Простые числа

План 

Введение…………………………………………………………………………...3

§1. Роль простых чисел в математике…………………………………………...4

§2. Узы дружбы в мире чисел…………………………………………………..12

§3. Проблема Гольдбаха………………………………………………………...15

§4. Задачи………………………………………………………………………...17

Заключение ……………………………………………………………………...20

Библиография …………………………………………………………………..21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Простые числа с давних времен привлекают внимание математиков. Простые числа следует одно за другим по закону, который еще не найден. Но простые числа в математике играют важную роль. Среди натурального ряда выделяют простые числа.

В данной работе поставленная цель:

Показать, что простые числа играют большую роль в математике.

Задачи для этой работы следующие:

1. Показать способы нахождения простых чисел.
2. Назвать имена математиков, связанных с историей открытия простых чисел.
3. Составить задачи с использованием простых чисел.

 

§1. Роль простых чисел в математике

Каждое натуральное число, больше единицы, делится, по крайней мере, на два числа: на 1 и на само себя. Если ни на какое другое натуральное число оно на целое не делится, то называется простым, а если у него имеются ещё какие- то целые делители, то составным. Не о всяком числе можно сразу сказать, простое оно или составное. Возьмем, например, число 1999. Если нет под рукой специальных справочных таблиц или помощника компьютера, то придется вспомнить о старом, но надежном решете Эратосфена. Старинный способ, придуманный еще в 3 в. до н. э. Эратосфеном Киренским, хранителем знаменитой Александрийской библиотеки.

Разложение чисел на простые множители  показывает, что всякое число является либо простым, либо произведением двух или нескольких простых чисел. Можно  поэтому сказать, чтопростые числа  являются составными элементами натуральных  чисел, как бы кирпичами, из которых  при помощи действия умножения составляют все целые числа. Вот почему простыми числами начали интересоваться еще  в древности. Издавна бросалась  в глаза нерегулярность распределения  простых чисел среди натуральных  чисел. Было замечено, что по мере продвижения  от малого числа к большему в натуральном  ряду простые числа встречаются  все реже. Поэтому одним из первых вопросов был такой: существует ли последнее  простое число, т.е. имеет ли ряд  простых чисел конец?

Около 300 лет до н. э. на этот вопрос дал отрицательный ответ  знамениый древнегреческий математик  Евклид. Он доказал, что за каждым простым  числом имеется еще большее простое  число, т. е. существуе бесчисленное множество простых чисел. Другой греческий математик того же времени – Эратосфен изобрел способ, посредством которого можно найтивсе простые числа от 1 до некоторого определенного числа. Этот способ называется «решетом Эратосфена». Пусть, например, требуеся найти все простые числа между 1 и 50. Выписываем все числа от 1 до 50:

Зачеркиваем единицу, которая  не является ни простым, ни составным  числом (каждое простое число Р  имеет два и только два делителя: 1 и Р; каждое составное число имеет  больше двух делителей; единица же имеет  только один делитель 1), затем подчеркиваем число 2 и зачеркиваем все числа, кратные двум, т. Е. все числа таблицы, «через одно», начиная с двух. Далее подчеркиваем из не зачеркнутых чисел 3 и зачеркиваем все числа, кратные трем, т. е. «через два» и т. д. оказывается, что между 1 и 50 имеются следующие 15 простых чисел: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41; 43; 47. Этим способом в настоящее время составлены таблицы простых чисел между 1 и 12 000 000.

Для получения таблицы  простых чисел Эратосфен, писавший на растянуто папирусе, не зачеркивал, а прокалывал составные числа. Отсюда название «решето Эратосфена»; оно отсеивает простые числа.

После Евклида и Эратосфена многие другие ученные разных стран и  времен стремились глубже понять природу  простых чисел. Особенно хотелось найти  такую формулу, которая позволяла  быстро узнать, сколько простых чисел  имеется между 1 и любым числом натурального ряда. Лишь в ХIХ в., около2200 лет после Евклида, великий русский математик Пафнутий Львович Чебышев открыл формулу (Функция π(х), число простых чисел, не превосходящих х, удовлетворяет неравенствам: , где а и в – постоянные, вычисленные Чебышевым (а=0,921; в=1,06) и уточненные после него), позволяющую приближенно подсчитывать простые числа на любом участке натурального ряда. Начиная со второй половины ХХ в. для поиска больших простых чисел применяются электронные счетные машины. С их помощью доказана простота таких числовых гигантов, как:

2²²⁸¹-1; (750 цифр); 2³²¹⁷-1; (1000 цифр); и др.

Можно ли, повторять поэту, сказать, что простых чисел столько, «сколько звезд на небе, сколько рыб в воде»? Ответ находим в девятой книге знаменитого сочинения Евклида «Начала» - нетленного памятника Древнего мира. Двадцатая теорема в этой книге утверждает: «Первых (простых) чисел существует больше любого указанного числа их».

