Экономическое прогозирование

Содержание

 

Задание 1

10. Прогнозирование на основе однофакторных моделей: виды моделей, экономический смысл параметров моделей

Однофакторные регрессионные модели – модели, в которых прогнозирование какого-либо показателя Y осуществляется на основе использования его зависимости от причинно или статистически зависимого фактора х.

В общем виде зависимость  результативного показателя Y от объясняющей (факторной) переменной х можно задать функцией:

где  Y_i – некоторое фактическое значение,

Y_i – соответствующее ему теоретическое значение,

е_i – отклонение фактического значения от теоретического.

Типы однофакторных моделей:

1) Динамические и пространственные (статические)

При использовании однофакторных  динамических моделей исходная информация представлена в виде двух динамических рядов по одному объекту за несколько временных реализаций. Один ряд является зависимой переменной Y (прогнозируемый показатель), а другой – независимой x.

При использовании пространственных (статических) моделей обрабатывается информация за один временной интервал (год, месяц) по множеству объектов. В этом случае отсутствуют взаимосвязи, вызываемые совместным изменением во времени прогнозируемого показателя и факторов-причин.

При прогнозировании по динамическим рядам важным этапом является анализ причинно-следственных зависимостей. Для установления зависимости одного показателя от другого используются различные методы: анализ таблиц, ранжирование рядов динамики, построение графиков, выражающих зависимость одного показателя от другого, использование группировок (если объем исходной информации достаточно велик), расчет коэффициентов связи.

2) Линейные и нелинейные регрессии

Линейная регрессия: у=a+bx+e.

Нелинейные регрессии:

• гипербола y=a+b/x+e,
• показательная y=ab^xe,
• степенная y=ax^be,
• экспоненциальная y=e^a+bx+e и т.д.

Коэффициент «а» указывает величину Y при х=0, «b» указывает наклон линии регрессии. Коэффициент «b» называется коэффициентом регрессии. Он показывает среднее изменение результата при изменении фактора на единицу.

Регрессионное уравнение y=a+bx+е указывает, что при увеличении «х» на единицу «y» увеличивается на «b» единиц.

Регрессионное уравнение y=a-bx+е указывает, что при увеличении «х» на единицу «y» уменьшается на «b» единиц.

Оценить параметры уравнений  линейной регрессии и нелинейных, но приводимых к линейным, можно с помощью метода наименьших квадратов (МНК). Он позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений от теоретических минимальна.

Оценить тесноту связи  двух признаков х и у в линейной форме можно с помощью линейного коэффициента корреляции:

где b – коэффициент при «х» в уравнении регрессии.

15. F-критерий Фишера: оценка  параметра, критерии оценки

F-тест состоит в проверке гипотезы Н₀ о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи.

Сравниваются фактическое F_факт и критическое (табличное) F_табл значения F-критерий Фишера.

Гипотеза Н₀ – природа оцениваемых характеристик случайна.

Гипотеза Н₁ – природа оцениваемых характеристик не случайна.

F_факт можно рассчитать по формуле:

где  n – число единиц совокупности.

F_табл – максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости α. Уровень значимости α – вероятность отвергнуть правильную гипотезу при условии, что она верна (α равна 0,05 или 0,01).

При нахождении F_табл. в таблице значений F-критерия Фишера принимаются: k₁=n-2 и k₂=m, где n – объем выборки, m – количество объясняющих переменных.

Если F_табл.<F_факт., то Н₀ – гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность с вероятностью 1- α.

Если F_табл.>F_факт., то Н₀ – гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик не отклоняется и признается их статистическая незначимость и ненадежность с вероятностью 1- α.

Качество модели считается высоким:

1) если коэффициент детерминации больше или равен 0,5;

2) если средняя ошибка аппроксимации менее или равна 10%;

3) если F_табл<F_факт.

Если хоть одно из условий  не выполняется, то качество модели считается низким.

Выбор наилучшего варианта эконометрической модели осуществляется сравнением их качественных характеристик. Лучшему варианту модели должны соответствовать лучшие характеристики.

21. Прогнозирование  с учетом сезонных и циклических  колебаний

Временной ряд – это совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов времени.

Любой временной ряд включает два  обязательных элемента:

1) время t,

2) значение показателя, или уровень  ряда y_i.

Количественные значения показателя во временном ряду называются уровнями, где y₁ – начальный уровень ряда, а y_n – конечный уровень ряда. Уровни расположены в хронологическом порядке через равные промежутки времени.

Основные компоненты временного ряда

Каждый уровень временного ряда формируется под воздействием большого числа факторов, имеющих разный временной  характер действия, которые можно разделить на три группы:

1) длительные, постоянно действующие факторы, оказывающие на изучаемое явление определяющее влияние и формирующие основную тенденцию ряда. Они будут составлять трендовую компоненту T;

2) кратковременные, периодические факторы, формирующие циклические (или сезонные) колебания ряда. Они будут составлять циклическую (или сезонную) компоненту S;

3) случайные факторы, отражаемые случайными изменениями уровней ряда. Они будут составлять случайную компоненту Е.

