Шпаргалка по "Экономико-математическому моделированию"

3. ОСНОВНЫЕ  КЛАССИФИКАЦИИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ  МОДЕЛЕЙ.

 

Математические модели могут быть детерменированными и стохастическими.

Детерменированные модели- это модели, в которых установлено взаимно-однозначное соответствие между переменными описывающими объект или явления.

Такой подход основан  на знании механизма функционирования объектов. Часто моделируемый объект сложен и расшифровка его механизма  может оказаться очень трудоемкой и длинной во времени. В этом случае поступают следующим образом: на оригинале проводят эксперименты, обрабатывают полученные результаты и, не вникая в механизм и теорию моделируемого объекта с помощью методов математической статистики и теории вероятности, устанавливают связи между переменными, описывающими объект. В этом случае получают стахостическую модель. В стахостической модели связь между переменными носит случайный характер, иногда это бывает принципиально. Воздействие огромного количества факторов, их сочетание приводит к случайному набору переменных описывающих объект или явление. По характеру режимов модель бывают статистическими и динамическими.

Статистическая модель включает описание связей между основными переменными моделируемого объекта в установившемся режиме без учета изменения параметров во времени.

В динамической модели описываются связи между основными переменными моделируемого объекта при переходе от одного режима к другому.

Модели бывают дискретными и непрерывными, а также смешанного типа. В непрерывных переменные принимают значения из некоторого промежутка, в дискретных переменные принимают изолированные значения.

Линейные модели- все функции и отношения, описывающие модель линейно зависят от переменных и не линейные в противном случае.

По зависимости параметров модели от времени: стационарные и нестационарные. В нестационарных параметры объекта, а следовательно и модели зависят от времени, в стационарных – не зависят.

 

 

4. МЕТОДЫ ПОДГОТОВКИ И ОБРАБОТКИ ЭКСПЕРИМЕНТОВ ПРИ ПОСТРОЕНИИ МОДЕЛЕЙ.

 

Построение модели складывается из следующих этапов:

1. получение экспериментальных данных
2. обработка экспериментальных данных
3. проверка адекватности.

1.объект детерминированный,  т.е. случайная составляющая мала, тем не менее ее нужно учитывать.  Прежде чем проводить эксперимент  нужно его подготовить, под  этим понимают выбор переменных  участвующих в эксперименте, выделение диапазона их изменения, определение значений при которых проводится эксперимент. В модель нужно включать те переменные, которые меняются. Существуют факторы, которые меняются, но в модель их включать не нужно. Тогда эти факторы нужно застабилизировать в процессе получения экспериментальных данных и при применении модели.

Существует 2 типа экспериментальных  исследований:

1. активный (все переменные  можно менять любым способом)

2. пассивный (факторы  меняются сами случайно или под действием других причин, а мы лишь вовремя эксперимента фиксируем их значения)

Достоинство активных методов  заключается в том, что эксперименты могут быть недлительными. Установить любое значение можно сравнительно быстро. А в пассивных методах  нужно длительное наблюдение за изменяющимися факторами.

Эксперименты в активных методах «боятся» помех, случайных  нарушений. А пассивные -  нет. Можно сгладить случайные помехи, усреднить значения. При активных методах факторы можно изменять в любых широких пределах. Поэтому они предпочтительны для лабораторных экспериментов., там, где велика опасность брака или аварии. Пассивные методы удобны для промышленных объектов, в которых все факторы естественно меняются в пределах нормальных режимов работы. Поэтому нет опасности для получения бракованной продукции или аварии.

Детерминированная модель.

Если мы рассматриваем объект как детерминированный, т. е пренебрегаем случайной составляющей, то можно применять только активные методы. Любая модель планируется к применению в каком-то диапазоне изменения параметров процесса. Именно в этом диапазоне и нужно проводить эксперименты. При выборе шага изменения переменных нужно иметь предварительные сведения о характере реальной зависимости. Если в объекте существует случайная составляющая, то минимальный шаг изменения Х должен быть такой, чтобы соответствующее изменение Y превосходило 3σ (σ – среднее квадратичное отклонение случайной составляющей). Если это условие выполняется, то изменение ∆y вызвано именно изменением ∆x, а не случайной составляющей. Данные можно использовать для построения модели.