Вот доказательство этой теоремы. Предположим, что существует некое  наибольшее простое число P. Тогда перемножим все простые числа, начиная с 2 и кончая P, и увеличим полученное произведение на единицу: 2 3 5 7*… P + 1 = M. Если число М составное, то оно должно иметь, по крайней мере, один простой делитель. Но этим делителем не может быть ни одно из простых чисел 2, 3, 5, …, Р, поскольку при делении М на каждое из них получаем в остатке 1. Следовательно, число М либо само простое, либо делится на простое число, большее Р. Значит, предположение, что существует наибольшее простое число Р, наверно и множество простых чисел бесконечно.

Не о всяком числе можно  сразу сказать, простое оно или  составное. Возьмем, например, число 1999. Если нет под рукой специальных  справочных таблиц или помощника-компьютера, то придется вспомнить о старом, но надежном решете Эратосфена.

Первую известную нам  таблицу простых чисел составил итальянский математик Пьетро Антонио  Катальди в 1603 г. Она захватывала  все простые числа от 2 до 743

В 1770 г. Немецкий математик  Иоганн Генрих Ламберт опубликовал  таблицу наименьших делителей всех чисел, не превосходящих 102000 и не делящихся на 2, 3, 5. Вложив в этот труд поистине колоссальные усилия, Ламберт гарантировал бессмертие тому, кто доведет таблицу делителей до миллиона. На его призыв откликнулись многие вычислители.

К середине 19 века уже были составлены таблицы наименьших делителей  не только первого миллиона, но и  следующих, в плоть до 9. В это  же время в прессе появились сообщения, которые представлялись абсолютно  фантастическими: в Венскую академию поступило 7 больших томов рукописных таблиц «Великий канон делителей всех чисел, которые не делятся на 2, 3 и 5, и простых чисел между ними до 100330201». Автором этого труда был Якуб Филипп Кулик, профессор высшей математики Пражского университета.

В дальнейшем поиске простых  чисел уже не носили характера  массовой охоты, с которой можно  сравнить составление таблиц, а превратились в целенаправленный отбор отдельных  представителей. У охотников за числами  больше всего популярны простые  числа Марсена. Они названы в  честь французского ученого Марена Марсенна, Сыгравшего в 18 в. видную роль в становлении европейской науки.

Некоторые представления  о распределения простых чисел  имели уже древние греки. Из доказательства Евклида следует, например, что они не собраны вместе, а разбросаны по всей числовой оси. Но как часто?

В 1845 г французский математик  Жозеф Бертан, исследуя таблицу простых чисел в промежутке от 1 до 6000000, обнаружил, что между числами n и n2 – 2, где n > 3, содержится по крайней мере одно простое число. В последствии это свойство получило название постулата Бертрана, хотя самому Бертану обосновать его так и не удалось. Доказал его в 1852 г русский математик Пафнутий Львович Чебышев. Из результата Чебышева следовала и более точная оценка. Таким образом, даже среди очень больших чисел простые числа не так уж редки.

С другой стороны, существуют промежутки, включающие тысячи, миллионы, миллиарды и вообще какое угодно большое количество подряд стоящих натуральных чисел, среди которых нельзя найти ни одного простого! В самом деле, задавшись произвольным большим натуральным числом к, построим ряд чисел к! +2, к! +3,…, к! + к (здесь к! = 1*2*3*…*к). Каждое из этих чисел составное. Например, число к! + м делится на м, поскольку к! делится на м и само м делится на м.

Простые числа, делящихся  только на единицу и на самих себя (2,3,5,7,11,13,17,…), с давних времен привлекают внимание математиков. Более двух тысяч лет назад великий древнегреческий математик Евклид доказал, что ряд простых чисел бесконечен. Простые числа следуют одно за другим по закону, который еще не найден. Эти числа то на долго исчезают из натурального ряда, то по являются в нем часто, а иногда и по соседству: 11,13; 5971847, 5971849.

Профессор И.К. Андронов в книге «Арифметика натуральных чисел» приводит рассказ о воображаемом путешествии по бесконечной дороге простых чисел: «Мысленно возьмем прямолинейный провод, выходящий из классной комнаты в мировое пространство, пробивающий земную атмосферу, уходящий туда, где Луна совершает вращение, и далее за огненный шар Солнце, в мировую бесконечность.

Мысленно подвесим на провод через каждый метр электрические  лампочки, нумеруя их, начиная с ближней:1,2,3,…,1 000,…,1 000 000,…, включим ток с таким расчетом, чтобы загорелись все лампочки с простыми номерами, и полетим вблизи провода».