Методы прогнозирования  временных рядов

Экстраполяция – нахождение уровней за пределами изучаемого ряда, т.е. продление в будущее тенденции, наблюдавшейся в прошлом.

Нахождение по имеющимся данным за определенный период времени некоторых недостающих значений признака внутри этого признака называется интерполяцией.

При прогнозировании на основе временных  рядов могут использоваться различные методы в зависимости от исходной информации.

Статистические методы прогнозирования

Статистические методы прогнозирования  связаны с выявлением основной тенденции развития явления.

Основная тенденция (тренд) – плавное и устойчивое изменение уровня явления во времени, свободное от случайных колебаний.

Для выявления основной тенденции динамического ряда необходимо провести сглаживание временного ряда, для чего можно использовать следующие методы:

1. Метод укрупнения интервалов и их характеристика средними уровнями. Метод заключается в переходе от менее продолжительных интервалов к более продолжительным (сутки à неделя à декада à месяц à …), одновременно уменьшается количество интервалов. Если уровни ряда колеблются с определенной периодичностью, то укрупненный интервал целесообразно взять равным периоду колебаний. Если такая периодичность отсутствует, то производится постепенное укрупнение интервалов до тех пор, пока общее направление тренда не станет отчетливым.

2. Метод скользящей средней. Метод заключается в замене фактических уровней рядом подвижных (скользящих) средних, которые рассчитываются для определенных последовательно подвижных интервалов и относятся к середине каждого из них. Для сглаживания тренда необходимо последовательно суммировать по k уровни и результаты разделить на k. То есть исчисляется средний уровень из определенного числа, обычно нечетного (3, 5, 7 и т.д.), первых по счету уровней, затем – из такого же числа уровней, но начиная со 2-го по счету, далее – начиная с 3-го и т.д. Таким образом, средняя как бы «скользит» по ряду динамики, передвигаясь на один срок.

Прогнозирование на основе тренда

При наличии тенденции  во временном ряду его уровни можно рассматривать как функцию времени:

где  у – уровни динамического ряда, вычисленные по соответствующему аналитическому уравнению на момент времени t.

Уравнение, которое выражает зависимость уровней динамического ряда от фактора времени t, называется уравнением тренда.

Выбор типа модели зависит  от цели исследования и должен быть основан на теоретическом анализе, выявляющем характер развития явления, а также на графическом изображении ряда динамики (линейной диаграмме).

Прогнозирование по аддитивной и мультипликативной  модели

Основная задача анализа  временных рядов заключается  в определении каждой компоненты и исключении воздействия на уровни временного ряда. Этот процесс называется декомпозицией или разложением временного ряда.

Модели, в которых временной ряд представлен как сумма перечисленных компонент, называются аддитивными моделями временного ряда:

Y = T + S + E.

Модели, в которых временной  ряд представлен как произведение перечисленных компонент, называются мультипликативными моделями временного ряда:

Y = T * S * E.

Выбор одной из двух моделей  осуществляется на основе анализа структуры сезонных колебаний:

• если амплитуда сезонных колебаний приближенно постоянна, используют аддитивную модель.
• если амплитуда возрастает или уменьшается по мере роста уровней временного ряда, используют мультипликативную модель. Эта модель чаще всего используется на практике.

 

Задание 2

Построить диаграммы, показывающие зависимость каждого из показателей от времени. Проанализировать полученные результаты, сопоставляя характер динамики каждого из показателей за различные годы. Выдать диаграмму на печать вместе с анализом.

Рис. 15. Жизненный цикл товара

Решение:

Анализируя диаграмму, можно прийти к выводу, что для описания зависимости на первом рисунке больше всего подходит полиноминальная закономерность (рисунок 1).

Рисунок 1 - Построение функции по исходным данным

Задание 3

По приведенным в  таблице 5.1 данным построена однофакторная линейная модель y=10+0,8x+е. Коэффициент корреляции равен r_xy=1 – 70/280. Табличное значение F-критерия Фишера (F_табл.) равно 19,5 при Р=0,95.

Таблица 5.1

y	x
10	0,5
12	1,2
11+280/80	2,8
13+280/100	3,6

Оцените качество модели с помощью:

1) коэффициента детерминации;

2) средней ошибки аппроксимации;

3) F-критерия Фишера.

Решение:

Коэффициент корреляции r_ху=0,75. Тогда коэффициент детерминации:

.

Получили значение выше 0,5. Условие, определяющее высокое качество модели, выполнилось.

Среднюю ошибку аппроксимации  можно вычислить по формуле

.

Расчеты удобно проводить в следующей таблице:

y	x
10	0,5	10,40	-0,40	0,04
12	1,2	10,96	1,04	0,09
14,5	2,8	12,24	2,46	0,17
15,8	3,6	12,88	3,12	0,20
Сумма				0,50

 

 

Считаем сумму в последней колонке:

В среднем расчетные  значения отклоняются от фактических  на 12,5%. Ошибка аппроксимации высокая, регрессионная модель плохо описывает изучаемую закономерность. Второе условие не выполнилось.