Шпаргалка по "Экономико-математическому моделированию"

y^’-расчетная, y- экспериментальная

На первом шаге считают, что у зависит от 1^ой переменной, исходя из вида этой зависимости говорят, что у=f(х), подбирают простую модель у=а₀₁+а₁₁х₁+а₁₂х₁².

Методом наименьших квадратов можно найти эти  коэффициенты.

Если эти расчетные  значения у очень близки к у^экспер, то данная модель нас может устроить и можно пренебречь значениями х₂,х₃ и т.д.

y^Э₁/ y^’₁

y^Э₂/ y^’₂

y^Э₃/ y^’₃

Если во всех точках отношение близко к 1, то это  хорошо. Если в отдельных точках или во всех, существенно отличается от 1, то это может означать, что существенное влияние оказывают другие переменные х₂, х₃ и т.д.

А может не близость отношения к 1 вызвано неправильной структурой выбранной модели. Но на 2 этапе допускают, что у зависит  от двух переменных у²= f₁(x₁)f₂(x₂)

у/ f₁(x₁) = у²= f₂(x₂)      у/ f₁(x₁)=у^’

Изменчивость  этого отношения апраксимируется  только от х₂, какой то походящей моделью. Получают расчетное значение и сравнивают их с 1.

Если близко к 1, то модель найдена f₁(x₁)f₂(x₂), если отличие от 1 значительное, то вводят в рассмотрение f₃(x₃) и т.д. пока не исчерпают все переменные. Если после включения всех переменных в модель, мы не получаем достаточную точность, то нужно вернуться на предыдущие этапы и выбирать другие частные модели.

 

 

 

8.ЗАДАЧИ  ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ

 

Мы можем планировать  эксперимент по-разному, в зависимости  от того, какие свойства модели хотим  получить. Различают две группы оценок свойств модели, на которые оказывает  влияние план эксперимента: первая связана с характеристиками коэффициентов модели, вторая — с ее предсказательными свойствами.

Эти оценки называются критериями оценки оптимальности планов. Существуют различные критерии оптимальности планов. Выбирая желаемые свойства модели, мы можем сформировать план проведения эксперимента таким образом, чтобы удовлетворить выбранному критерию. Теория планирования эксперимента обеспечивает разработку плана, который обеспечивает получение заданной информации с минимальными экспериментальными затратами.

Начало планированию эксперимента положили труды английского статистика Р. Фишера (1935), подчеркнувшего, что рациональное планирование эксперимента дает не менее существенный выигрыш в точности оценок, чем оптимальная обработка результатов измерений. Современная теория планирования эксперимента сложилась в 1960-е гг.

Основная задача – получение некоторого компромисса  между затратами на эксперимент  и свойства модели. 1)выявить влияние  интересующих факторов; 2)надо использовать соответствующие средства измерения; 3)от того какой план составим, будут зависеть свойства модели

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7. АНАЛИЗ  ОСТАТКОВ

 

Остатком называется E_i=y_i^эксп- y_i^расч

Диаграмма остатков – это зависимость остатка  от номера эксперимента.

По горизонтали  откладывается эксперимент по порядку реализации.

 

1 – нормальная, хорошая модель, нормальные эксперименты;

2- часть экспериментов  проведена в одних условиях, часть  в других. Обычно это влияние  каких-то неучтенных параметров;

3- модель непригодна, есть какой-то линейный тренд.  Формально – хорошая. Содержательно – нет.

4- есть выпадающая  точка, нужно повторить эксперимент.

Построение модели с помощью регрессионного анализа  имеет ряд достоинств и недостатки:

1)если задача  высокой размерности – трудно  решать систему нормальных уравнений

2)обнуление незначимого  коэффициента приводи к перерасчету  всех остальных

3) трудно рассчитать  дисперсии воспроизводимости и  оценить значимость коэффициентов

4) очень трудно  получить модель с наперед  желаемыми свойствами.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10. ОСОБЕННОСТИ ПРОВЕДЕНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ: ВЫБОР БАЗОВЫХ УРОВНЕЙ.

 

Наилучшим условиям, определенным из анализа априорной  информации, соответствует комбинация (или несколько комбинаций) уровней  факторов. Каждая комбинация является многомерной точкой в факторном  пространстве. Ее можно рассматривать как исходную точку для построения плана эксперимента. Назовем ее основным (нулевым) уровнем. Построение плана эксперимента сводится к выбору экспериментальных точек, симметричных относительно нулевого уровня.

В разных случаях  мы располагаем различными сведениями об области наилучших условий. Если имеются сведения о координатах одной наилучшей точки и нет информации о границах определения факторов, то остается рассматривать эту точку в качестве основного уровня. Аналогичное решение принимается, если границы известны и наилучшие условия лежат внутри области.

Положение усложняется, если эта точка лежит на границе (или весьма близко к границе) области. Тогда приходится основной уровень  выбирать с некоторым сдвигом  от наилучших условий.

Может случиться, что координаты наилучшей точки неизвестны, но есть сведения о некоторой подобласти, в которой процесс идет достаточно хорошо. Тогда основной уровень выбирается либо в центре, либо в случайной точке этой подобласти. Сведения о подобласти можно получить, анализируя изученные ранее подобные процессы, из теоретических соображений или из предыдущего эксперимента.

