Операции над множествами

§2. Операции над  множествами.

 

Рассмотрим некоторые  операции над множествами.

 

2.1 Пересечение  множеств.

Пусть даны два множества: А={a; b; c; d} иB={c; d; e}.образуем новое множество Р, состоящее из всех  элементов, принадлежащих одновременно и множеству А, и множеству В, т.е. Р={c;d}. Тогда говорят, что множество Р является пересечением множеств А и В.

Определение 1.4

 Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее их всех тех и только тех элементов, которые принадлежат множествам А и В одновременно.

Символически пересечение множеств А и В обозначается так: АÇВ, где символ Ç - знак пересечения множеств. Используя характеристическое свойство, определение 1.4 можно записать следующим образом:

 

Р=АÇВ= {x ïxÎA и xÎB}={x ï xÎA Ù xÎB}.      (1)

 

Таким образом, (1) есть характеристическое свойство пересечения двух множеств.

Союз “и” иногда заменяют фигурной скобкой, и тогда (1) будет  иметь вид:

 

          (2)

 

Для обозначения одновременной  принадлежности множеству А и  множеству В используется также знак Ù (конъюнкция, или логическое “и”):

 

xÎAÇB  Þ  xÎA  Ù  xÎB    (2а)

 

Читаются выражения (2) и (2а) одинаково: если х принадлежит  пересечению множеств А и В, то х  принадлежит как множеству А, так и множеству В.

Если мы имеем ситуацию, когда х не принадлежит пересечению множеств А и В, то это означает, что х не принадлежит или множеству А, или множеству В.

Символически это может  быть записано так:

 

    (3)

 

где квадратная скобка заменяет союз “или”.

В символической записи союз “или” может быть заменен также знаком Ú (дизъюнкция, логическое “или”):

 

хÏАÇВ  Þ  хÏА Ú хÏВ.                                      (3а)

 

Читаются выражения (3) и (3а) одинаково: если х не принадлежит  пересечению множеств А и В, то х не принадлежит или множеству А, или множеству В.

Графическая иллюстрация  вариантов пересечения двух множеств приведена на рис. 7¸10 (пересечение заштриховано).

 

 

 

 

 

рис. 7        рис. 8     рис. 9  рис. 10

 

 

2.2 Объединение  множеств.

Множества А и В входят в их объединение только один раз. Это вполне соответствует толкованию множества, принятому в математике: ни один элемент не может содержаться в множестве несколько раз.

Определение 1.5

Объединением двух множеств А и В называется такое множество С, которое состоит из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В.

Символически объединение  двух множеств А и В обозначается так:

 А È В, где È - символ объединения множеств. Определение 1.5 можно записать с помощью характеристического свойства:

 

С= А È В={xï xÎA или xÎB}.       (4)

 

Союз “или” иногда заменяют квадратной скобкой

 

       (5)

 

а также знаком дизъюнкции

 

х ÎА È В Þ  хÎА Ú хÎВ.                        (5а)

 

Читаются эти знаки  одинаково: если элемент х принадлежит объединению двух множеств А и В, то он принадлежит множеству А или множеству В.

Если же элемент х  не принадлежит объединению множеств А и В, то он не принадлежит ни множеству А, ни множеству В. Символически это может быть записано так:

 

     (6)

или

 

x ÏAÈB Þ xÏA Ù xÏB.    (6а)

 

Графически варианты объединения  двух множеств показаны на рис. 11÷14 (объединение заштриховано).

                 

 

 

 

 

рис. 11        рис. 12      рис. 13    рис. 14

 

Отметим  некоторые  очевидные свойства операции объединения  двух множеств:

 

АÈА=А,    АÈÆ=А,  АÈU=U.       (7)

 

Замечание1.

Если А₁, А₂,…, А_n – несколько множеств, то аналогично тому, как это делалось для двух множеств, определяется их пересечение, т.е. составляется множество, представляющее их общую часть:

 

Р= А₁Ç А₂Ç…Ç А_n={x ï xÎ" A_i, i= },

 

Где символ " (квантор всеобщности) заменяет слово “все”, и, таким образом, мы символически обозначили ту часть множеств A_i, которая принадлежит каждому множеству одновременно.

 

Замечание 2.

Если А₁, А₂,…, А_n – несколько множеств, то аналогично тому, как это делалось для двух множеств, определяется их объединение – составляется множество, состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному их них:

 

C= A₁ÈA₂È…ÈA_n={x ï xÎA₁ или xÎA₂ или …или xÎA_n}.

 

Замечание 3.

Если в выражении есть знаки È и Ç и нет скобок, то сначала выполняется операция пересечения, а потом – операция объединения (аналог сложению и умножению в арифметике).

 

2.3 Разность множеств.

Определение 1.6

Разностью двух множеств А и В  называется множество, состоящее из всех тех  и только тех элементов, которые принадлежат множеству  А и не принадлежат множеству В.

Символически разность двух множеств обозначается так:

А ÷ В, где символ ÷  является знаком разности для множеств. С помощью характеристического свойства запишем определение 1.6 следующим образом:

 

C=A ÷ B={x ï xÎA и xÏB}       (8)

 

Или  

     (9)

 

а также     xÎA÷B Þ xÎA  Ù  xÏB.    (9а)

 

 

Пример 1.

 

Если E₁={2; 4; 6} и E₂={6; 8; 10},     то E₃=E₁÷E₂={2; 4},         E₄=E₂÷E₁={8;10}.

 

Пример 2.

 

Если M₁={x₁; x₂; x₃},  M₂={y₁; y₂}, то M₃=M₁÷M₂={ x₁; x₂; x₃},

M₄=M₂÷M₁={y₁; y₂}.

 

Пример 3.

 

Если K₁={1; 3; 5; 7; 9}, K₂={5; 7; 1}, то K₃=K₁÷K₂={3; 9}, K₄=K₂÷K₁=Æ.

 

Графическое представление  вариантов разности двух множеств А  и В показано на рис. 15÷18, где множество А ÷ В заштриховано.

 

 

 

 

рис. 15          рис. 16       рис. 17     рис. 18

 

 

2.4 Дополнение  к множеству.

Определение 1.7

 Пусть В Ì А. Множество всех элементов множества А, не принадлежащих множеству В, называют дополнением к множеству В и обозначают или .

Если ясно, о каком множестве  идёт речь, то индекс А опускается и пишут       или .

Определение 1.8

Пусть А – некоторое  множество, являющееся частью универсального (основного) множества U. Дополнением множества А называется множество, состоящее из всех  тех и только тех элементов их множества U, которые не принадлежат А. Его обозначают     или .

 Это определение  может быть записано в виде:

 

= {x ï xÏA}.       (10)

 

Графически дополнения (соответственно определениям 1.7 и 1.8) изображены на рис. 19 и 20 соответственно, на которых дополнения заштрихованы.

 

 

 

 

рис. 19      рис. 20