Золотое сечение

Исследовательская работа

 

 подготовили ученицы 10 класса «А»

Климова Эля ,Фаворская Лиза ,Полякова Полина И Пилюгина Настя

 

 

 

 

под руководством: Алешкиной Елены Львовны.

 

На тему: «Золотое сечение»

Человек различает  окружающие его предметы по форме. Интерес  к форме какого-либо предмета может  быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой  лежат сочетание симметрии и  золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению  ощущения красоты и гармонии. Целое  всегда состоит из частей, части  разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к  целому. Принцип золотого сечения  – высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе. 

Золотое сечение — деление непрерывной величины на две части в таком отношении, при котором меньшая часть так относится к большей, как большая ко всей величине.

                             a : b = b : c или с : b = b : а.

 

 

 

Что такое Золотое сечение?

Свойства  золотого сечения описываются уравнением:

x² – x – 1 = 0.

Решение этого уравнения:

 

 

      История Золотого сечения

 

История “Золотого  сечения” - это история человеческого  познания мира. Мощный импульс в развитии «золотого сечения» и его приложений дала греческая наука. Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор, (древнегреческий философ и математик VI в. до н.э.). Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании.

  В дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые упоминается в “Началах” Евклида.

  В эпоху Возрождения усиливается интерес к золотому делению среди ученых и художников в связи с его применением как в геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре Леонардо да Винчи. Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучению золотого деления. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название золотое сечение.

 

о «втором золотом сечении», которое  вытекает из основного сечения и  дает новое отношение 44 : 56. 
 
Эта пропорция обнаружена в архитектуре, а также имеет место при построении композиций картин удлиненного горизонтального формата. 

 

Второе золотое сечение

    Золотые пропорции в частях тела человека.

Цейзинг проделал колоссальную работу. Он измерил около двух тысяч человеческих тел и пришел к выводу, что золотое сечение выражает средний статистический закон. Деление тела точкой пупа – важнейший показатель золотого сечения. Пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13 : 8 = 1,625 и несколько ближе подходят к золотому сечению, чем пропорции женского тела, в отношении которого среднее значение пропорции выражается в соотношении 8 : 5 = 1,6. У новорожденного пропорция составляет отношение 1 : 1, к 13 годам она равна 1,6, а к 21 году равняется мужской. Пропорции золотого сечения проявляются и в отношении других частей тела – длина плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев и т.д.

 

 

   Ряд  Фибоначчи

 

С историей золотого сечения косвенным образом  связано имя итальянского математика монаха Леонардо из Пизы, более известного под именем Фибоначчи (сын Боначчи). Он много путешествовал по Востоку, познакомил Европу с индийскими (арабскими) цифрами. В 1202 г вышел в свет его математический труд «Книга об абаке» (счетной доске), в котором были собраны все известные на то время задачи. Одна из задач гласила «Сколько пар кроликов в один год от одной пары родится». Размышляя на эту тему, Фибоначчи выстроил такой ряд цифр:

 

 

 

месяцы	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	И.т.д
Пары кроликов	0	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144	И.т.д

Обобщенное  золотое сечение  

 

Ряд Фибоначчи  мог бы остаться только математическим казусом, если бы не то обстоятельство, что все исследователи золотого деления в растительном и в  животном мире, не говоря уже об искусстве, неизменно приходили к этому  ряду как арифметическому выражению  закона золотого деления.

 

Принципы  формообразования   в природе.

 

Спираль Архимеда

Форма спирально  завитой раковины привлекла внимание Архимеда. Он изучал ее и вывел уравнение  спирали. Спираль, вычерченная по этому  уравнению, называется его именем. Увеличение ее шага всегда равномерно. В настоящее  время спираль Архимеда широко применяется в технике.



 

Профессор Университета Дьюка Адриан Бежан установил, что «золотое сечение» является не чем иным, как «дизайнерским упрощением» природы, которая нашла оптимальный способ унифицировать все живое и ускорить процесс зрительного восприятия объектов.

 

«Золотое  сечение» в природе



 

В живой природе  широко распространены формы, основанные на "пентагональной" симметрии (морские звезды, морские ежи, цветы). Пяти-лепестковыми являются 
Цветы кувшинки, шиповника, боярышника, гвоздики, груши, черемухи, яблони, земляники и многих других. 
Справа показано цветок китайской розы с ярко выраженной "пентагональной" симметрией 
Также можно встретить золотую пропорцию в разрезе яблока (пентаграмма).  
 

