История возникновения и развития натуральных чисел

                                       НФ МГОУ (НПК) 
 
 
 
                                                           Реферат по математике 
                           История возникновения и развития натуральных чисел 
 
Содержание: 
1.Введение.  
2. История возникновения и развития натуральных чисел. 
3. Свойства натуральных чисел.  
4.Заключение.  
5.Литература.  
 
 
 
 
 
 
 
 
      
 
 
 
 
 
Введение 
Теория чисел, изучает свойства натуральных чисел 1, 2, 3, ... Эти числа интересуют человека с давних времен. Античные летописи говорят о том, что уже тогда арифметику знали глубже и шире, чем это было необходимо для нужд повседневной жизни. Но систематической, самостоятельной наукой высшая арифметика становится лишь в новое время, начиная с открытий Ферма (Fermat, 1601- 1665).

Многие простые и общие теоремы высшей арифметики естественно возникают из вычислений, однако при доказательстве этих теорем часто встречаются очень большие трудности. «Эта особенность, - по словам Гаусса, - вместе с неистощимым богатством высшей арифметики, которым она столь сильно превосходит другие области математики, придает высшей арифметике неотразимое очарование, сделавшее ее любимой наукой величайших математиков».

Теория чисел считается обычно «чистейшей» ветвью чистой математики. Она имеет очень немного прямых приложений к другим естественным наукам, но обладает одной общей с ними чертой: теория чисел развивается из эксперимента, роль которого играет проверка общих теорем на численных примерах. Такой эксперимент необходим в любой области математики, но в теории чисел он играет большую роль, чем где бы то ни было, ибо в других областях математики результаты, полученные таким способом, часто бывают неверными. 
 
 
История возникновения и развития натуральных чисел 
Понятие натурального числа, вызванное потребностью счёта предметов, возникло ещё в доисторические времена. Процесс формирования понятия натурального числа протекал следующим образом. На низшей ступени первобытного общества понятие отвлеченного числа отсутствовало. Это не значит, что первобытный человек не мог отдавать себе отчёта о количестве предметов конкретно данной совокупности, например о количестве людей, участвующих в охоте, о количестве озёр, в которых можно ловить рыбу, и т.д. Но в сознании первобытного человека ещё не сформировалось то общее, что есть в объектах такого рода, как например, «три человека», «три озера» и т.д. Анализ языков первобытных народностей показывает, что для счёта предметов различного рода употреблялись словесные обороты. Слово «три» в контекстах «три человека», «три лодки» передавались различно. Конечно, такие именованные числовые ряды были очень короткими и завершались индивидуализированным понятием («много») о большом количестве тех или других предметов, которое тоже являлось именованным, то есть выражалось разными словами для предметов разного рода, такими , как «толпа», «стадо», «куча» и т.д. 
 
Натуральные числа имеют две основные функции:

- характеристика количества предметов;

- характеристика порядка предметов, размещенных в ряд.

В соответствии с этими функциями возникли понятия порядкового числа  (первый, второй и т.д.) и количественного числа (один, два и т.д.).  
Долго и трудно человечество добиралось до 1-го уровня обобщения чисел. Сто веков понадобилось, чтобы выстроить ряд самых коротких натуральных чисел от единицы до бесконечности:1, 2, … ∞. Натуральных потому, что ими обозначались (моделировались) реальные неделимые объекты: люди, животные, вещи…

Самой древней математической деятельностью был счет. Счет был необходим, чтобы следить за поголовьем скота и вести торговлю. Некоторые первобытные племена подсчитывали количество предметов, сопоставляя им различные части тела, главным образом пальцы рук и ног. Наскальный рисунок, сохранившийся до наших времен от каменного века, изображает число 35 в виде серии выстроенных в ряд 35 палочек-пальцев. Первыми существенными успехами в арифметике стали концептуализация числа и изобретение четырех основных действий: сложения, вычитания, умножения и деления. Первые достижения геометрии связаны с такими простыми понятиями, как прямая и окружность. Дальнейшее развитие математики началось примерно в 3000 до н.э. благодаря вавилонянам и египтянам. 
 
 
СВОЙСТВА НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 
Высшая арифметика исследует общие предложения о натуральных числах 1, 2, 3, ... обычной арифметики. Примерами таких предложений могут служить фундаментальная теорема о том, что каждое натуральное число разлагается на простые множители и это разложение единственно, и теорема Лагранжа о том, что любое натуральное число представимо в виде суммы не более четырех точных квадратов.

Высшая арифметика -- дедуктивная наука, основанная на законах арифметики. Законы арифметики выражаются следующим образом.