Наконец, возможен случай с несколькими эквивалентными точками, координаты которых различны. Когда отсутствуют дополнительные данные (технологического, экономического характера и т.д.), выбор произволен. Конечно, если эксперимент недорог и требует немного времени, можно приступить к построению планов экспериментов вокруг нескольких точек.

Резюмируем наши рассуждения о принятии решений  при выборе основного уровня в виде блок-схемы

После того как  нулевой уровень выбран, переходим  к следующему шагу – выбору интервалов варьирования.

 

 

11.ОСОБЕННОСТИ  ПРОВЕДЕНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ: ВЫБОР  УРОВНЕЙ ВАРЬИРОВАНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ.

 

Интервалом варьирования факторов называется некоторое число (свое для каждого фактора), прибавление которого к основному уровню дает верхний, а вычитание – нижний уровни фактора. Другими словами, интервал варьирования – это расстояние на координатной оси между основным и верхним (или нижним) уровнем. Т.О, задача выбора уровней сводится к более простой задаче выбора интервала варьирования.

для упрощения записи условий эксперимента и обработки  экспериментальных данных масштабы по осям выбираются так, чтобы верхний  уровень соответствовал +1, нижний –1, а основной – нулю. Для факторов с непрерывной областью определения это всегда можно сделать с помощью преобразования

– кодированное значение фактора;

– натуральное значение фактора;

 – натуральное значение основного  уровня;

– интервал варьирования;

– номер фактора. 

Для качественных факторов, имеющих два уровня, один уровень  обозначается +1, а другой –1; порядок  уровней не имеет значения.

На выбор интервалов варьирования накладываются естественные ограничения сверху и снизу. Интервал варьирования не может быть меньше той ошибки, с которой экспериментатор фиксирует уровень фактора. Иначе верхний и нижний уровни окажутся неразличимыми. С другой стороны, интервал не может быть настолько большим, чтобы верхний или нижний уровни оказались за пределами области определения. Внутри этих ограничений обычно еще остается значительная неопределенность выбора, которая устраняется с помощью интуитивных решений.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13.14.15.ПОЛНЫЙ  ФАКТОРНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ (ПФЭ)

 

13. ПФЭ предназначен для получения линейных и неполных квадратичных (без квадратов) моделей. Этот план основан на варьировании переменных на двух уровнях и удовлетворяет нескольким критериям оптимальности одновременно, важнейшим из которых можно считать ортогональность, что приводит к независимому определению всех коэффициентов.

Как и в задачах  регрессионного анализа общего вида, процесс построения модели складывается из следующих этапов:

1.  Составление плана  экспериментов в соответствии  с требованиями ПФЭ.

2. Проведение экспериментов  с обязательным дублированием в каждой строчке плана и рандомизацией.

3. Проверка воспроизводимости  процесса.

4. Нахождение дисперсии  воспроизводимости.

5. Расчет коэффициентов  модели.

6. Проверка статистической  значимости найденных коэффициентов.

7. Проверка адекватности модели (оценка точности предложенного уравнения). Этапы 2, 3, 4, 6 и 7 полностью аналогичны рассмотренным в десятой главе.

Этап 5 может выполняться  и по общему алгоритму регрессионного анализа, однако в ПФЭ осуществляется значительно проще. Каждая переменная при использовании этого вида плана предварительно нормируется определенным образом (рис. 3.28): для нее выбирается xiбаз и ▲xi-шаг. При этом переменная становится безразмерной и приобретает фиксированный диапазон изменения.

Реальные переменные варьируются на двух уровнях.

Этими уровнями являются xiбаз + ▲xi и xiбаз - ▲xi

 Схема нормирования переменных

Нормированная переменная — безразмерна и принимает  два значения в процессе эксперимента: ±1.

Xiнорм=xi-xiбаз/▲xi

План эксперимента включает в себя все возможные сочетания обоих уровней всех переменных. При этом общее число экспериментов равно N= 2n, где n — число переменных.

Эта нормировка способствует ортогональности плана, которая  обеспечивает независимое определение  каждого коэффициента искомой модели.

Рассмотрим план эксперимента при числе переменных n = 3 (табл. 3.6). В левой части таблицы приведены  нормированные значения переменных, в правой — соответствующие реальные: температура, давление, время, которые устанавливаются в процессе проведения эксперимента.

Таблица 3.6 План эксперимента ПФЭ для трех переменных в нормированных  и реальных значениях

№	X1норм	Х2норм	хзнорм		№	X1°С	x2Па	x3мин
1	+1	+1	+1		1	200	60х105	20
2	+1	+1	-1		2	200	60х105	10
3	+1	-1	+1		3	200	60х105	20
4	+1	-1	-1		4	200	20х105	10
5	-1	+1	+1		5	100	20х105	20
6	-1	+1	-1		6	100	60х105	10
7	-1	-1	+1		7	100	20х105	20
8	-1	-1	-1		8	100	20хЮ5	10

 

Коэффициенты линейной модели Y = b0 + b1x1 + b2x2 + Ь3х3 (верхний индекс «норм» для упрощения опущен) вычисляются  по формулам:

b0=∑Nj=1Yj,   bi=1/N ∑Nj=1xijYj

i=1,2, ..., n.

В дальнейшем всегда под  переменными хi будем понимать нормированные  значения. Очень часто при составлении планов «1» опускают, оставляя «+» и «-».

Весь процесс проведения эксперимента, его обработка полностью  аналогичны ранее рассмотренным для регрессионного анализа.