Симплекс әдісі

ЖОСПАР

 

І.	Кіріспе
ІІ.	Негізгі бөлім
	2.1.Симплекс әдісі
	2.2.Симплекс әдісімен есеп шығару
	2.3.Жасанды базисі бар симплекс әдісі
	2.4.Экономикалық-математикалық  модельдердің жалпы        мәселелері
ІІІ.	Қорытынды
ІV.	Пайдаланылған әдебиеттер

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

КІРІСПЕ

К. Маркстің «Ғылым математиканы пайдалануға мүмкіндігі болса кемелдікке жетеді» - деген  тезисінің әділдігі күннен-күнге  дәлелдене түсуде. Математикалың  әдістер мен компьютерлік технологиялар нарықтың даму жағдайында жоспарлау мен жедел басқару мақсаттары үшін экономикалық зерттеулердің күнделікті әрекетіне ойдағыдай кірігуі - бүгінгі күн тіршілігінің шынайы көрінісі.

Қазақстанда жүргізлеетін макроэкономикалық саясатты, белең алған  макро-микроэкономикалық үдерістердің теориялық мәнін түсіну және сонымен бірге математикалық, ақпараттың модельдеу тұтастай білім беру бағытында да (жоғары оқу орындарында), сонымен бірге экономистердің айтарлықтай бөлігін арнайы даярлауды сөзсіз қажет етеді.

Президент Н.Ә. Назарбаев Л.Н. Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университетіндегі өз лекциясында: «Талдаудың математикалық әдісттрін инженерлер, экономистер, заңгерлер, құрылысшылар, мемлекет қайраткерлерінің барлығы да игеруге тиіс» деп ерекше атап өтті.

Қазіргі таңда  математикалық әдістер қайсыбір дәрежеде пайдаланылмайтын адамзат тіршілігінің саласын табу қиын. Экономикалық қызмет те осыны дәлелдейді. Алайда осы күнге дейін экономикалық үдерістерді модельдеу саласында айтарлықтай табысқа жету байқалмайды.

Біздің ойымызша, осы жағдайды төмендегі себептермен түсіндіруге болады:

1. Экономикалық үдерістер әжептәуір шамада ретсіз,  басқарусыз өрбиді. Олар саяси, мемлекеттік және жекелеген салалардың шаруашылық басшыларының тарапынан ел экономикасын тұтастай жігерлі басқару әрекетіне бағынбайды. Осы   себептен   экономикалық  жүйелер  нашар  зерттеліп, формалы түрде сипатталған.
2. Экономика саласы мамандарының, әдетте, математикалық 
   жалпы, атап айтқанда, математикалақ модельдеу мәселелері бойынша   даярлығы   нашар.    Олардың   басым   көпшілігі қадағаланатын экономикалық үдерістерді нысандандырылған түрде сипаттай (нысан құра) алмайды. Осының салдарынан қарастыратын экономикалық жүйе сол немесе басқа математикалық моделъдің   сәйкестігін     анықтауға мүмкіндік бермейді.

Математикалық модельдеу саласындағы мамандардың қолында экономикалық үдерістің нысандандырылған сипаты болмағандықтан олар оған сәйкес математикалық модель құра алмайды.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Симплекс әдісі

Сызықтық бағдарлама есебінің оңтайлы шешімдері көпбұрыштың бұрыштық нүетелерімен байланысты. Егер айнымалалар саны n=50,теңсіздіктер саны m=25 болса, онда базистік жоспарлар саны 10¹⁴ болады. Сонда м және н үлкен сан болса, онда барлық негізге алынатын жоспарларды іріктей отырып, оңтайлыны табу өте көп есептеуді қажет етеді. Сондықтан бір негізге алынатын жоспардан екіншіге ауысуға мүмкіндік беретін әдіс болуға тиіс. Осындай әдіс симплекс әдісі деп аталады. Есептеулердің әрқайсысында осы функцияның өткен жоспардағы мәнімен салыстырғанда мақсатты функциядан кем немесе артық мәніне сәйкес келетін жаңа жоспар табылды. Есептеулерді оңтайлы жоспар алынғанға дейін жалғасады. Егер мәселенің оңтайлы  шешімі болмаса, онда симплексті әдіс оны есептеу кезеңінде анықтауға мүмкіндік береді.

Алғашқы жоспар құру. Сызықтық бағдарлама есебі қойылған болсын. Төмендегі функцияның барынша аз мәнін табу қажет.

