Математическое моделирование задач фильтрации при различных начальных и граничных условиях (сравнительный анализ)

 

Министерство  образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное  учреждение

Санкт-Петербургский  государственный горный университет 

КУРСОВАЯ РАБОТА 

По дисциплине:    Подземная гидромеханика   

   (наименование  учебной дисциплины согласно плану) 
 

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА 
 

Тема:   Математическое моделирование задач фильтрации при различных начальных и граничных условиях (сравнительный анализ) 
 

Вариант 19 
 
 

Автор: студент  гр. НГ-07-2       /Федоров А.В./

                                       (шифр группы)                                     (Подпись)            (Ф.И.О.) 

ОЦЕНКА: 

Дата:   ____________ 

ПРОВЕРИЛ:

Руководитель  проекта: ассистент      /Максютин А.В./

         (должность)                                   (Подпись)                 (Ф.И.О.) 
 
 
 
 

Санкт-Петербург  

2011

 

Министерство  образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное  учреждение

Санкт-Петербургский  государственный горный университет 
 
 

УТВЕРЖДАЮ

Заведующий кафедрой

профессор /Рогачев М.К./

“ ” апреля 2011г. 
 
 
 

Кафедра: Разработки и эксплуатации нефтяных и газовых месторождений 
 

КУРСОВАЯ  РАБОТА 
 

По дисциплине:   Подземная гидромеханика   

                             (наименование учебной дисциплины  согласно плану) 
 

ЗАДАНИЕ 
 

Студенту группы  НГ-07-2           /Федоров А.В./

                              (шифр группы)                            (Ф.И.О.) 

1. Тема проекта: Математическое моделирование задач фильтрации при различных начальных и граничных условиях (сравнительный анализ)

2. Исходные данные: Название темы и 4 задачи по теме курсовой

3. Перечень графического материала: 21 рисунок, 10 таблиц

4. Срок сдачи законченного проекта: 20.04.2011 
 

Руководитель  проекта    ассистент   ___________        /Максютин А.В./

                                          (должность)                (подпись)               (Ф.И.О.) 

Дата выдачи задания: 18.03.2011 
 

ОГЛАВЛЕНИЕ

 

I. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

     Данная  часть работы посвящена теме “Математическое моделирование задач фильтрации при различных начальных и граничных условиях” и является основной частью курсовой работы.

     Целью математического моделирования является определение оптимальных условий протекания процесса, управление на основе математической модели и выработка управляющих решений. В связи с этим построенные на основе физических представлений модели должны качественно и количественно описывать свойства моделируемого процесса. В подземной гидродинамике математическое моделирование является важнейшим инструментом получения новых знаний. Это связано с дороговизной проведения натурных экспериментов, а также большим количеством параметров, которые влияют на их результаты. Совместная фильтрация несмешивающихся жидкостей является важным разделом подземной гидродинамики. В настоящее время в связи с широким применением ЭВМ сложилась вполне определенная "технологическая цепочка" расчета конкретных задач механики сплошной среды, в том числе и задач фильтрации многофазных жидкостей. Схематически эта цепочка выглядит следующим образом: от изучаемого явления - к его математической модели, далее, - к численному алгоритму, программе, реализующей этот алгоритм на ЭВМ и, наконец, к анализу полученных результатов. 
 
 

 

ВВЕДЕНИЕ

      Одной из основных научных дисциплин, объясняющих  многие явления и факты природы, деятельности человека, техники и  технологий, является гидромеханика  – раздел механики, изучающий законы равновесия и движения жидкости. Гидромеханика находит свои приложения во многих областях: в авиации и кораблестроении, атомной энергетике и гидроэнергетике, гидрогеологии и водоснабжении, теплотехнике, метеорологии и химической технологии. Особое значение имеет применение гидромеханики в разнообразных технологических процессах нефтяной и газовой промышленности, включая фильтрацию жидкостей и газов в природных пластах, их движение в трубопроводах и аппаратах. Для этих применений она является базовой научной дисциплиной.

Слова - модель, моделирование знакомы многим и часто употребляются в повседневной жизни и практической деятельности. Широкое распространение этих понятий свидетельствует о превращении их в рабочий инструмент практического и исследовательского труда. Не всегда, однако, в эти понятия вкладывается одинаковый смысл и обоснованно оцениваются их действительная роль и значение в каждом конкретном случае. Под моделью будем понимать образ, описание объекта исследования, отражение его характеристик. Моделирование - метод исследования, научного познания объектов разной природы при помощи моделей.

 

1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИЛЬТРАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ

     Математические  модели представляют собой совокупность математических объектов и отношений (уравнений), описывающих изучаемый физический процесс на основе некоторых абстракций и допущений, опирающихся на эксперимент и необходимых с практической точки зрения для того, чтобы сделать задачу разрешимой. При моделировании процессов разработки нефтегазовых месторождений эти соотношения в общем виде представляют собой сложные (обычно нелинейные) дифференциальные уравнения в частных производных с соответствующими начальными и граничными условиями.

     Цель  исследователя - расчет движений, описывающих  физический процесс, и составление на этой основе практических рекомендаций и прогнозов. Любая математическая модель основана на упрощении (идеализации) реального процесса, что позволяет создавать расчетные схемы, учитывающие только основные эффекты.

