и услуг для собственного потребления и нужд других отраслей экономики.

Межотраслевой баланс – это «шахматная таблица» отраслей, в которой по вертикали показываются материальные затраты на производство продукции определенной отрасли хозяйства, по горизонтали – количество продукции,  переданное из одной отрасли в другие на производственные нужды (промежуточный продукт), а также конечное потребление продукции отраслью. Используя эти данные, можно определить удельные затраты какого-либо ресурса на выпуск конечного продукта. Для этого выбранный показатель столбца или строки делится на величину валового продукта. Например, разделив величину затрат электроэнергии на объем продукции машиностроения, получим удельное электропотребление машиностроительного производства.

Показатели валовой добавленной стоимости и ее элементов имеют давнюю историю изучения в экономической теории. Добавленная стоимость и ее составляющие и сегодня остаются одним из главных предметов изучения и анализа в экономической науке. Метод «затраты - выпуск» обладает широчайшими возможностями анализа и моделирования показателей валовой добавленной стоимости, факторов производства и других макроэкономических параметров. Помимо того, что показатели III квадранта позволяют сравнительный анализ элементов  ВДС в разрезе отраслей и их структурных сдвигов, в рамках МОБ могут быть рассчитаны макроэкономические показатели, которые не могут быть найдены иными методами.

В наиболее агрегированной схеме МОБ СНС выделяют три основные части, или квадранта (см. табл.).

Общая схема МОБ

 

Выпуск	Промежуточное потребление	Конечное использование	Всего использовано
Затраты	Отрасли экономики	Конечное потребление	Валовое накопление	Экспорт

Наиболее важным показателем III квадранта является оплата труда. Она представляет собой доход рабочей силы и является основным компонентом доходов населения. МОБ предоставляет возможность моделирования оплаты труда, а также занятости на основе различных исходных предпосылок, и исследовать влияние широкого круга факторов, относящихся к производственным технологиям, конечному потреблению и другим. Сценарные прогнозы по статической модели предполагают учет влияния изменений в спросе и выпуске различных отраслей на изменение занятости и фонда оплаты труда, как по отраслям, так и в экономике в целом,  при неизменных величинах трудоемкости продукции отраслей и средних ставках заработной платы.

К основным показателям, рассчитываемым с помощью МОБ, исходя из поэлементной структуры добавленных стоимостей в III квадранте, относятся коэффициенты полных затрат элементов добавленной стоимости и коэффициенты полных затрат труда и капитала, справочно рассчитываемых в рамках III квадранта. Каждый коэффициент представляет собой полные затраты элемента ВДС или фактора производства на единицу конечного спроса соответствующей отрасли.

Таким образом, если рассматривать данные МОБ по вертикали, то по колонкам отражается стоимостная структура валового выпуска отдельных отраслей, включающая промежуточное потребление (квадрант I) и валовую добавленную стоимость (квадрант III). По горизонтали, т.е. по строкам, отслеживается натурально-вещественный состав валового выпуска, используемого на промежуточное потребление (квадрант I) и конечное использование (квадрант II).

Центральным направлением исследований в области анализа полных затрат элементов добавленной стоимости и факторов производства является оценка возможного влияния изменений в конечном спросе на данные показатели. Однако, простое использование в этом случае коэффициентов полных затрат может приводить к не совсем правильным выводам из-за неучета масштаба отраслей. В частности, существуют такие отрасли, которые, в силу различных причин, имеют высокую трудоемкость, но занимают незначительную долю в производстве, а, следовательно, и в общей занятости, и потенциал роста которых невелик. Для преодоления этих недостатков коэффициентов полных затрат в анализе роли отрасли в производстве компонентов добавленной стоимости или создании рабочих мест используются коэффициенты эластичности суммарного показателя (компонента добавленной стоимости или используемого фактора производства) по объему конечного спроса определенной отрасли.

В системе макроэкономического моделирования и прогнозирования особая роль принадлежит прогнозам доходов и потребления населения. Прогнозы уровня жизни населения, в рамках макроэкономического прогнозирования, являются главным ориентиром в выборе тех или иных методов государственного регулирования экономики. Высокая доля доходов населения в сумме первичных доходов секторов региона, а также высокий удельный вес конечного спроса домашних хозяйств в совокупном конечном спросе указывает на то, что домашние хозяйства являются основной движущей силой изменений в структуре производства.

Закрытие модели МОБ по домашним хозяйствам представляет собой  широкие возможности моделирования поведения производственной системы во взаимосвязи с процессами, происходящими в сфере образования, распределения и потребления доходов населения. В отечественной практике общепризнанным инструментом моделирования спроса населения является дифференцированный баланс доходов и потребления населения. Учитывая различные склонности к потреблению у различных групп населения, можно рассчитывать изменения макроэкономических параметров, обусловленные изменениями величины дохода разных групп населения в результате изменения общего дохода и его перераспределения между доходными группами.

Для использования в вышеуказанных целях были разработаны методики построения III квадранта регионального МОБ и дифференцированного баланса доходов и потребления населения.

Также может быть проведен анализ экономики с использованием межотраслевого баланса Леонтьева.

Дан отчетный баланс в натуральном выражении для трехотраслевой системы в форме таблицы 1.

Таблица 1. Отчетный баланс

 

Отрасли	Межотраслевые материальные потоки	Домашние хозяйства	Валовая продукция
	с/х	Промышленность	Прочие
Сельское хозяйство	30	20	10	40	100
Промышленность	20	50	30	100	200
Прочие	40	20	-	40	100
Добавленная стоимость, руб.	200	300	250	-	-