2. 1 шаг – анализ  выбросов, т.е. случайных значений  экспериментальных данных. Все эксперименты  в которых подозревается ошибка  нужно повторить.

2 шаг – построение  модели с помощью наименьших квадратов. При построении модели по экспериментальным данным возможны 2 задачи: 1. построить такую модель, которая даст погрешность не хуже заданной. 2. для заданной модели найти такие ее коэффициенты, при которых обеспечивается наилучшая погрешность.

Первая задача очень  сложна и обычно решается путем перебора различных моделей для каждой из которых решается вторая задача. Чаще всего в качестве модели беоется  полиномиальная .

y =а₀+а₁x+а₂x²+а₃x³+…+а_nxⁿ = Σа_ixⁱ

нужно определить все  коэффициенты а и n.

Стохастическая модель.

y = f(x,а)+ε

построение стохастической модели опирается на регрессионный анализ, т.е. раздел математики, который занимается описанием взаимосвязи случайной и неслучайных величин. Он опирается на 3 предпосылки, которые должны выполняться, иначе интерпретация результатов неверна: 1.y имеет нормальный закон распределения 2. величина дисперсии y, т.е. мера разброса у не зависит от значений x 3. величины x не являются случайными.   

1.чаще всего принимают  без доказательно, как допущение.если причина изменчивости выходной величины является большое количество входных равновеликих воздействий, то выходная величина будет иметь норамльный закон распределения. А каждая причина может иметь любой закон распределния.

2.Для того, чтобы подтвердить справедливость 2 предпосылки мы должны показать, что разброс от строки к строке объясняется только случайностью. Случайность изменчивости оценки дисперсии осуществляется с помощью критерия Кохрена: Gрасч. = max{Si²}∕∑ Si²

Gрасч≤ Gтабл.

Особенности проведения эксперимента:1.чем больше естественный разброс у, чем больше случайная составляющая, тем больше дублей в каждой строке следует делать. 2.все факторы, которые мы не включаем в модель, должны быть застабилизированы.

Обработка экспериментальных  данных включает в себя:1.оценку воспроизводимости по критерию Кохрена. 2.расчет коэф-тов моделей.

В качестве моделей, которые  строятся в стохастических экспериментах, чаще всего используют полиномиальные модели. Коэф-ты а находятся методом наименьших квадратов. В стохастических моделях получают интервальные оценки коэф-тов(т.к.экспериментальные значения являются случайными): а=а⁰ ±Δа, Δа=t· √ Sа²

Если модуль коэф-та меньше или равен доверительному интервалу, то такой коэф-т называется статистически  незначимым и его приравнивают к нулю.

 

 

 

12.РАНДОМИЗАЦИЯ

 

Чтобы исключить  влияние систематических ошибок, вызванных внешними условиями (переменой  температуры, сырья, лаборанта и  т. д.), рекомендуется случайная последовательность при постановке опытов, запланированных  матрицей. Опыты необходимо рандомизировать во времени. Термин «рандомизация» происходит от английского слова random – случайный.

Он заключается  в случайном перемешивании порядка  проведения экспериментов. На практике перемешивание всегда Х(иксы) содержат случайные составляющие. Случайное перемешивание  порядка  производится след. образом, берется таблица случайных чисел и начинается с любого места берут подряд значения и присваивают их к веткам экспериментального, повторяющиеся значения выбрасывают. Порядок реализации экспериментов осуществляется или по мере возрастания или по мере убывания присвоенных случайных чисел. При этом все у-эксперим. находятся в одной строке будут получены фактически при разных значениях Х. при устранении полученных у-ков в строке мы фактически усредняем Х(иксы) делая их нестабильность, случайность меньше, что приводит к повышению вероятности выполнения 3^ей предпосылки регрессионного анализа.