F=C₁X₁+ C₂X₂+… +C_nX_n                                               (5.1)

мына шектеулерде

    а₁₁х₁+ а₂₁х₂+... +а_1nхn=В₁                      

    а₂₁х₁+ а₂₂х₂+... +а_2nхn=В₂   

     ..........................................                                         (5.2)

    а_m1х₁+ а_m2х₂+... +а_mnх_n=В_m

мұнда,

х_j>=0, (i=1,2,…,m).                             (5.3)

Шектеу жүйесінің m бірлік векторлары болсын деп ұйғарсақ, онда ол алғашқы m векторлар болады. Осыдан (5.1) – (5.3) есепті алғашқы m векторларға сәйкес түрлендіріп жазамыз:

F=C₁X₁+ C₂X₂+… +C_nX_{n ,}                    (5.4)

мына шектеулерде

X₁+a¹₁,_m+1X_m+1+a¹₁,_m+2X_m+2+…+a¹_1.nx_n=B¹₁

X₂+a₂,_m+1X_m+1+a₂,_m+2X_m+2+…+a¹_2.nx_n=B¹₂                        (5.5)

_{……………………………………………………………………}

X_m+a¹_m,_m+1X_m+1+a¹_m,_m+2X_m+2+…+a¹_m.nx_n=B¹_m     

х_j>=0, j=1,2,…,n.                                                  (5.6)

 

Жүйені (5,5) векторлық  формада жазамыз:

x₁A₁+x₂A₂+…+x_mA_m+x_m+1A_m+1+x_nA_n=B                                 (5.7)

 

А₁, А₂,...,А_m векторлар – m өлшемді кеңістіктің сызықтық тәуелсіз бірлік векторлары. Сондықтан (5.7) өрнекте базистік айнымалылар ретінде x_1,x_2,…,x_m. Ал еркін айнымалылар ретінде x_m+1,x_m+2,…,x_n таңдаймыз, оларды нөлге теңестіріп, базистік айнымалыларды анықтаймыз. Мұнда в_і>=0 (і=1,2,... m), ал А₁, А₂,..., А_m бірлік векторлар екенін ескерсек, онда алғашқы жоспарды аламыз:

Х_о=(х₁=в₁; х₂=в₂; ... х_m=в_m; х_m+1=0;   ... х_n=0) (5.8)

Жоғарыдағы (5.7)-ден (5.8) жоспарды ескерсек, төмендегі жіктеу шығады:

x₁А₁+х₂А₂+... + х_m,А_m = В,                               (5.9)

мұнда А₁, А₂, ...А _m векторлар сызықтық тәуелсіз, демек, құрылған жоспар базис болып табылады.

1-анықтама. Еркін белгісіздердің нөл мағыналарына сәйкес келетін шектеулер жүйесінің (5.2) шешімі базистік деп аталады.

Бастапқы негізге алынатын жоспарға (5.9) сүйене отырып, екінші негізге алынатын жоспарды қалай құруға болатынын қарастырамыз. Базиске кірмейтін кейбір вектор үшін, мысалы А_m+1, жіктеудегі х_і,m+1 коэффициенттердің ең болмағанда біреуі оң болады деп ұйғарамыз.

Х_1,m+1А₁+Х₂,_m+1А₂+... + Х_m,m+1А_m =А_m+1

Жүйенің оң жағы В бөлікті осы айнымалының оң коэффициенттеріне, яғни В_і/а_іm+1 бөлеміз. Сөйтіп, х_m+1 векторы жоспар немесе жаңа базис болып табылады. Есептің m-нен асатын базисі болмайды, сондықтан қазіргі бар базистің біреуін алып тастаймыз. Ол үшін Q=min(в_і/а_i,m+1). таңдаймыз. Осы ең кіші мәні бірінші жолда тұрсын, яғни Q₁=min (в_і/а_1,m+1). Сонда жаңа базистік шешім аламыз Х=( x₂, х_з,...х_m,х_m+1). Бұл базистен Х₁ алып тастау, ал базиске х_m+1 енгізу қажет екенін білдіреді. Демек, негізге алынатын жаңа жоспарларды таңдау үшін, базистен шығарылатын және оның орнына базиске енгізілетін айнымалының векторын таңдау кажет.

Оңтайлылық  талаптары. СБ есебінің базистік шешімі бар деп ұйғарамыз. Бұл жағдайда есептің математикалық формасы төмендегідей болады:

x₁ А_1+х2А₂+... + х_mА_m = В,                                      (5.10)

х₁С₁+х₂С₂+... + х_mС_m = Ғ,                                      (5.11)

мұнда барлық х_j>=0, j=1,2,...,n., ал Ғ-осы жоспарға сәйкес келетін функцияның мәні. Егер сызықтык функциядағы С_j коэффициенті А_j векторға сәйкес келсе, онда Ғ_j –С_j- оңтайлылық өлшемі немесе сызықтық функцияның бағасы деп аталады.

Оңтайлылық өлшемі бағдарламадан шығарылатын қызметтің құнының сомасына тең болады, одан жоспарға енгізілетін өнімнің бірлігінен түсетін кіріс алынып тасталады. Ғ_j – мақсат функциясының коэффициенттерін шектеулердегі айнымалылардың коэффициенттеріне көбейтіндісінің қосындысына, яғни,

 c_j – мақсат функциясының белгісіздер коэффициенттері. Төмендегі теоремалар орын алады.

