Действия над векторами

СОДЕРЖАНИЕ 

Введение

Глава 1. Понятие вектора.

Глава 2. Простейшие операции над векторами.

Глава 3. Линейная зависимость векторов.

Глава 4. Понятие базиса. Координаты вектора в данном базисе.

Глава 5. Проекция вектора.

Глава 6. Скалярное произведение.

Глава 7. Векторное произведение.

Глава 8. Смешанное произведение.

Глава 9. Двойное векторное произведение.

Литература

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 1. Понятие вектора 

Отрезок на прямой определяется двумя равноправными  точками – его концами. Различают  также направленный отрезок, т.е. отрезок, относительно концов которого известно какой из них первый (начало), а  какой – второй (конец).

Определение: Направленный отрезок (или упорядоченная пара точек) называется вектором.

Вектор обычно обозначается символом , где А – начало, а В – конец направленного отрезка, либо одной буквой (в некоторых учебниках буква выделяется полужирным шрифтом; при этом стрелка опускается a). На чертеже вектор изображается стрелкой. Начало вектора называют точкой его приложения.

Расстояние между началом  и концом вектора называется его  длиной. Для обозначения длины вектора (его абсолютной величины) пользуются символом модуля. Так и обозначают длины соответствующих векторов.

Вектор единичной длины  называют ортом.

К векторам будем относить и так называемый нулевой вектор, у которого начало и конец совпадают. Считается, что нулевой вектор не имеет определенного направления и имеет длину равную нулю. Это позволяет обозначать нулевой вектор вещественным числом 0 (нуль).

Векторы расположенные либо на одной прямой, либо на параллельных прямых называются коллинеарными. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору. Среди коллениарных векторов различают одинаково направленные (сонаправленные) и противоположно направленные векторы.

Векторы называются компланарными, если они лежат либо на одной плоскости, либо на прямых, параллельных одной и той же плоскости.

 

 

Определение: Два вектора называются равными, если они: 1) коллинеарны; 2) равны по длине; 3) одинаково направлены.

Следствие: Для любого вектора и для любой точки А, существует, и притом единственная, точка B такая, что .

Мы не будем различать  двух равных векторов, имеющих разные точки приложения. Такие векторы называются свободными (в отличие от скользящих и связанных векторов, встречающихся в других науках).

Понятие равенства векторов обладает следующими свойствами:

1. (рефлексивность).
2. Из того, что , следует (симметричность).
3. Из того, что и , следует (транзитивность).

Глава 2. Операции над векторами 

Определение: Суммой двух векторов и называется вектор, имеющий начало в начале вектора , а конец – в конце вектора , при условии, что вектор приложен к концу вектора .

В соответствии с определением слагаемые  и и их сумма образуют треугольник (рис.2). Поэтому данное правило сложения двух векторов называют «правилом треугольника».

Операция сложения векторов обладает свойствами:

1. (коммутативность);
2. , (ассоциативность);
3. для любого вектора (особая роль нулевого вектора);
4. для каждого вектора существует противоположный ему вектор такой, что (для получения достаточно поменять местами начало и конец вектора ).

Вектор противоположный  вектору  обозначают .

Определение: Разностью векторов и называется сумма вектора и вектора противоположного вектору , т.е. .

 

 

 

 

Разность  получается из вектора сдвигом его начала в конец вектора , при условии, что векторы и имеют общее начало (рис.3). Очевидно, что для любого вектора .

Замечание: Существует еще одно правило сложения векторов, называемое «правилом параллелограмма»: векторы и прикладываются к общему началу О, и на них строится параллелограмм (рис. 4). Суммой будет вектор , расположенный на диагонали параллелограмма. Разностью здесь будет вектор , расположенный на второй диагонали.

Векторная алгебра имеет дело с  двумя типами величин: векторами  и числами. Числа обычно называют скалярными величинами или скалярами.

Определение: Произведением вектора на вещественное число λ (скаляр) называется вектор , такой, что 1) ; 2) вектор коллинеарен вектору ; 3) векторы и имеют одинаковое (противоположное) направление если λ > 0 (λ < 0).

Замечание: В случае, когда λ = 0 или произведение  является нулевым вектором.

Операция умножения вектора  на число обладает следующими свойствами:

1. (ассоциативное свойство сомножителей);
2. (свойства дистрибутивности).

 

 

Теорема: Если вектор коллинеарен ненулевому вектору , то существует вещественное число λ такое, что = λ .

Глава 3. Линейная зависимость векторов 

Любое множество, элементами которого являются векторы, называется системой векторов. Выражение вида , где λ _i – вещественное число, называется линейной комбинацией векторов системы . Числа λ _i называются коэффициентами линейной комбинации. Различают два типа линейных комбинаций: тривиальные, когда и нетривиальные .

Если  , то говорят, что вектор представлен (разложен) в виде линейной комбинации векторов системы . Разумеется, нулевой вектор может быть представлен в виде тривиальной линейной комбинации любой системы векторов. Тривиальная линейная комбинация любой системы векторов равна нулю.

Определение: Система векторов называется линейно зависимой, если хотя бы одна нетривиальная линейная комбинация векторов системы обращается в нуль, т.е. имеет место равенство , при .

Система векторов не являющаяся линейно зависимой называется линейно независимой.

Определение: Система векторов называется линейно независимой, если равенство нулю линейной комбинации векторов системы возможно лишь в случае ее тривиальности, т.е. из того, что следует .

Теорема: Если хотя бы один из векторов системы является нулевым, то эта система является линейно зависимой.

Теорема: Если часть системы векторов линейно зависима то и вся система векторов линейно зависима.

 

 

 

 

 

Теорема: Необходимым и достаточным условием линейной зависимости двух векторов является их коллинеарность.