Вместе с автором этой книги мы начинаем движение с первой электрической лампочки, которая  не осветила нам старта; она не горит, так как ее номер (единица) не является простым числом. Сразу за ней две лампочки с номерами 2 и 3 включены, эти числа простые . Оставим позади горящие лампочки 5 и 7. Они пронумерованы простыми числами. На нашем длинном пути очень редко будут попадаться числа-близнецы. Вот промелькнули следующие числа-близнецы: 11 и 13, 17 и 19. Мы быстро набираем скорость; оставляя позади лампочки 101 и 103, 827 и 829; теперь реже и реже встречаются освещенные островки из лампочек, пронумерованы простыми числами-близнецами. Вот на фоне темноты и мрака засверкали лампочки с номерами 10 016 957 и 10 016 959; это последняя пара известных простых чисел-близнецов. Возможно, где то в бесконечных просторах обрадуют наш взор еще пара светящихся лампочек, или такие близнецы исчезнут навсегда. Нам встречаются участки, довольно часто освещаемые лампочками, но чаще путь проходит в темноте. Из первого миллиона промелькнуло всего 78 498 горящих лампочек, 921 502 не горели.

Однако мы только начали движение, они еще встретятся, но в какой миг? Закономерности нет.

Как и пространство, множество  простых чисел бесконечно. Бесконечный ряд чисел, который мы в результате счета предметов, называется НАТУРАЛЬНЫМ РЯДОМ ЧИСЕЛ: 1,2,3,4,5,… . Среди натурального ряда чисел мы выделяем простые числа. Простыми числами называются такие, которые делятся на 1 и на самих себя. Наименьшее простое число2.

Выделение простых чисел  является сложной задачей математики. Ученые на протяжении многих веков  пытаются найти формулу, которая  позволила бы из множества натуральных  чисел выписать простые. Первый, кто  занимался этой задачей, был великий  математик древности Эратосфен, живший почти 2 300 лет назад. Эратосфен был главным библиотекарь знаменитой Александрийской библиотеки, математиком, географом, историком, астрономом, философом и поэтом. Эратосфен вычислил наклон эклиптики – большой окружности сферы, по которой проходит видимое годичное движение солнца, расстояние от солнца и луны, длину земного меридиана (измерив расстояние от Асуана до Александрии), составив карту мира с учетом шарообразности Земли и т. д.

Способ Эратосфена составления  таблиц простых чисел чрезвычайно  прост и не требует проверки чисел  на делимость. Он воспользовался особым методом, который был назван в честь ученого «Решето Эратосфена». Чтобы очистить зерно, мы его просеиваем. Подобно этому Эратосфен «просеивал» числа натурального ряда, пользуясь особым приёмом.

Допустим, что были выписаны (в таблице из 10рядов) все последовательно от 1 до 100. Прежде всего, надо «выбросить» все четные числа, кроме 2. Подчеркнув число 2, остальные числа, делящиеся на 2, зачеркнем. После 2 в таблице идет простое число 3. Подчеркнем число 3 как простое, а все остальные, делящееся на 3, зачеркнем. ( Числа, кратные 3, стоят на местах через два на третье.) теперь следующее простое число 5,которое опять подчеркиваем; выбрасываем все числа, кратные 5, которые расположены на местах через четвертое на пятое, считая ранее зачеркнутые. Дальше подчеркиваем следующее число 7 и зачеркиваем числа, делящиеся на 7, и т. д. Заметьте, что из всех натуральных чисел не зачеркнутыми остаются простые числа. Эратосфен у каждого составного числа прокладывал отверстие, и получалось нечто вроде решета, через которое эти составные числа «просеивались».

Древнегреческих ученых заинтересовало: сколько может быть простых чисел в натуральном ряду? Ответил на этот вопрос Евклид, доказав, что простых чисел бесконечное множество.

Однако способ Эратосфена не смог удовлетворить ученых, и  они пытались найти формулу простых  чисел. На протяжении многих столетий это сделать не удавалось. В ряду простых чисел были найдены многие интересные закономерности, но поставленная задача оставалась без ответа. Первым приблизился к решению проблем  простых чисел П.Л. Чебышев.

В 1750 г. Леонард Эйлер установил, что число 2³¹ - 1 является простым. Оно оставалось самым большим из известных простых чисел более ста лет. В 1876 г. Французский математик Лукас установил, что огромное число

2127 - 1 = 170 141 183 560 469 231 731 687 303 715 884 105 727 
также простое. Оно содержит 39 цифр. Для его вычисления были механические настольные счетные машины. В 1957 г. было найдено следующее простое число: 23217 – 1. А простое число 244 497 – 1 состоит из 13 000 цифр.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§2. Узы дружбы в мире чисел

Два натуральных числа  m и n называются дружественными, если сумма собственных делителей m равна n, а сумма собственных делителей n равна m.

История дружественных чисел  теряется в глубине веков. По свидетельству  античного философа Ямвлиха(III-IV вв.), великий Пифагор на вопрос, кого следует считать своим другом, ответил: «Того, кто является моим вторым я, как числа 220 и 284». Проверьте, пожалуйста, что числа 220 и 284 дружественные.