1-теорема. Егер кейбір А_j векторы үшін төмендегі талап орындалса,

F_j-C_j>=0,

онда Х_о жоспары функцияның максимумы үшін оңтайлы болып табылады.

2-теорема. Егер  кейбір А_j векторы үшін төмендегі талап орындалса, онда Х_о жоспары функцияның минимумы үшін оңтайлы болып табылады. Демек, сызықтық функцияның максимумына сәйкес есептің жоспары оңтайлы болу үшін оның бағалары оң болуы қажетті әрі жеткілікті болады. Ал функцияның минимумы үшін оның бағалары теріс болуы қажетті әрі жеткілікті болады.

Сөйтіп, мәселені симплекс әдіспен шешу мына сызба бойынша жүргізіледі:

1) базистік шешім құрылады;                         2)осы базистік шешім оңтайлылық шартына тексеріледі;                                  3)егер шарт орындалмаса, онда келесі базистік шешім құрылады да екінші тармаққа көшеді;                                                                                                4)оңтайлылық   талабы   орындалғанға   дейін   есептеулер кайталанады.

Осы әдіспен есептеулер қайталана отырып, іріктеу нәтижесінде ең жақсы, яғни оңтайлы шешім табуға болатыны дәлелденген.

 

Симплекс  әдісі алгоритмі

Симплекс әдістің кестедегі алгоритмін қарастырайық. Есепті максимумға қарастырамыз.

Симплекс-кесте

№	Базис	Оң жағы, вi	Айнымалылар	Q
			x1 х2... хm       хm+1      xm+2 ...  хп
1	xm+1	b1	a11  a12  a1m             1   0 …0
2	xm+2	b2	A21  a22  a2m          0   1…0
…	…	…	…   …   …   ….  …   …
m	xm+n	bm	Am1  am2  a1m       0  … …0
m+1	Fj-Cj	0	c1   c2   cm   0   0    …   0

 

1. Алғашқы базистік жоспарды құру.

Симплекс әдіспен шешілетін есептің шектеулер жүйесі <= таңбасымен теңсіздіктер жүйесінде берілген, оның оң жағы b_i>=0. Теңсіздіктер жүйесіне оң қосымша айнымалылар енгізу арқылы теңдеулер жүйесіне көшеміз. Осы айнымалылардың баған векторлары бірлік векторлар болып табылады және базис құрайды, сонымен бірге оларға сәйкес келетін айнымалылар базистік деп аталады:

Мұнда х_n+I  - базистік айнымалылар, х_j- еркін айнымалылар.

Енді симплекс әдісінің орындалу ретін(алгоритмін) кестеде қарастырайық.

1)Симплекс кесте құрамыз. Кесте шектеулер жүйесі коэффициенттерінен және оң жағынан тұрады. Кестенің соңғы жолы индекстік деп аталады және мақсат функциясының қарама – қарсы таңбаларымен алынған коэффициенттерімен толтырылады.

2) Оңтайлылықты тексеру. Индекстік жолда теріс санның бар-жоғын анықтаймыз. Егер теріс сан болмаса, онда табылған негізге алынатын жоспар функцияның максимумына сәйкес оңтайлы шешімі болып табылады. Егер индекстік жолда теріс сандар болса, онда осы кестедегі айнымалылар есептің оңтайлы шешімі емес немесе алгоритмнің келесі кезеңіне көшеміз.

3)Бағыттаушы баған мен жолды анықтау. Бағыттаушы баған мен жолды табамыз. Бағыттаушы баған индекстік жолдың теріс санының барынша көп абсолюттік мөлшері бойынша, ал бағыттаушы жол – бос мүшелер векторы бағанының элементтерін бағыттаушы     бағанның     оң     элементтеріне  min(b_i/a_ir) қатынастарының барынша аз абсолюттік мөлшерімен анықталады. Бағыттаушы баған мен жол түйіскен жерде бас элемент орналасқан.

4)Жаңа негізге алынатын жоспар кұру. Бағыт беруші жол мен бағанға сәйкес келетін белгісіз айнымалылардың орны ауыстырылады. Мұнда базистік айнымалы еркін айнымалы болады және керісінше. і жолда және j бағанда орналасқан элементтің (Э^н ) жаңа мәні элементтің (Э^с ) ескі мәнінен j баған мен бағыттаушы жол (Э¹) түйіскен жерде орналасқан Элементті і жол мен бағыттаушы  баған түйіскен жерде орналасқан элементке (Э²) көбейтіп, бас элементке (Э^г) бөліп алып тастағанға тең болады. Бұл тікбұрыш ережесі деп аталады:

Э^н=Э^с-

5)Немесе төмендегі формулалар бойынша:

В₁= (в_і-(в_г/а_rk)а_іk болса і r ; b_r/а_rk болса і=r) (5.12)

а'_ij= (аi_j-/а_rj/a_rk)а_іk болса і=r ; а_rj/а_rk болса і=r) (5.13)

Ғ_'о=Ғ_о- (b_гrа_rk) _k; _j=А,- (а_rі/а_rk) _k (5.14)