 

 

 

 

 

 

 

5.МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

 

Метод базируется на применении в качестве критерия близости суммы квадратов отклонений заданных и расчетных значений. При заданной структуре аппроксимирующей функции у^расч(х) необходимо таким образом подобрать параметры этой функции, чтобы получить наименьшее значение критерия близости, т.е. наилучшую аппроксимацию. Рассмотрим путь нахождения этих параметров на примере полиномиальной функции одной переменной

у^расч(х)=a_mx^m+a_m-1x^m-1+…+a₀=∑^m_j=0a_jx^j

Запишем выражение критерия аппроксимации при β_i= 1 (i = 1,2, .... n) для полиномиального у^расч(х):

R=∑ⁿ_i=1(y_i-∑^m_j=1a_jx^j)²

Искомые переменные а можно  найти из необходимого условия минимума К по этим переменным, т.е. dR/da_p= 0 (для р = О, 1, .... m). При выполнении всех необходимых операций получим систему уравнений вида:

∑^m_j=0a_j∑ⁿ_i=1x_i^jx_i^p=∑ⁿ_i=0y_ix_i^p

р = 0, 1, 2, ..., m, 1= 1,2, ..., n.

Получилась система n+1 уравнений с таким же количеством неизвестных а_j, причем линейная относительно этих переменных. Эта система называется системой нормальных уравнений. Из ее решения находятся параметры а аппроксимирующей функции, обеспечивающие min(R), т.е. наилучшее возможное квадратичное приближение. Зная коэффициенты, можно (если нужно) вычислить и величину и (например, для сравнения различных аппроксимирующих функций). Следует помнить, что при изменении даже одного значения исходных данных (или пары значений x_i, y_i, или одного из них) все коэффициенты изменят в общем случае свои значения, так как они полностью определяются исходными данными. Поэтому при повторении аппроксимации с несколько изменившимися данными (например, вследствие погрешностей измерения, помех, влияния неучтенных факторов и т.п.) получится другая аппроксимирующая функция, отличающаяся коэффициентами.

Обратим внимание на то, что коэффициенты а_j полинома находятся из решения системы уравнений, т.е. они связаны между собой. Это приводит к следующему. если какой-то коэффициент вследствие его малости захочется отбросить, придется пересчитывать заново оставшиеся. Можно рассчитать количественные оценки тесноты связи коэффициентов. Существует специальная теория планирования эксперимента, которая позволяет обосновать и рассчитать значения х_i, используемые для аппроксимации, чтобы получить заданные свойства коэффициентов (несвязанность, минимальную дисперсию коэффициентов и т.д.) или аппроксимирующей функции (равную точность описания реальной зависимости в различных направлениях, минимальную дисперсию предсказания значения функции и т.д.).

В случае постановки другой задачи — найти аппроксимирующую функцию, обеспечивающую погрешность  не хуже заданной, необходимо подбирать  и структуру этой функции. Эта задача сложнее предыдущей (найти параметры аппроксимирующей функции заданной структуры, обеспечивающей наилучшую возможную погрешность) и решается в основном путем перебора различных функций и сравнения получающихся мер близости.

Для примера  на рис. 2.45 приведены для визуального  сравнения исходная и аппроксимирующая функции с различной степенью полинома, т.е. функции с различной  структурой.

Не следует  забывать, что с повышением точности аппроксимации растет и сложность  функции (при полиномиальных аппроксимирующих функциях), что делает ее менее удобной для использования.

 Аппроксимируемая функция  Ра(х), М - 5

 

 Аппроксимируемая функция  Ра(х), М = 2

 

Рис. 2.45. Влияние  степени аппроксимирующего полинома на точность аппроксимации

 

 

 

6.МЕТОД  БРАНДОНА.

 

Этот метод  позволяет построить многомерную  модель, когда Х не одно, а несколько, путем сведения многомерной задачи, к последовательности одномерных. В  общем случае решением многомерной  задачи, существенно сложнее, чем  одномерной.

Но для метода Брандона модель представляется в таком  виде, как произведение функций, каждая от одной переменной. y=f₁(x₁)f₂(x₂)f₃(x₃)…f_n(x_n)

N	x1	x2	…	xn	y	y’
1	x11	x21	…	xn1	yЭ1	y’1
2	x12	x22	…	xn2	yЭ2	y’2
3	x13	x23	…	xn3	yЭ3	y’3
…	…	…	…	…	…	…
N	x1N	x2N		xnN	yЭN	y’N