Краевые задачи для эллиптических уравнений

Содержание

Введение…………………………………………………………………………………3

1.  Постановка задач…………………………………………………………………….4

2. Решение задачи Дирихле для шара…………………………………………………6

3. Задача Дирихле для внешности сферы……………………………………………12

Заключение…………………………………………………………………………… 14

Список использованной литературы…………………………………………………15

Введение

Необходимость решения эллиптических уравнений в неограниченной области возникает в различных задачах математической физики. Как правило, в подобных задачах источники сосредоточены на некотором ограниченном множестве S, так что находить решение во всем пространстве нет необходимости. Это позволяет заменить исходную задачу задачей в некоторой ограниченной области, на границе которой поставлены искусственные граничные условия. Проблеме построения таких условий посвящено большое количество работ. В идеальном случае искусственные граничные условия должны быть выбраны так, чтобы решение задачи в ограниченной расчетной области совпадало в этой области с решением исходной задачи. Однако точные искусственные граничные условия являются, как правило, нелокальными и требуют значительных вычислительных затрат при реализации. Поэтому на практике их обычно приходится заменять приближенными локальными условиями.

1. Постановка задач

Будем рассматривать два типа областей: конечные и бес­конечные. В обоих случаях границу области будем предпола­гать конечной; как всегда, граница предполагается состоящей из конечного числа кусочно-гладких поверхностей. В последующих главах иногда — это будет каждый раз особо оговариваться — будут рассматриваться так называемые полубесконечные области, границы которых бесконечны. Про­стейшим примером полубесконечной области является полу­пространство.

Краевая задача для эллиптического уравнения называется внутренней, если искомая функция должна быть определена в конечной области, и внешней, если эта функция должна быть определена в бесконечной области.

     Важнейшими                                         краевыми задачами для эллиптического урав­нения второго порядка являются задача Дирихле (первая краевая задача) и задача Неймана (вторая краевая задача).  Рассмотрим эллиптическое уравнение общего вида

                                                                              (1)

Внутреннюю задачу Дирихле для этого уравнения сфор­мулируем следующим образом.

              Пусть G — конечная область с кусочно-гладкой границей Г и  φ(x) — функция, заданная и непрерывная на границе Г. 

Требуется найти решение уравнения (1), которое принадле­жало бы классу и совпадало бы на границе с заданной функцией φ(x):

u(x) = φ(x), x€Г

              Внутреннюю задачу Неймана для того же уравнения (1) сформулируем таким образом.

              Найти решение u(x) уравнения (1), обладающее свой­ствами:

u Є ; на множестве тех точек xЄГ, в которых существует нормаль ν к поверхности Г, выпол­няется равенство

                                                                (2)

              Здесь х' — точка, лежащая внутри G на нормали ν, х'k — декартовы координаты этой точки, а ψ(x)— функция, задан­ная на упомянутом множестве точек поверхности Г.

              Краевое условие задачи Неймана мы будем ниже записы­вать короче в виде

                                      (31) 

              Запись (31) можно понимать буквально, если u C(1)(G).

Если Ajk = δjk, то старшие члены уравнения (1) образуют оператор Лапласа; само уравнение принимает вид

                                                                                 (4)                                                                                                                           

Краевое условие (31)принимает в этом случае особенно простую форму:

                                                            (5)

              Внешние задачи отличаются от соответствующих внутрен­них только тем, что на неизвестную функцию накладывается добавочное требование

                   x→                                                   (6)

2. Решение задачи Дирихле для шара

              Пусть дан шар ШR радиуса R с центром в начале координат. Поставим задачу об отыскании функции uЄC(ШR), гармонической в шаре и удовлетворяющей краевому условию

                                      (1)

где SR — граница шара и φ(x) — функция, заданная и непрерывная на сфере SR.

              Решать нашу задачу будем следующим образом. Предполагая, что решение существует и удовлетворяет некоторым более жестким требованиям, мы построим формулу, определяющую решение по данным задачи. После этого мы докажем, что построенная формула на самом деле дает решение задачи.

              Пусть поставленная нами задача имеет решение u(x), принадлежащее классу

              Напишем интегральное представление этого решения

         (2)

              Возьмем точку x внутри шара, и пусть x' — точка, симметричная с точкой x относительно сферы SR (рис. 1). Это значит, что точки x и x' лежат на одном луче, проходящем через центр шара, и что

                                                       (3)

Обозначим

r = | x - ξ |,   r' = | x'- ξ |.

              Заметим, что r’≠0, когда точка ξ движется внутри сферы или по ее поверхности. Введем функцию

;                                                     (4)

она гармонична в любой области, не содержащей точки х'. В частности, функция (4) гармонична в шаре ШR.

              К паре функций и и v применим формулу Грина (6.10) гл. 10. Обе функции гармоничны, поэтому объемный интеграл исчезает, и мы получаем

                                   (5)

              Для дальнейшего важно то обстоятельство, что первые члены под интегралами (2) и (5) отличаются только множи­телем, не зависящим от ξ. Эго можно доказать на основании того простого соображения, что треугольники Охξ и Ох’ξ (рис. 1)

подобны. Действительно, у этих треугольников угол в точке О общий, а заключающие этот угол стороны про­порциональны в силу соотношения (3). Из подобия треуголь­ников следует, что

              Отсюда

и, следовательно,

так что и отличаются множителем , не зависящим от ξ.

