История математики

1. Предмет истории математики.

История математики есть одна из математических дисциплин. Все  отрасли математики, какими бы разными  они не казались, объединены общностью  предмета. Этим предметом является, по определению Ф. Энгельса, количественные отношения и пространственные формы действительного мира. Различные математические науки имеют дело с частными, отдельными видами этих количественных отношений и пространственных форм или же выделяются своеобразием методов. Состав математики, как и всякой другой науки, включает в себя:

а) факты, накопленные в ходе ее развития;

б) гипотезы, т.е. основанные на фактах научные предположения, подвергающиеся в дальнейшем проверке опытом;

в) результаты обобщения фактического материала, выраженные в математических теориях и законах;

г) методологию математики, т.е. общетеоретические  истолкования математических законов  и теорий, характеризующие общий  подход к изучению предмета математики.

Все эти элементы постоянно находятся  во взаимосвязи и в развитии. Выяснение  того, как происходит это развитие в изучаемый исторический период и куда оно ведет, и является предметом истории математики. История математики есть наука об объективных законах развития математики.

3. О материалистическом понимании предмета истории математики.

Как было отмечено ранее математика есть наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. Эти объекты математики не представляют непосредственно данной реальности. Они являются плодом абстракции.

Чтобы исследовать средствами математики какой-либо предмет или явление, необходимо отвлечься от всех качественных особенностей его, кроме тех, которые характеризуют количество или форму.

В ходе развития математики рассматриваются  все более абстрактные объекты, входящие в класс количественных отношений и пространственных форм. В современных математических теориях эти формы и отношения часто предстают в весьма отвлеченном виде.

Абстрактность предмета математики лишь затушевывает происхождение (зачастую сложное, многостепенное, опосредованное) всех понятий математики из материальной действительности, но ни в каком случае не отменяет его. История показывает, что запас количественных отношений и пространственных форм, изучаемых математикой, непрерывно расширяется в неразрывной связи с запросами техники и естествознания, наполняя все более богатым содержанием общее определение математики.

Остановимся на вопросах периодизации истории математики. В истории  математики различают несколько  больших периодов, отличающихся рядом  характерных особенностей.

4.Первый период математики – донаучный. Математика очень древняя наука. Считать и оперировать числами люди умели и раньше. Существуют специально математические тесты, давность которых исчисляется в четыре и более тысяч лет и которые, как теперь можно считать доказанным, представляли уже собой материал для упражнений в школе. Впервые возникают основные первичные и важнейшие математические понятия и операции, такие как абстрактные понятия как угол, площадь, объем и др. И если мы хотим выяснить логическую сущность понятий числа, площади, объема и других, важнейших для математики понятий, их отношение к материальной действительности, роль практики в их возникновении и развитии, мы должны обратиться к этому периоду истории математики.

В этот период хотя  и  существуют уже общие алгоритмы для решения некоторых классов задач, но рассматриваются они только на конкретных примерах. Общие правила пока не формулируются. К этому периоду относится математика первобытных народов и математические знания древних египтян и вавилонян. Познакомившись с содержанием математики этого времени, начинаешь удивляться тому, какие важные и трудные историко-математические задачи могли быть связаны со столь отдаленными временами.

5.Второй период математики естественным периодом в истории математики является история античной греческой математики. В это время математика стала наукой, обладающей основными характерными для нее – вплоть до нашего времени – особенностями. Решаются задачи относящиеся, например, к истории понятий величины и действительного числа, истории теории делимости, предыстории дифференциального и интегрального исчислений, истории алгебры, аналитической геометрии и других разделов и понятий математики. Над которыми и теперь еще работают историки математики. Следует отметить, что и по отношению к этому периоду перед историками математики стоит еще ряд интересных и важных задач.

6.Третий период математики большой период в истории математики, который естественно назвать периодом элементарной математики, охватывает историю математики у разных народов не всегда одного и того же времени: древних и средневековых Китая и Индии; народов Средней Азии и Кавказа; арабов и средневековых европейцев, вплоть до эпохи Возрождения включительно. Здесь речь идет, прежде всего, о разработке важнейших вычислительных алгоритмов, в том числе необходимого для нужд астрономии приближенного вычисления с любой наперед заданной степенью точности тригонометрических функций, и связанного с ним приближенного решения кубических уравнений.

К этому же периоду  относятся русские математические рукописи XI – XVI вв.

История математики этого периода  в последнее время стала предметом  интенсивного научного исследования, и новые данные, особенно связанные  с историей математики народов Средней  Азии, Китая и Индии, опровергают  ряд прочих установившихся среди историков математики неверных представлений.