     В подземной гидромеханике моделируют:

     1) флюиды (жидкости и газы);

     2) породы-коллекторы;

     3) геометрическую форму движения;

     4) вид процессов, в том числе физико-химических.

     Долгое  время в подземной гидромеханике  основными ≪рабочими≫

математическими моделями были модели, описывающие установившуюся и неустановившуюся фильтрацию однофазного флюида (несжимаемого и сжимаемого) в однородной пористой среде.

     Это-классические модели, не утратившие своего практического  значения и по сей день.

     Однако  необходимость более полного  извлечения нефти, газа и конденсата из пласта, а также проектирование разработки месторождений в осложненных условиях залегания потребовали создания новых, более совершенных математических моделей, учитывающих многофазность и многокомпонентность потока пластовых флюидов и сложную геометрию коллектора. Здесь всюду использовались макроскопические модели, которые оперируют с усредненными параметрами фильтрационного потока. Они нашли наибольшее применение для решения многих задач разработки месторождений.

     Математическое моделирование включает в себя несколько основных

этапов.

1. Формулирование  содержательной постановки задачи. На этом этапе определяются  цели исследования, уточняется

состав  исходных зависимостей между параметрами  объекта в соответствии с результатами физического моделирования, оговариваются законы, допущения и предположения о механизме и условиях протекания процессов, конкретизируются состав и диапазон изменения исходных параметров.

2. На  втором этапе формулируется математическая  постановка задачи. Здесь все исходные зависимости и принятые законы записываются в математических символах. В достаточно общем случае математическая постановка задач подземной гидромеханики представляется в форме начально-краевой задачи для системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, выражающих законы сохранения массы, импульса и энергии.

3. Качественное  исследование сформулированных  задач.

Типичное  содержание данного этапа для  начально-краевых задач включает в себя доказательство теорем существования и единственности, выявление сильных и слабых разрывов решений и т. д. По результатам качественных исследований в первоначальные математические постановки задач могут быть внесены изменения и уточнения.

4. Четвертый  этап - р е ш е н и е поставленной  задачи, т.е. нахождение искомых величин (функций) по заданным входным данным (аргументам, коэффициентам в уравнениях). Во всех случаях принципиальный интерес представляет получение точных аналитических решений, устанавливающих определенный вид функциональной зависимости между искомыми величинами, аргументами и параметрами математической модели. Однако получить аналитическое решение удается далеко не всегда. В этих случаях строятся приближенные решения.

     Все приближенные решения и методы их получения можно разделить

на два  основных класса: аналитические и  численные. Приближенные аналитические решения, так же как и точные, получаются в форме определенных функциональных зависимостей входных и выходных величин. Полученные аналитические выражения представляют большую ценность как удобный инструмент для анализа математической модели и изучаемого объекта. Однако при практическом использовании аналитического решения необходимо выполнять определенный объем нередко чрезвычайно трудоемких вычислительных процедур. Численные методы, в отличие от аналитических, с самого начала ориентированы только на получение численных значений искомых величин для конкретных значений входных данных без установления вида их функциональных зависимостей.

5. Пятый  этап-проверка адекватности математической модели исследуемому объекту сравнением расчетного и фактического поведения последнего в различных ситуациях. Если поведения обоих объектов согласуются в пределах заданной погрешности, то результаты проверки считаются удовлетворительными, и математическую модель можно использовать в практических целях.

6. На  шестом этапе математическая  модель уточняется (или строится заново) с учетом опыта ее использования, новых данных физического моделирования, изменения целей исследования. При этом все перечисленные этапы моделирования повторяются.

     Разновидность математического моделирования, четвертый  этап

которого (решение поставленной задачи) выполняется  с использованием

численных методов, будем называть численным  моделированием. Решающим фактором, способствующим интенсивному развитию и широкому внедрению численного моделирования в последние годы, служит постоянное совершенствование ЭВМ и их математического обеспечения.

     Высокая производительность современных ЭВМ, обусловленная и быстродействием, значительным объемом оперативной памяти и развитой системой внешних устройств, позволяет в короткие сроки выполнять большие объемы расчетов.

     Важный  фактор эффективного использования  численного моделирования - специально разрабатываемые методы вычислений. Наиболее широкое применение для решения краевых задач подземной гидромеханики получили метод конечных разностей и метод конечных элементов.

     Чтобы представить дифференциальные уравнения  в форме, пригодной для решения  на цифровых вычислительных машинах, следует  их аппроксимировать и заменить конечно-разностными алгебраическими уравнениями. Численная модель состоит из полученной системы уравнений и построения численного алгоритма их решения. При построении численных моделей и численных алгоритмов используют дискретное представление переменных и дифференциальных операторов уравнений, а также области течения. Для решения уравнений численной модели разрабатывается машинная модель пластовой системы, состоящая из программы или системы

программ  для ЭВМ.

     В последние годы математическим моделированием (в том числе и численным) стали пользоваться как важнейшим инструментом при проектировании и контроле за разработкой нефтегазовых месторождений. Применение современных ЭВМ позволяет решать гидродинамические задачи, связанные с разработкой, в очень широкой и полной постановке.