Будем далее обозначать | x | = ρ, | x' | = ρ'.

Умножим формулу (5) на

И вычтем из формулы (3):

Замечая, что в силу краевого условия задачи Дирихле

получаем формулу для решения (в предположении,, что оно существует и принадлежит классу  ):

    (6)

              Формулу (6) можно упростить. Прежде всего, для шара направления внешней нормали и радиуса совпадают, поэтому

cos (v, xk) =

и

Отметим еще формулы

здесь xk  и x’k координаты точек х и х’ соответственно.

              Легко вычислить второй член под знаком интеграла (6):

(7)

Аналогично

Умножим это выражение на  ; учитывая ранее полученное соотношение , получаем

точки x и x' лежат на одном луче, проходящем через начало, поэтому

и следовательно,

                               (8)

Подставляя выражения (7) и (8) в интеграл (6), получим окончательно

                                   (9)

Формула (9) называется формулой Пуассона, а выражение

­– ядром Пуассона.

              Из наших рассуждений следует, что формула Пуассона, во всяком случае, справедлива для любой гармонической функции класса

Отметим некоторые свойства ядра Пуассона.

1.     Ядро Пуассона неотрицательно. При ρ = R оно всюду равно нулю, кроме точки х = ξ, вблизи которой оно неограничено.

2.     Если точка х меняется внутри шара, то ядро Пуас­сона есть гармоническая функция от х.

3.     Справедлива формула

                             (10)

              В самом деле, будем искать функцию, гармоническую в шаре и принимающую на границе значение 1. В силу тео­ремы единственности решение этой задачи Дирихле всюду будет равно 1. Очевидно, что 1 Є и для нее спра­ведлива формула Пуассона, которая в данном случае совпа­дает с формулой (10).

              Докажем теперь, что если функция (р (х) непрерывна на сфере S%, то формула Пуассона дает гармоническую в ШR функцию, которая имеет в любой точке x0 сферы SR предельное значение φ(x0).

              Пусть u(x) — функция точки х, определенная внутри шара ШR формулой Пуассона (9). Очевидно, что эта функ­ция непрерывна и имеет производные всех порядков внутри шара. Легко видеть, что она гармоническая:

              Пусть точка х стремится изнутри сферы SR к точке x0, лежащей на этой сфере. Из формулы (9) вычтем формулу (10), предварительно умноженную на φ(х0):

     (11)

              Функция φ(х) непрерывна на сфере SR; выберем на SR сферическую окрестность σ точки х0 столь малую, чтобы

где ε – произвольно выбранное положительное число. Заме­тим, что в SR\σ

| ξ – x0 | ≥ δ,

где δ – радиус окрестности σ.

              Оценим разность u(x) – φ(x0), для чего интеграл (11) разобьем на два: по σ и по SR\σ

Для первого интеграла имеем

              Мы получили оценку для первого интеграла независимо от положения точки х. Второй интеграл можно сделать малым за счет близости точек x и x0. Возьмем эти точки столь близкими, чтобы выполнялось неравенство

| х— x0 | < δ/2.

Тогда

Откуда

Теперь

              Функция φ непрерывна на замкнутом множестве и потому ограничена. Пусть | φ(ξ) | ≤  M=const, тогда | φ(ξ) – φ(x0) | ≤  2M. 

Теперь имеем

              Возьмем число h>0 столь малым, чтобы

Тогда если | x0  – x | < h, то R – ρ = | x0 | – | x | ≤ | x0  – x | < h и | u(x) – φ(x0)| < ε Отсюда следует, что

,                                               (12)

Функцию и(х), определенную в открытом шаре формулой Пуассона (9), доопределим на сфере SR, положив и(х)=а(х), х Є SR. Доопределенная таким образом функция гармонична внутри шара, непрерывна, в силу формулы (12), в замкнутом шаре и удовлетворяет краевому условию (4). Задача Дирихле для шара решена.

3. Задача Дирихле для внешности сферы

              Пусть 2 —внешность шара радиуса R с границей SR и пусть требуется найти функцию u(x), гармоническую в 2 и удовлетворяющую краевому условию

                                                                                                 (1)

Докажем, что решение этой задачи дается формулой Пуассона

                                          (2)

где, r = | ξ - x | и ρ = | x |

              Доказывается, что функция u(x), определяемая формулой (2), имеет вне сферы SR непрерывные производные всех порядков и удовлетворяет уравнению Лапласа. Исследуем поведение этой функции на бесконечности. Очевидно, r ≥ ρ–R. Отсюда

Нас интересуют большие значения ρ. Будем, поэтому считать,

что ρ>2R. Тогда и .              Теперь

и функция u(x) гармонична вне шара.

              Остается доказать предельное равенство

                                        (3)