Применение теоремы Пифагора

Муниципальное общеобразовательное  учреждение

Леботерская основная общеобразовательная  школа

 

 

 

 

 

 

 

 

РЕФЕРАТ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Авторы: ученики 8 класса

Пчелкина Ирина

Макарова Надежда

 

Руководитель: учитель математики

Стасенко Валентина Кузьминична

 

 

 

 

с. Леботер 2009г.

 

 

Оглавление

Введение…………………………………..……………………………………3

1. Из  биографии Пифагора     ……………………………………………   4

2. Пифагор  и пифагорийцы …………………………………………………6

3. Из  истории создания теоремы ………………………………………….8

4. Шесть  доказательств теоремы …………………………………………12

4.1. Древнекитайское доказательство  ……………………………………

4.2. Доказательство Дж. Гардфилда ………………………………

  4.3  Доказательство старейшее ……………………………………13.

4.4. Доказательство простейшее ………………………………… 

  4.5 Доказательство древних …………………………………………14

4.6. Доказательство Евклида ………………………………………  15.

5. Применение  теоремы Пифагора ……………………………………    16

5.1. Задачи теоретические …………………………………………  

5.2. Задачи практические (старинные)  …………………………  

Заключение  ………………………………………………………………… 18

Список  литературы ……………………………………………………       19

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

 

В этом учебном  году мы познакомились с интересной теоремой, известной, как оказалось  с  древнейших  времён:

«Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника равновелик сумме квадратов  построенных на катетах».

 

Обычно открытие этого утверждения приписывают  древнегреческому философу и математику Пифагору (VI век до н.э). Но изучение древних рукописей показало, что это утверждение было известно задолго до рождения Пифагора.

Мы заинтересовались, почему в таком случае её связывают с именем Пифагора.

Целью нашего исследования было: узнать, кто такой был Пифагор  и какое отношение он имеет  к этой теореме. Изучая историю теоремы, мы решили выяснить:

• Существуют ли другие доказательства этой теоремы?
• Каково значение этой теоремы в жизни людей?
• Какую роль сыграл Пифагор в развитии математики?

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пифагор Самосский  – великий греческий учёный. Его  имя знакомо каждому школьнику. Если вас попросят назвать  одного древнего математика, то абсолютное большинство  назовут Пифагора. Его известность связана с названием теоремы  Пифагора. Хотя сейчас уже мы знаем, что эта  теорема  была известна в древнем Вавилоне за 1200 лет до Пифагора, а в Египте за 2000 лет до него был известен  прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4, 5.

Про жизнь Пифагора почти ничего не известно, с его  именем  связано большое количество  легенд.

Пифагор родился  в 570 году до н. э на острове Самос. Отцом Пифагора был Мнесарх –  резчик по драгоценным камням. Мнесарх, по словам Апулея, «славился среди мастеров своим искусством вырезать геммы», но стяжал скорее славу, чем богатство. Имя матери Пифагора не сохранилось.

Пифагор  имел красивую внешность, носил длинную  бороду, а на голове золотую диадему. Пифагор - это не имя, а прозвище, которое философ получил за то, что всегда говорил верно и убедительно, как греческий оракул. (Пифагор - "убеждающий речью".) (интернет2)

Среди учителей юного Пифагора были старец Гермодамант и Ферекид  Сиросский (хотя и нет твердой уверенности в том, что именно Гермодамант и Ферекид были первыми учителями Пифагора). Целые дни проводил юный Пифагор у ног старца Гермодаманта, внимая мелодии кифары и гекзаметрам Гомера.

    Страсть к музыке и поэзии великого Гомера Пифагор сохранил на всю жизнь. И, будучи признанным мудрецом, окруженным толпой учеников, Пифагор начинал день с пения одной из песен Гомера. Ферекид же был философом и считался основателем италийской школы философии. Таким образом, если Гермодамант ввел юного Пифагора в круг муз, то Ферекид обратил его ум к логосу. Ферекид направил взор Пифагора к природе и в ней одной советовал видеть своего первого и главного учителя.