разрез яблока (пентаграмма)

 Молекула ДНК состоит из двух вертикально переплетенных между собой спиралей. Длина каждой из этих спиралей составляет 34 ангстрема, ширина 21 ангстрема

Так вот 21 и 34 - это цифры, следующие друг за другом в последовательности чисел Фибоначчи, то есть соотношение длины и ширины логарифмической спирали молекулы ДНК несет в себе формулу золотого сечения 1:1,618.

Очень совершенна форма  стрекозы, которая создана по законам  золотой пропорции: отношение длин хвоста и корпуса равно отношению  общей длины к длине хвоста. 

{

 

Золотое сечение присутствует в строении всех кристаллов, но большинство кристаллов микроскопически малы, так что мы не можем разглядеть их невооруженным глазом.  
Однако снежинки, также представляющие собой водные кристаллы, вполне доступны нашему взору.  
Все изысканной красоты фигуры, которые образуют снежинки, все оси, окружности и геометрические фигуры в снежинках также всегда без исключений построены по совершенной четкой формуле золотого сечения. 



 

Золотое сечение в искусстве  



 

 В композиции интереснейших произведений живописи «работает» Золотое сечение. Портрет Моны Лизы (Джоконда) привлекает тем, что композиция рисунка построена на "золотых треугольниках", точнее на треугольниках, являющихся кусками правильного звездчатого пятиугольника. Зрачок левого глаза, через который проходит вертикальная ось полотна, находится на пересечении двух биссектрис верхнего золотого треугольника, которые с одной стороны, делят пополам углы при основании золотого треугольника, а с другой стороны, в точках пересечения с бедрами золотого треугольника делят их в пропорции Золотого сечения.  
 
Таким образом, Леонардо Да Винчи использовал в своей картине не только принцип симметрии, но и Золотое сечение.



 

Пропорции Золотого сечения в произведении  
Леонардо Да Винчи - «Тайной вечере»  
Соответствующие прямоугольники в картине - "золотые". 
Было так же определено, что больше всего внимания смотря на прямоугольный рисунок придается центральной части, образованной точками которые делят этот рисунок в золотой пропорции. 



 

Одним из высших достижений классического греческого искусства  может служить статуя Дорифора, изваянная Поликтетом в V веке до н.э. Эта статуя считается наилучшим примером для анализа пропорций идеального человеческого тела, установленных античными греческими скульпторами, и напрямую связана с Золотым сечение.



 

          Рафаэль"Избиение младенцев" 
 
На подготовительном эскизе Рафаэля проведены красные линии, идущие от смыслового центра композиции - точки, где пальцы воина сомкнулись вокруг лодыжки ребенка, - вдоль фигур ребенка, женщины, прижимающей его к себе, воина с занесенным мечом и затем вдоль фигур такой же группы в правой части эскиза. Если естественным образом соединить эти куски кривой пунктиром, то с очень большой точностью получается золотая спираль!  



 

Пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов  быта и украшений из гробницы Тутанхамона  свидетельствуют, что египетские мастера  пользовались соотношениями «золотого  сечения» при их создании.

Пентаграмма

 

 

Пентагра́мма (пентальфа, пентагерон; греч. πεντάγραμμον от πέντε — «пять» и γράμμα — «черта, линия») — правильный пятиугольник, на каждой стороне которого построены равнобедренные треугольники, равные по высоте.

• ύ — ύδωρ (верхний правый угол), символизирующая воду;
• Γ — Γαια (нижний левый угол), символизирующая землю;
• ί — ίδέα (самая верхняя точка), символизирующая идею, или дух по другой версии — ίερόν (храм);
• έ — έιλή (нижний правый угол), символизирующая огонь;
• ά — άήρ (верхний левый угол), символизирующая воздух.

 

Пифагор утверждал, что пентаграмма, или, как  он её называл, гигиея (ύγιεια) (в честь греческой богини здоровья Гигиеи) представляет собой математическое совершенство, так как скрывает в себе золотое сечение (φ = (1+√5)/2 = 1,618…). Если разделить длину любого цветного сегмента пентакла на длину самого длинного из оставшихся меньших сегментов, то будет получено золотое сечение (φ).

В то же время есть мнение, что связь перевёрнутой пентаграммы  с Сатаной — это ловушка, которую  оставил Элифас Леви в своей работе. В пользу этой версии, кроме прочего, говорит и тот факт, что в начале истории христианства перевёрнутая пентаграмма трактовалась как символ Преображения Христа. Именно перевёрнутая пентаграмма стоит на печати римского императора Константина, сделавшего христианство государственной религией и причисленного Церковью к лику святых.

 

 

      Перевернутая пентаграмма