Задачи по математике

федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Санкт-Петербургский государственный экономический университет» (СПбГЭУ)

 

филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения

высшего профессионального образования

«Санкт-Петербургский государственный экономический университет» в г. Череповце

 

 

 

Кафедра экономики и управления

на предприятиях городского хозяйства

 

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа

 

 

 

 

 

 

По дисциплине «Математика»

Вариант № 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Студента 2 курса

Группы

 

 

 

 

 

 

 

 

2013

 

(филиал СПбГЭУ в г. Череповце)

Задание 1.

 

     На складе 15 кинескопов, причем 10 из них изготовлены Львовским заводом. Найти вероятность того, что среди пяти взятых наудачу кинескопов окажутся три кинескопа Львовского завода.

 

Решение:

P(A) =

 

P(A) =

 

Задание 2.

 

     Три стрелка выстрелили залпом по цели, и две пули поразили ее. Найти вероятность того, что первый стрелок поразил цель, если вероятность попадания в цель стрелками соответственно равна 0,4; 0,3; 0,5.

 

 

Решение: 

     Пусть событие А — «два стрелка (второй и третий) поразили мишень». Введем  
предположения:   

  В1 — «первый стрелок поразил мишень», Р(В1)=0,4;   

  В2 — «первый стрелок не поразил мишень». Событие  В2 противоположно событию  В1, поэтому  

 

Р(В2)=1-Р(В1)=1-0,4=0,6. 

 

 

    Найдем условную вероятность РB1(А) того, что мишень будет поражена двумя (вторым и третьим) стрелками при условии, что попал первый стрелок. Данное событие возможно только в случае, если попал второй стрелок или попал третий стрелок, т.е. попал только один из стрелков, поэтому  

 
РB1(А)=p2*q3+q2*p3,

 

где р2(р3) и q2(q3) — вероятности попадания и промаха при стрельбе по мишени вторым (третьим) стрелками. 

 

РВ1(А)=0,3*(1-0,5)+(1-0,3)*0,5=0,15+0,35=0,5. 

 

 

  Найдем условную вероятность  РB2(А) того, что мишень будет поражена двумя стрелками (вторым и третьим) при условии, что первый стрелок не попал в мишень. Данное событие возможно только в случае, если в мишень попали и второй и третий стрелки, т.е. одновременно осуществились два независимых события, поэтому, применяя теорему умножения, имеем: 

 

 

  РB2(А)=p2*p3=0,3*0,5=0,15. 

 

 

  Применив формулу Бейеса, получим:

 

РA(B1)= (P(B1)*PB1(A)) / (P(B1)*PB1(A)+P(B2)*PB2(A)) = 

= (0,4*0,5) / (0,4*0,5 +0,6*0,15) = 0,2/ 0,29 = 0,7

 

Задание 3.

 

Задана непрерывная случайная величина своей плотностью распределения ветвей . Найти:

1. коэффициент А;
2. функцию распределения ;
3. схематично построить графики функций и ;
4. вычислить математическое ожидание и дисперсию ;
5. определить вероятность того, что примет значение из интервала .

 

II.     

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 4.

 

Выполните следующие действия с комплексными числами, записанными в алгебраической форме: ;  ;  ;  ;  ;  .

 

,       

 

Решение:

 

z1+z2 = (1-i) + (3+2i) = (1+3) + (-i+2i) = 4+i

 

z1-z2 = (1-i) - (3+2i) = (1-3) + (-i-2i) = -2-3i

 

z1*z2 = (1-i) * (3+2i) = 3+2i-3i-2i^2 = 3+ (2-3)i -2i^2 = 5-i

 

z1/z2 = (1-i) / (3+2i) = ( (1-i)(3-2i) ) / ( (3+2i)(3-2i) ) = (1-5i)/13 =  0,077-0,385i

 

z1^2 =  (1-i)^2 = -2i

 

z2^3 = (3+2i)^3 = -9+46i

 

Задание 5.

 

Представьте комплексные числа в тригонометрической и  показательной формах.

 

 

Решение:

 

1. Находим тригонометрическую форму комплексного числа z = 6+6i

 
x = Re(z) = 6 
y = Im(z) = 6

 

 
Поскольку x > 0, y > 0, то arg(z) находим как:

 
 

 
Таким образом, тригонометрическая форма комплексного числа z = 6+6i

 

 
2. Находим показательную форму  комплексного числа z = 6+6i

 

 

Задание 6.

 

Найти все значения корней:

 

 

Решение:

 

Существует 3 корня 3 степени из -8. Калькулятор честно называет один из них, -2. И вообще говоря, пока мы не говорим про мнимые числа, а ограничиваемся вещественными, это будет единственным корнем. Однако, так как степень третья, то и корней олжно быть три. Поэтому МатЛаб честно признается в том, что ему известен еще один корень, единица плюс корень из трех на мнимую единицу, то есть 1+1.732i. 
 
А вот Флэш, видимо, единственный, кто знает о существовании третьего корня, единица минус корень из трех на мнимую единицу (1-1.732i) - но какие-то внутренние религиозные убеждения не позваоляют ему поверить в существование мнимых чисел, отчего он и заявляет, что это вовсе и не число (Not a Number)...