 

 

 

 

 

Но как бы то ни было, неугомонному воображению  юного Пифагора очень скоро стало  тесно на маленьком Самосе, и он отправляется в Милет, где встречается с другим ученым - Фалесом. Фалес советует ему отправится за знаниями в Египет, что Пифагор и сделал.(интернет1)

В 550 году до н. э Пифагор  принимает решение  и отправляется в  Египет.  Итак, перед Пифагором  открывается  неизвестная страна  и неведомая культура. Многое  поражало и удивляло  Пифагора в этой стране, и после некоторых  наблюдений за жизнью египтян Пифагор понял, что путь к знаниям, охраняемым кастой жрецов, лежит   через религию.

Вместе с египетскими мальчиками сел за известняковые пластинки  и он возмужалый Эллин с черной  курчавой бородой. Но в отличие от своих меньших сотоварищей  уши бородатого Эллина были не на спине, да и голова стояла на месте. Очень скоро  Пифагор  далеко обогнал своих  однокашников. Но школа писцов была лишь первой ступенью на пути к тайному знанию.

 После одиннадцати  лет обучения в Египте, Пифагор  отправляется на Родину, где по  пути попадает в Вавилонский  плен.  Там он знакомиться с  вавилонской наукой, которая была более развита,  чем Египетская. Вавилоняне умели решать линейные, квадратные и некоторые виды кубических уравнений. Они успешно  применяли теорему Пифагора более чем за 1000 лет до Пифагора. Бежав из плена, он не смог  долго оставаться на Родине из-за  царившей там атмосферы насилия и тирании. Он решил  переселиться в Кротон (греческая колония на севере Италии).

Именно в  Кротоне начинается самый славный  период в жизни Пифагора. Там он учредил нечто вроде религиозно-этического братства или тайного монашеского ордена, члены которого обязывались вести так называемый пифагорейский образ жизни. [6]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    

 

 

 

   Пифагор организовал в греческой колонии на юге Апеннинского полуострова религиозно-этическое братство, типа монашеского ордена, который в последствии назовут пифагорейским союзом. Члены союза должны были придерживаться определённых принципов:

        во-первых, стремиться к прекрасному и славному,

        во-вторых, быть полезным,

        в-третьих, стремиться к высокому наслаждению.

 Система морально-этических правил, завещанная Пифагором своим ученикам, была собрана в своеобразный моральный кодекс пифагорейцев – «Золотые стихи», которые пользовались большой популярностью в эпоху Античности, эпоху Средневековья и эпоху Возрождения.

Пифагорейская система занятий состояла из трёх разделов:

• учения о числах – арифметике,
• учения о фигурах – геометрии ,
• учения о строении Вселенной – астрономии.

Система образования, заложенная Пифагором, просуществовала  много веков.

Пифагорейцы учили, что Бог положил числа в основу мирового порядка. Бог – это единство, а мир – множество и состоит из противоположностей. То, что приводит противоположности к единству и соединяет всё в космос, есть гармония. Гармония является божественной и заключается в числовых выражениях. Кто до конца изучит гармонию, сам станет божественным и бессмертным.

Музыка, гармония и числа были неразрывно связаны  в учении Пифагорейцев. Математика и числовая мистика были фантастически  перемешаны в нём.

Пифагор считал, что число есть сущность всех вещей и что Вселенная представляет собой гармоническую систему чисел и их отношений. [3]

Школа Пифагора много сделала, чтобы придать  геометрии характер науки. Основной особенностью метода Пифагора было объединение  геометрии с арифметикой.