Сложение. Любые два натуральных числа а и b имеют сумму, обозначаемую а+b, которая сама является натуральным числом. Операция сложения удовлетворяет двум законам:а + b = b + а (коммутативный закон сложения),а + (b + с) = (а + b) + с          (ассоциативный закон сложения),скобки в последней формуле указывают порядок выполнения операций.

Умножение. Любые два натуральных числа а и b имеют произведение, обозначаемое а * b или ab, которое само является натуральным числом. Операция умножения удовлетворяет двум законам:ab = bа(коммутативный закон умножения), а(bс) = (аb)с        (ассоциативный закон умножения).Имеется также закон, связывающий сложение и умножение:(b + с) = ab + ас    (дистрибутивный закон).

Порядок. Если а и b -- два натуральных числа, то или а равно b, или а меньше b, или b меньше а, и из этих трех возможностей осуществляется ровно одна. Утверждение «а меньше b» символически выражается в виде а < b, в этом случае мы говорим также, что b больше а, символически: b > а. Основной закон, управляющий этим отношением порядка, таков:если    а < b    и    b < с,    то   а < с.Имеются также два закона, связывающих отношение порядка с операциями сложения и умножения:если   а < b,    то    а + с < b + с    и    ас < be.Каково бы ни было натуральное число с.

Сокращение. Два закона сокращения логически вытекают из законов порядка; однако они достаточно важны, и мы их точно сформулируем. Первый закон гласит: если  а + х = а + у, то  х = у.

Это следует из того, что если х < у, то а + х < а + у, что противоречит предположению; невозможно также неравенство у < х; поэтому х = у. Тем же способом получаем и второй закон сокращения, утверждающий, что если ах= ау,то х = у.

Вычитание. Вычесть число b из числа а - значит найти, если это возможно, такое число х, что b + х = а. Возможность вычитания связана с отношением порядка следующим законом: b можно вычесть из а тогда и только тогда, когда b меньше а. Из первого закона сокращения следует, что если вычитание возможно, то результат единственен; действительно, если b + х = а и b + у = а, то х = у. Результат вычитания b из а обозначается а - b. Правила действий со знаком минус, например а - (b - с) = а- b + с, вытекают из определения вычитания и коммутативного и ассоциативного законов сложения.

Деление. Разделить число а на число b значит найти, если это возможно, такое число ж, что bх= а. Если такое число существует, то оно обозначается а/b. Из второго закона сокращения следует, что если деление возможно, то результат единственен.                                                                     
 
Все вышеупомянутые законы довольно очевидны, если сложение и умножение понимать как действия над совокупностями некоторых предметов. Например, коммутативный закон умножения становится очевидным, если рассмотреть прямоугольную таблицу (рис. 1), в которой предметы расположены в b столбцов и а строк; число предметов в ней равно ab или bа. Дистрибутивный закон очевиден, если рассматривать совокупность предметов на рис.2; в этой совокупности имеется a(b + с) предметов, их число складывается из ab и ас предметов. Несколько менее очевидным, возможно, является ассоциативный закон умножения, утверждающий, что а(bс) = (аb)с. Чтобы сделать ясным и этот закон, рассмотрим прямоугольник, изображенный на рис. 1, заменив в нем каждый предмет числом с. Тогда сумма всех чисел в каждой строке равна bс; так как имеется а строк, то полная сумма равна а(bс). С другой стороны, имеется ab чисел, каждое из которых равно с, поэтому полная сумма есть (ab)c. Значит, a(bс) = (a,b)с, что и требуется доказать.

Законы арифметики имеете с принципом индукции (который рассмотрен далее) образуют основу для логического развития теории чисел. Они дают возможность доказывать общие теоремы о натуральных числах, не возвращаясь к исходным значениям чисел и операций над ними. Правда, некоторые довольно глубокие результаты теории чисел проще всего получить, подсчитав определенное число предметов двумя различными способами, но таких результатов не очень много. 
 
 
Заключение 
Число является одним из основных понятий математики. Понятие числа развивалось в тесной связи с изучением величин; эта связь сохраняется и теперь. Во всех разделах современной математики приходится рассматривать разные величины и пользоваться числами. Исторически первыми появились натуральные числа, которые послужили основой формирования математики как науки.

Основные свойства натуральных чисел описаны соответствующими законами арифметики, часть которых представлена в работе. Несмотря на длительный период существования роль данного типа чисел не исчерпана, а перешла в другой, теоретико-множественный аспект. 
 
ЛИТЕРАТУРА 
 
 
1. Боревич З.И. и др. Теория чисел, -М.: Наука, 1072. 
2. Виноградов И.М. Основы теории чисел, -М.: Наука, 1972.  
3. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. - М., 1962. 
4. Девенпорт Г. Высшая арифметика. Введение в теорию чисел.  -М., 1976. 
5. Колмогоров А.Н. Математика в ее историческом развитии. -М.: Наука, 1991.