Следствие: Если два вектора неколлинеарны, то они линейно независимы.

Теорема: Любой вектор лежащий в одной плоскости с неколлинеарными векторами и , может быть представлен в виде линейной комбинации этих векторов (т.е. найдутся такие вещественные числа λ и μ, что ). Такое представление единственно.

Следствие: Необходимым и достаточным условием линейной зависимости трех векторов является их компланарность.

Следствие: Если три вектора некомпланарны, то они линейно независимы.

Теорема: Любой вектор может быть представлен в виде линейной комбинации трех некомпланарных векторов , и (т.е. найдутся такие числа λ, μ, ν, что ). Такое представление единственно.

Следствие: Любые четыре вектора линейно зависимы

Глава 4. Понятие базиса. Свойства вектора  в данном базисе 

Определение: Базисом в пространстве называется любая упорядоченная тройка некомпланарных векторов.

Определение: Базисом на плоскости называется любая упорядоченная пара неколлинеарных векторов.

Базис в пространстве позволяет  однозначно сопоставить каждому вектору упорядоченную тройку чисел – коэффициенты представления этого вектора в виде линейной комбинации векторов базиса. Наоборот, каждой упорядоченной тройке чисел при помощи базиса мы сопоставим вектор , если составим линейную комбинацию .

 

Числа – называются компонентами (или координатами) вектора в данном базисе (записывается ).

Теорема: При сложении двух векторов их координаты складываются. При умножении вектора на число все координаты вектора умножаются на это число.

Определение и  свойства координат вектора на плоскости аналогичны. Вы легко можете сформулировать их самостоятельно.

Глава 5. Проекция вектора  

Под углом между векторами понимается угол между векторами равными данным и имеющими общее начало. Если направление отсчета угла не указано, то углом между векторами считается тот из углов, который не превосходит π. Если один из векторов нулевой то угол считается равным нулю. Если угол между векторами прямой то векторы называются ортогональными.

Определение: Ортогональной проекцией вектора на направление вектора называется скалярная величина , φ – угол между векторами (рис.9).

Модуль этой скалярной величины равен длине  отрезка OA₀.

Если угол φ  острый проекция является положительной  величиной, если угол φ тупой –  проекция отрицательна, если угол φ прямой – проекция равна нулю.

При ортогональной  проекции угол между отрезками OA₀ и AA₀ прямой. Существуют проекции, у которых этот угол отличен от прямого.

Проекции векторов обладают следующими свойствами:

1. (проекция суммы равна сумме проекций);
2. (проекция произведения вектора на число равна произведению проекции вектора на число).

Базис называется ортогональным, если его векторы попарно ортогональны.

 

 

Ортогональный базис называется ортонормированным, если его векторы по длине равны единице. Для ортонормированного базиса в пространстве часто используют обозначения .

Теорема: В ортонормированном базисе координаты векторов есть соответствующие ортогональные проекции этого вектора на направления координатных векторов.

Пример: Пусть вектор единичной длины образует с вектором ортонормированного базиса на плоскости угол φ, тогда .

 
 

 

 

Пример: Пусть вектор единичной длины образует с векторами , и ортонормированного базиса в пространстве углы α, β, γ, соответственно (рис.11), тогда . Причем . Величины cosα, cosβ, cosγ называются направляющими косинусами вектора

Глава 6. Скалярное произведение  

Определение: Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Если один из векторов нулевой скалярное произведение считается равным нулю.

Скалярное произведение векторов и обозначается через [или ; или ]. Если φ - угол между векторами и , то .

Скалярное произведение обладает следующими свойствами:

1. (коммутативность).
2. (скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины).
3. Скалярное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда сомножители ортогональны или хотя бы один из них нулевой.
4. .
5. .
6. .

Теорема: В ортогональном базисе компоненты любого вектора находятся по формулам:

;      ;      .

Скалярное произведение используется для решения следующих основных задач:

1.   ;          2.   ;          3.   .         

Пусть в некотором  базисе заданы векторы и тогда, пользуясь свойствами скалярного произведения, можно записать:

Величины  называются метрическими коэффициентами данного базиса. Следовательно .

Теорема: В ортонормированном базисе

; 
; 
; 
.

Замечание: Все рассуждения этого раздела приведены для случая расположения векторов в пространстве. Случай расположения векторов на плоскости получается изъятием лишних компонент. Автор предлагает сделать вам это самостоятельно.

Глава 7. Векторное произведение 

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правоориентированной (правой), если после приложения к общему началу из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора ко второму виден против часовой стрелки. В противном случае упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется левоориентированной (левой).

Определение: Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , удовлетворяющий условиям:

1. где φ – угол между векторами и ;
2. вектор ортогонален вектору , вектор ортогонален вектору ;
3. упорядоченная тройка векторов является правой.

Если один из векторов нулевой, то векторное произведение есть нулевой вектор.

Векторное произведение вектора на вектор обозначается {либо }.

Теорема: Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю их векторного произведения.

Теорема: Длина (модуль) векторного произведения двух векторов равняется площади параллелограмма, построенного на этих векторах как на сторонах.

Пример: Если – правый ортонормированный базис, то , , .

Пример: Если – левый ортонормированный базис, то , , .

 

 

 

Пример: Пусть, а ортогонален к . Тогда получается из вектора поворотом вокруг вектора на по часовой стрелке (если смотреть из конца вектора ).

Пример: Если дан вектор , то каждый вектор можно представить в виде суммы , где – ортогонален , а – коллинеарен . Легко видеть, что .

Векторное произведение обладает следующими свойствами:

1. (антикоммутативность);
2. ;
3. ;
4. .

Пусть в некотором  базисе заданы векторы и тогда