Пифагор много  занимался пропорциями и прогрессиями и, вероятно подобием фигур, так как  ему приписывают решение задачи: "По данным двум фигурам построить  третью, равновеликую одной из данных и подобную второй". Пифагор и  его ученики ввели понятие о многоугольных, дружественных, совершенных числах и изучали их свойства. Арифметика как практика вычислений не интересовала Пифагора, и он с гордостью заявил, что "поставил арифметику выше интересов торговца". Пифагор одним из первых считал, что Земля имеет форму шара и является центром Вселенной, что Солнце, Луна и планеты имеют собственное движение, отличное от суточного движения неподвижных звезд. Учение пифагорейцев о движении Земли Николай Коперник воспринял как предысторию своего гелиоцентрического учения. Недаром церковь объявила систему Коперника "ложным пифагорейским учением". [6]

 

В школе Пифагора открытия учеников приписывались учителю, практически не возможно определить, что сделал Пифагор, а что его  ученики.

Споры ведутся  вокруг пифагорейского союза уже третье тысячелетие, однако, общего мнения нет. У пифагорейцев было множество символов и знаков, которые были своего рода заповедями, например, «через весы не шагай», т.е. не нарушай справедливости; 2 огня ножом не вороши», т. е. не задевай гневных людей обидными словами.

     Но главным пифагорейским символом  -

символом здоровья и опознавательным 

знаком –  была пентаграмма или                                             

пифагорейская звезда – звёздчатый

пятиугольник, образованный диагоналями

правильного пятиугольника. [4]

 

 

Членами пифагорейского союза были жители многих городов  Греции. В своё общество пифагорейцы  принимали и женщин. Союз процветал  более двадцати лет, а потом начались гонения на его членов, многие из учеников были убиты. О смерти самого Пифагора ходило много самых разных легенд. Но учение Пифагора и его учеников продолжало жить.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В настоящее время известно, что эта теорема не была открыта Пифагором. Однако одни полагают, что Пифатор первым дал ее полноценное докзательство, а другие отказывают ему и в этой заслуге. Некоторые приписывают Пифагору доказательство, которое Евклид приводит в первой книге своих "Начал". С другой стороны, Прокл утверждает, что доказательство в "Началах" принадлежит самому Евклиду. Как мы видим, история математики почти не сохранила достоверных данных о жизни Пифагора и его математической деятельности. Зато легенда сообщает даже ближайшие обстоятельства, сопровождавшие открытие теоремы. Многим известен сонет немецкого писателя-романиста Шамиссо:[9]   

Пребудет вечной истина, как скоро 
   Ее познает слабый человек! 
   И ныне теорема Пифагора 
   Верна, как и в его далекий век. 
 
   Обильно было жертвопринашенье 
   Богам от Пифагора. Сто быков 
   Он отдал на закланье и сожженье 
   За света луч, пришедший с облаков. 
 
   Поэтому всегда с тех самых пор, 
   Чуть истина рождается на свет, 
   Быки ревут, ее почуя ,вслед. 
 
   Они не в силах свету помешать , 
   А могут лишь закрыв глаза дрожать 
   От страха, что вселил в них Пифагор.

 

 

 

Исторический  обзор начнем с древнего Китая. Здесь особое внимание привлекает математическая книга Чу-пей. В этом сочинении так говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5:

"Если прямой угол разложить  на составные части, то линия,  соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4".

Очень легко  можно воспроизвести их способ построения. Возьмем веревку длиною в 12 м. и  привяжем к ней по цветной полоске  на расстоянии 3м. от одного конца и 4 метра от другого . Прямой угол окажется заключенным между сторонами длиной в 3 и 4 метра.

 

В этой же книге  предложен рисунок, который совпадает  с одним из чертежей индусской  геометрии Басхары.

Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство

3 ² + 4 ² = 5²

было известно уже египтянам еще около 2300 г. до н. э., во времена царя Аменемхета I (согласно папирусу 6619 Берлинского музея).

По мнению Кантора гарпедонапты, или "натягиватели веревок", строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5.

Несколько больше было известно о теореме Пифагора вавилонянам. В одном тексте, относимом ко времени Хаммураби, т.е. к 2000 году до нашей эры, приводится приближенное вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника; отсюда можно сделать вывод, что в Двуречье умели производить вычисления с прямоугольными треугольниками, по крайней мере, в некоторых случаях.