7.Четвертый период математики относится история европейской математикиXVI – XVIII столетий, сюда же относят деятельность Петербургской Академии наук в XVIII в. Это период создания буквенных исчислений и математического анализа и связан он с введением в математику переменной величины и общего понятия функции.

«Поворотным пунктом  в математике была декартова переменная величина», - писал Энгельс. «Благодаря этому в математику вошли движение и диалектика, и благодаря этому же стало немедленно необходимым дифференциальное и интегральное исчисление, которое тотчас и возникает, и которое было, в общем и целом завершено, а не изобретено, Ньютоном и Лейбницем» (Ф. Энгельс, Диалектика природы, 1948, стр. 208).

Занимаясь вопросами  диалектико-материалистического обоснования  дифференциального исчисления, К. Маркс  в своих математических рукописях  посвятил истории дифференциального  исчисления этого времени специальный  очерк.

8.Пятый период математики (последний) период – история математики XIX – XXI столетий – или период современной математики. История математики XIX в. представлена в известных трудах великих математиков этого периода: Кеплера, Кавальери, Декарта, Ферма, Паскаля, Гюйгенса, Валлиса, Ньютона, Лейбница, Бернулли (Якова, Ивана, Даниила), Эйлера, Лагранжа, Лапласа и других. Для этого периода характерны пересмотр и расширение всех основных понятий математики, начиная с понятия функции, расширение которого было связано с потребностями теперь уже не только механики и астрономии, но и, особенно, математической физики; разработка теории специальных функций (особенно эллиптических); создание новых, абстрактных, математических дисциплин, таких, как теория инвариантов, теории групп, полей, колец, структур и других алгебраических систем («современная алгебра»), неевклидовы геометрии, теория функций комплексного переменного, теория множеств и теория функций действительного переменного, функциональный анализ, топология; разработка аксиоматического метода и задач обоснования математики, математической логики и теории алгоритмов, математической статистики и теории информации, теории автоматов.

В основу периодизации положены важнейшие математические идеи, результаты и методы, определяющие содержания работ и характерные черты каждого периода. Эти же периоды, в общем и целом, соответствуют основным этапам истории развития производительных сил и производственных отношений общества. Действительно, сначала мы имели дело с математическими знаниями людей первобытного общества и ранних ступеней рабовладельческого строя, затем перешли к математике древних греков, т.е. математике наиболее развитого рабовладельческого общества, третий период соответствует, в основном, феодальному способу производства, четвертый – эпохе возникновения капитализма. Пятый период – это период более развитого капитализма и до настоящего времени.

Таким образом, с развитием  производительных сил общества усложняются  задачи, которые приходится решать науке, и изменяются условия, в которых она находится. В частности, в условиях подъема производительных сил и победы прогрессивных слоев общества создается обстановка, благоприятствующая развитию науки, и наоборот, господство реакционных классов и их мировоззрения препятствуют ее развитию. Этим объясняется то, что рабовладельческий строй в Риме, почти ничего не давшего для истории математики, так как реакционные силы в частности, юристы постановили «относительно злодеев (преступников), математиков и им подобных», что «обучать искусству геометрии и участвовать в публичных упражнениях в искусстве, столь заслуживающем осуждения, как математика, запрещается», а в средневековом феодальном обществе, также сковывавшем развитие науки, математиков отождествляли с колдунами, что «хороший христианин должен остерегаться математиков и всех тех, кто занимается пустыми пророчествами. Нам угрожает реальная опасность, что математики заключили договор с дьяволом, чтобы затемнить ум и заключить человека в узы ада» (M.Keine.MathematicsinWesternCulture, London, 1954, стр.3).

На уроке истории математики следует отметить важность истории  математики для целей преподавания и воспитания молодежи.

Преподаватели знают, что беседы из истории математики оживляют преподавание, повышают интерес к предмету, расширяют их кругозор, знакомят со значением математики для развития техники и естествознания. На примерах творческой жизни ученых, на примерах истории их открытий можно привить учащимся веру в их собственные силы, желание испытать эти силы на тех задачах, которые возникают перед современной наукой. Исторические беседы позволяют подвести учащихся к пониманию того, что современное состояние науки базируется на ее прошлом и содержит в зародыше ее будущее.

Поэтому интерес преподавателей школ и высших учебных заведений, а также студентов и учащихся средних школ к истории математики как отечественных, так и зарубежных ученых, не должен быть временным и преходящим.

На уроках математики, следуя программе  каждого класса и в соответствии с возрастными особенностями  школьников, необходимо помещать серию коротких (на 3 или 5 минут) рассказов из истории математики и ее применении в житейской практике и в науке. Не обязательно выдерживать историческую последовательность и опасаться повторения таких бесед в разных классах на уроках, так как беседы могут быть одинаковыми по теме, но различными по глубине и широте охвата исторического и фактического материала.